1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Если это резонанс э(1= О)„ то и бесконечно и о„„, стремится к бесконечности как ЦЕ. Если 377 % М РАССЕЯНИЕ НА ТВЕРДОЙ СФЕРЕ это резонанс р(1 = 1), то 1(9) имеет впд — а + Ь соз О, а эффективное сечение остается ограниченным, но не является изотропным. Если же резонанс имеет более высокий порядок, то он не влияет на общее поведение эффективных сечений в пределе малых энергий.
9 !2. Парциальные волны более высокого порядка. Сходимость ряда (1-~- со) Лсимптотнческие формулы (45) позволяют также найти асимптотический вид фазовых сдвигов высокого порядка при заданном (ненулевом) значении энергии. Если 1 достаточно велико, выражение /гз — Ц (г)— 1(1+ 1) остается отрицательным в интервале (О, гз); следовательно, решение у! уравнения (29) в этом интервале ведет себя экспоненциально: величина дь очевидно, положительна. Кроме того, при 1>) йгз можно использовать выражения (45) и ввиду того что 9~+1 несомненно отлично от нуля, получаем следующее асимптотическое выражение, сходное с формулой (46); 1+ 1 — д! (Ьг,)мФ! ',:,„1+ д, (21 1) 11(21+1)!1 Выражение (48) определяет скорость сходимости разложения по парциальным волнам в случае, когда рассеивающий потенциал имеет ограниченный радиус действия.
Это подтверждает оценки по порядку величины, сделанные в 9 9. 9 !3. Рассеяние на твердой сфере Е сли потенциал ограниченного радиуса действия соответствует потенциалу твердой сферы +ФФ, если г < г, р (г) = О, если г > гм то все формулы 2 !О упрощаются. Волновая функция должна обращаться в нуль на поверхности сферы, т.
е. у!(гз)= 0 при любых 1(д~ = — ФФ), что дает (уравнение (44)) р! = О, т. е. б,=т,=агни', 1, (49) После соответствующих вычислений получаем Ап(21+ 1) 11(згд 1с (""о) + а~ (Ато) ГЛ Х, ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ зта и, в частности, При очень малых энергиях, в согласии с результатами $ 11, дифференциальное эффективное сечение становится изотропным, и полное эффективное сечение имеет предел Иш пасли =!ПП по = 4пг', е-»с а-»о (51) соответствующий длине рассеяния а = г,, При возрастании энергии вклад парциальных волн высокого порядка становится все более значительным, а анизотропия рассеяния — все более выраженной.
При очень больших энергиях ()с <( г,) дифференциальные н полные эффективные сечения могут быть вычислены при использовании асимптотнческого повецения функций Бесселя больших порядков. Таким путем получаем "): а(»3) — (1+ с!д~ — У~ (Уггоз(п В)~, (52) (бЗ) 1!ш и„„„= 2яг'. е.» Эта функция ведет себя кан $чг+т/(2(+!)П(2( — ))и вблизи $ = О, затем монотонно растет до окрестности й = У, а затем бесконечно осциллирует по закону Аг ($) з!пз (а — — н). 2 (54) Поэтому в сумме 4н чч опо „= ) о —,~ (2(+ )) и (йг,) г-с 1-0 'т) См. книгу Морса и Фешбаха, Уос, сИ., сноска ЧУ!.з У,(х) есть функция Бесселя первого порядка. При изменении х от О до +сч функция У,(х) сначала растет от нуля (У~(х) х/2), до первого максимума У1(Б84) О 58, затем уменьшается и первый раз обращается в нуль при х 3,83; далее функция бесконечно осцнллирует, согласно формуле У~ (х) ( — ) соз (х — — ). Дадим упрощенное доказательство соотношения (33).
Зная функции !г(в) и а~(й), нетрудно установить поведение функции Узг (й) й гз. плсспянии на твипдои сонпв зтв вклад членов 1) ого пренебрежимо ма.ч по сравнению со вкладом членов 1( йг„который можно грубо опеннть, используя аснмптотическую форму (54), ч)о дает аг 4п чч г и — ~ (21 + 1) ыпг 1хйгг —, и). .о»», ... йг ,Р, г 1 О Эту сумму можно опенить, группируя попарно последовательные члены, что в пределе очень больших й дает егг й о 1Ж= —, 2 о откуда н получается выражение (БЗ), Таким образом, в пределе малых длин волн (Йго )) 1) мы не получаем эффективного сечения рассеяния классической частицы твердой сферой радиуса г,.
Полное классическое эффективное сечение и иго »» равно только половине квантового результата в пределе малых длин волн. Аналогичным образом, дифференциальное классическое эффективное сечение изотропно и равно гог/4: оно соответствует первому члену асимптотической формы (52) для о(ьз). Эти результаты показывают, что в рассматриваемом случае нельзя пренебречь волновым аспектом явления, так как даже в предельной ситуации очень малых длин волн потенциал нельзя считать медленно меняющимся в пространстве ввиду наличия разрыва в точке г = го.
Наблюдаемое явление совершенно аналогично явлению дифракции в оптике, на что указывает исследование асимптотической формы (52) дифференциального эффективного сечения. Это выражение содержит два члена. Первый член изотропного «отражения> идентичен классическому дифференциальному эффективному сечению. Второй, 4 г~»с(й l~ (Йг з(п О) г г 8 о является резко анизотропным: он дает существенный вклад только пРи малых Углах поРЯДка х)го, это член «ДифРакЦии> (теневое рассеяние), связанный с наличием тени от идеально отражающей сферы на пути падающей волны. Гл. х. Пгоалвмд Рлссвяния 380 Раздел 1Ч.
РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИИ Е 14. Рассеяние глубокой прямоугольной потенциальной ямой В качестве другого примера потенциала конечного радиуса действия рассмотрим прямоугольную потенциальную яму из $1Х,10. Положим лоло " Ао Е= —, У~=, К'=Коз+ лз 2т ' о 2ло и выясним поведение различных парциальных волн в зависимости от энергии в случае очень глубокой ямы. Точнее говоря, предположим, что (58) ~до — Йе41 '1» йтзом Кго » 1, (55) К » й. (56) В этом случае величину до в правой части уравнения (43) в хорошем приближении можно выразить в виде д, = Кг, с1п (Кто — 1п/2). (57) Нетрудно проанализировать обшее поведение 6~(Е) при малых энергиях (т.
е., согласно (56), при Е «1'е). По формулам (42) и (43) 6~ зависит от энергии посредством величин ть огонь не д)+' и дь Первые три величины являются монотонными функциями дто (то убывает, две другие функции растут), причем поведение их вблизи нуля определяется формулами (45), а в асимптотической области (лго »1) выражениями то, „("ге — 2 и) !нп о,=1, Игп Йемен'>=О. до~~~ ' ' Еоо~.
В интересуюшей нас области энергий эти три функции изменяются относительно медленно. Напротив, логарифмическая производная дь как это вндно из формулы (57), меняется быстро, имея при этом серию вертикальных асимптот, соответствуюших тем энергиям, для которых Кто — — 1н/2+ ип (и — целое). Разность энергий между соседними асимптотами равна примерно Д от — мое оо (59) "ого лого Когда энергия изменяется на эту величину, 1д~( почти всюду оказывается порядка или больше Кто, так что почти на всем интервале $ Н, ГЛУБОКАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА ЗВ) Второй член в правой части формулы (42) — р< — остается ма- лым (с точностью до слагаемого пп); Аг<и< < А' р< — <+< ~ К ог », — йе»< в то же время а рг<ог<' иет никаких ограничений на величину т<.
Поэтому справедливо приближенное равенство б, = ть Фазовые сдвиги практически совпадают с теми, которые наблюдаются при рассеянии на твердой сфере того же радиуса. В большей части области изменения энергии потенциал рассеивает каждую парциальную волну подобно твердой сфере: мы имеем дело с «потенциальным рассеянием»; падающая волна практически не проникает во внутреннюю область потенциальной ямы.
Однако существует небольшая область энергий, окружающая точку ЕР, где д< = йе д<е', для этой области ~ д< — Ке д)~~ ~ ( йг о<. Определим величины у= — ~ ~ (у) О) и Г=2йгао<у„ аЕ »4 и-и Р (60) при этом Г есть ширина указанной области. Замечаем, что") Г 2 А — ~ — ° — о<4 1. Р и К При изменении энергии на несколько Г в обе стороны от Е, величина д< — Гсе»г<+< уменьшается от значений, существенно превосходящих <тгао<, до значений, существенно меньших — йгсо<, а р< быстро переходит от значений, соседних с ап, к значениям, близким (и+ 1)п.
Эффективное сечение о< претерпевает резкое изменение, достигая максимального значения 4п(21+ 1)йа: говорят, что имеет место резонанс 1. По определению ЕР есть эиер- ") дейстнительно, согласно уравнению (57): Де )<22 т — и Гс«2е —. <нг а а<ГО Поскольку Кге»Г и ~ Г<е»< ~ ~(й то — — Кг, когда Е =Е, откуда <+)< »< 2 ЛК вЂ” а 382 ГЛ Х ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ гия резонанса "), à — ширина резонанса, причем Г есть произведение величины у, зависящей от общего поведения потенциала во внутренней области (и практически не зависящей от 1), н фактора йгооь зависящего от поведения волны во внешней области (и малого при больших 1). Область резонанса достаточно мала, так что можно заменить кривую п«(Е) ее касательной в точке Е = Ер, откуда р~ агс(«о«2 (е е) г (61) Р Используя условие непрерывности (44) для нормировки ради. альной функции во внутренней области, находим в том же приближении (справедливом в интервале энергии, охватывающем резонанс, причем Г « ЛЕ « 1)): у! = з Кр)г (Кг) (г ' го).
(62) 1 г .~/о .~/4 (Š— Е )з+ Гз Прохождение энергетической области резонанса 1 сопровождается, таким образом, резким увеличением интенсивности парциальной 1-волны во внутренней области потенциальной ямы. Весь анализ значительно упрощается в случае з-волны, когда тэ —— йгэ "з = 1 Це Чо О Чо = Кто с(я Кгэ сы г й б, = — йг, + агс1я )ч — 1д Кгз) . хк Для функции ус находим явное выражение: У т)п (йг+ бз) г > 'о уз= й МпКг г < гэ.
л /й~ + Ко созе К ге .пачений (Ь-~ го К-~Кэ ЧК вЂ” «-Ц $К-~К, «р. Рэ— ..сеянии эквивалентна задаче об отражении волн пряАиой ямой в одномерном случае нз й П1.6 (случай .ения резонанса может быть повторено здесь без изме- С учетом замены — л/2) задача об моугольной поте« б)) — обсуждени« пений. 5 15. Обг й закон резонансного рассеяния. Метастаг ..ьные состояния Явление резонанса довольно часто встречается в микроскопической физике. Резонансное рассеяние, которое мы рассмот- ы) Ввиду присутствия потенциального рассеяния максимальное значение п«достигается при значении энергии, несколько отличающемся от резонансного, которое определяется условием р« = л/2 (с точностью до слагаемого пл).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
