1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Постоянная а! должна быть выбрана так, чтобы функция ф(г,й) имела надлежащую асимптотическую форму. Пользуясь разложениями (1Х.35) и (28), можно Рассмотрим рассеяние частицы центрально-симметричным аотенциалол 1'(г). Для вычисления эффективного сечения необходимо найти асимптотическую форму стационарной волны рассеяния ф. С этой целью будем решать уравнение Шредингера в сферических координатах. Направление начального волнового вектора й в данном случае является осью вращательной симметрии задачи. Если выбрать это направление в качестве полярной оси, то волна ф и амплитуда рассеяния ! Не будут зависеть от угла !Р. Разложим эти величины в ряды по полиномам Лежандра: ф (., Е) = ~' "',', (соз В), )(в)= 2:)р,( ..8).
! $ а РАзлОжвиив по ПАРциАльнъ|м ВОлнАм зт! выразить асимптотическую форму |р в виде ряда по полиномам Лежандра: е|А" г еы/ч е'"+ Е (О) — ', = 'Я ') (21+ 1) еее', (еег) + Ее — '~ Р, ( О). Е Если учесть также асимптотическое выражение для Ее(йг), то можно переписать этот ряд, разделяя сходящиеся и расходя- щиеся волны, в форме гФ(г, О) ~ ~( — 1)е+| —.г м'+( —.+ Ее)еее'~Ре(созО), В асимптотической области функция уе должна быть равна вы- ражению в квадратных скобках в правой части этой формулы.
Это условие фиксирует ае однозначно и позволяет выразить Ее как функцию фазовых сдвигов. Последовательно имеем ЭЕ -1- ! ы Э!+1 и ае=й — в ',Ее= Ее ' Ее е ез!пбе. Подставляя последнее соотношение в (2О), находим искомое выражение 0 Е(О) =х х, (21+1)г 8|зтьере(сов О), Е-О (31) здесь Х вЂ” начальная длина волны (Х= 1/й). Полезно сравнить асимптотическую форму уе/г, т.
е. коэффициента разложения по полиномам Лежандра функции соответствующего моменту импульса Е, с соответствтк|щим коэффициентом разложения плоской волны ееэ', а именно (21+ 1) Е'Ее(яг): — (( — 1)е+ег-ее -)- г"~ее!ее) г зыг (2Е+ 1)ЕЕ,(Еег) — (( — 1) е ' '+в '). Обе эти функции, как видим, являются суперпозициями сходящейся и расходящейся волн равной интенсивности. Сходящиеся волны, очевидно, одинаковы для обеих функций. Однако член расходящейся волны в стационарном состоянии рассеяния отличается от соответствующего члена в плоской волне фазовым множителем ехр(2Ебе): влияние рассгивщощгго потенциала сводится к сдвигу фазы каждой парциальной расходящейся волны.
ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ 372 Дифференциальное эффективное сечение рассеяния получается как квадрат модуля функции 1'(О): т (а) = ХЯ Е (21 + 1) (21' + 1) ес (ас ос') з1 и Ь, Х с,с ХЯ1пйср,(с 39)РР(созЕ). (32) Интегрируя по углам (О, р), получаем полное эффективное сечение.
Учитывая соотношения ортогональности полиномов Лежандра, полное сечение можно выразить в виде ряда о„, =4п)св ~ (21+1)з!пвбс, (33) с-о каждый член которого ос = 4п(21+ 1)Хвз(найс (34) дает вклад в рассеяние парциальной волны с моментом импульса 1. Отметим неравенство ст, н 4п(21+ 1) )св. (35) Максимальное значение ас достигается при бс = (и+ 1/2) п (и — целое число). 9 9. Квазнклассическое представление рассеяния.
Прицельный параметр Рассмотрим рассеяние классической частицы в поле центральной силы. Если энергия падающей частицы фиксирована Е = ра/2пс, то каждая траектория характеризуется своим при. цельным параметром Ь, определяемым как расстояние от силоТраеклс орал вого центра С до прямой, положение которой определяРю — ется начальным импульсом ро (рнс.
33). При таком столкновении момент импульса с', является постоянной движения, причем Ь Рис 33. Рассеяние классическои прямО пропорционален с. частицы на силовом центре С; ро — начальный импульс, Ь вЂ” прн- Е= Ьр. Если поле сил имеет ограниченный радиус действия го: )с(г) = 0 для г ) го, то падающая частица испытывает отклонение траектории при Ь <- го и не испытывает его при Ь ) го, Отклоняются частицы с достаточно малым моментом импульса.
Столкновение в квантовой теории имеет существенно иную природу: это в основе своей явление рассеяния волн. Однако $9, кВАзиклАссическое пРедстлвление РАссеяния 373 в тех случаях, когда рассеивающий потенциал оказывается пренебрежимо малым на расстояниях, превышающих некоторый радиус ге (причем не требуется точного обращения в нуль), квантовое рассеяние имеет много общего с явлением рассеяния пучка классических частиц потенциалом конечного радиуса действия г,.
Как общее правило, вклад вд парциаленой волны 1 пренебрежимо мал и), если (Х) го', если же (Х <го, то эта величина может принимать все зйачения от О до максимального /,0 00 0 0 г 4 0 В Гв га р Рис. 34. График функции р~1р~(р) для ( О (кривая 7), 3 (кривая 2) и 6 (кривая 3). значения 4п(21+ 1) Хе.
Согласно атому правилу существует некоторое сходство между вкладом волны ( в рассеяние квантовой частицы и вкладом частиц с прицельным параметром между (Х и (1+ 1)(Х, т. е. моментом импульса от Ы до ((+ 1)Ь, при рассеянии пучка классических частиц. Это правило основано на следующем полуклассическом рассуждении. Падающая волна представляет собой суперпозицию сферических волн с заданным моментом импульса. Радиальная часть члена, соответствующего парциальной волне 1, пропорциональна у,(г/Х), следовательно, относительная вероятность нахождения частицы в сферическом слое (г, г+ дг) равна ° д~ка). з- -д--. - --. -- < ддд(д~-~) д, ° д дд д д, д > т7~д е о д [ , р .
Зд), д') Это правило не является абсолютным; мы встретим исключения из него при рассмотрении резонансного рассеяния в й 14. 374 ГЛ. Х. ПРОБЛЕМЛ РЛССЕЯНИЯ Если «,( !л,, то волна практически не проникает в область действия потенциала и поэтому не испытывает его влияния. Это рассуждение не является строгим. Более точные результаты относительно сходимости рядов (3!) и (32) будут приведены в $ 12.
Но как бы то ни было, метод фазовых сдвигов особенно удобен при вычислении эффективных сечений в случае, когда радиус действия потенциала не превосходит нескольких длин волн. Раздел 111. ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОГО РАДИУСА ДЕИСТВИЯ 3 1О. Сдвиг фазы н логарифмическая производная Предположим, что потенциал 1/(«) отличен от нуля только в некоторой ограниченной области пространства: 1«(«) = О при «)'«о Пусть д> — значение в точке «л логарифмической производ. ной регулярного в начале координат решения радиального уравнения (29): (37) у> з!и (й« вЂ” !я/2+ б>).
Поэтому во внешней области у> — — к«(сов 6,1> (й«) + япб>п> (я«)) («) «,). Для дальнейших выкладок удобно ввести обозначение э=я« и ввести сходящиеся и расходящиеся волны и)=>(Б) =Б(п>(Б) ~ 11>(Б)) =БА)*>(Б) вронскиан которых не зависит от 5 и равен и>-> — и<+> — и>+> — и< > = 21. и в' »а ~6 (38) «ау> (36) л'« (это определение отличается от обычного множителем «). Мы знаем, что >7> — л>онотокно убывающая функция энергии (5 1П.
8), детальный вид этой функции зависит, естественно, от формы потенциала («(«). Однако условие равенства нулю потенциала при « ) «Б позволяет установить соотношение между >7> и 6>, которое не зависит от конкретной формы потенциала )«(«): задания а> достаточно для определения аснмптотического поведения решения. В дальнейшем предполагаем, что нормировка у> выбирается так, чтобы $ (О, СДВИГ ФАЗЫ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 375 Во внешней области е(= 2( (и((+'е ( — и) >е ()= 1ш и((+'е ' (г >г ).
(39) Условие непрерывности логарифмической производной в точке г = го дает соотношение 9(=$ пп е (и)+' (40) 1 Ао Это и есть искомое соотношение между (1( и б(. Чтобы представить данное соотношение в более удобной форме, введем обозначения: т(в( и(,*' (нг,) = „(е )и)е((йг,) ( = 'у е( ( ' )! е (41) Из уравнения (38) следует (см. задачу 3) 1ш (11+1 = йг,оь (-> еыа( = е"'( (ы или же б( = т( + Р( (42) где Ьгв" ( р, =агп(д( — ()( () = агс1п д( — Ре д((+( (43) Мы видим, что фазовый сдвиг 6( выражается в виде суммы двух членов, из которых первый, т(, не зависит от конкретной формы ,рассеивающего потенциала, а второй, рь зависит от нее через ()( согласно уравнению (43).
Заметим, между прочим, что МПР у((го) = (44) Здесь о( — положительная величина, не превосходящая 1, она называется фактором проникновения. В этих обозначениях условие непрерывности (40) записывается так: ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ 376 5 11. Сдвиги фаз при низких энергиях (Х-о ео) Зная поведение сферических функций Бесселя при малых значениях аргумента (уравнение (Б.52)), можно из уравнений (42) — (43) найти поведение бь когда йг, « 1, т. е.
или при очень малых энергиях или при очень больших значениях момента импульса. Действительно, если Йго « 1, то (о )27+1 (2( + 1) и (27 — 1) И ( га) Аг 22 о 2 по — — ((2( 1) и),, Йе о7, = — 1+ О (к-го) (эти выражения справедливы и при 1= О, если йго « 1). Рассмотрим поведение эффективных сечений, когда энергия частицы стремится к нулю.
При этом вещественная величина о), увеличивается до некоторого предельного значения о7ь В общем случае уо чь — 1, так что фазовый сдвиг бо стремится к нулю как й" +'. Находим (+ ( — Ч (ао )2'+' 2 2 о 7 + д, (г( + 1) П (2( — 1) И ' (4б) Таким образом, амплитуда 1ь пропорциональная бо1е, стремится к нулю как 7220 Следовательно, в пределе очень малых энергий эффективное сечение становится изотропным, так как все парциальные сечения ш стремятся к нулю как йо' (уравнение (34) ), кроме сечения з-волны оо, которое стремится к некоторой постоянной, вообще говоря, отличной от нуля. По определению длиной рассеяния называется величина 1(ш~ = )щ, о =~1 )г 2-»о А-оо а 4о о= ) о (47) Длина рассеяния а получается при решении радиального урав- нения, соответствующего нулевой энергии: Это расстояние от начала координат до точки, в которой асимптота у, пересекает ось г.
В пределе очень малых энергий о„„„= по = 4па2. Если окажется, что о)о = — 1, то при стремлении энергии к нулю амплитуда 1о ведет себя как й"-' (кроме случая 1 = О, когда из о)о = 0 следует (о 111). Говорят, что имеется резонанс с нулевой энергией в состоянии 1. Предшествующие выводы должны быть изменены следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
