1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Наша цель состоит в сравнении фазовых сдвигов 6, и 6ь соответствующих потенциалам (/(Г) и р(г) прн одной н той же энергии. Вернемся к обозначениям $ 8 и положим О = 2ГПР/йз. Пусть ур — регулярное решение уравнения (29), причем асимптотическая форма уг дается формулой (37). Тогда ур — регулярное решение радиального уравнения В+( -'-'";"Ф= с асимптотической формой - зш(/тг — — и+6 1. г-»р 2 Вронскиан ))7(ур, ур) равен нулю в начале координат и стремится асимптотически к пределу !Ип ))7 (ун у,) = й з)п(бг — 61). г-» Согласно теореме вронскиана ГЛ. Х.
ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ Это важное соотношение справедливо независимо от вида потенциалов У и Р, если только оба они на бесконечности стремятся к нулю быстрее 1/г и не имеют сингулярности в нуле типа 1/гз и выше. Если У=О, то 6~ — — О и у~=йг!~(йг) соотношение (72) в этом частном случае записывается в виде 2т Г. з(нбвд = — — 1 !~(йг) Ур~г г(г.
(73) о й 18. Зависимость фазовых сдвигов от формы потенциала Уравнение (72) позволяет сделать некоторые выводы об изменении фазовых сдвигов при модификации рассеивающего потенциала. При бесконечно малом изменении потенциала ЛУ=— вв У вЂ” У величина Лб~ = 6~ — 6~ также будет бесконечно малой; если при этом пренебречь различием между у~ н Р~ в правой части уравнения (72), то получим Лб,= —,—,, —~~ п~ЛУ (г. 2т Г о Если изменение потенциала ЛУ(г) сохраняет некоторый знак на всем интервале (О, ОО), то изменение фазового сдвига Лб~ имеет противоположный знак. Следовательно, всякое увеличение потенциала (большее отталкивание) уменьшает фазовый сдвиг, всякое уменьшение потенциала (большее притяжение) увеличивает сдвиг фазы.
До сих пор сдвиг фазы 6~ был определен только с точностью до слагаемого 2пп. Чтобы снять эту неоднозначность, рассмотрим непрерывное изменение потенциала от О до У(г), при этом фазовый сдвиг изменяется также непрерывно от О до некоторого значения 6ь которое, как можно показать, не зависит от пути изменения потенциала от нуля до У(г). Именно это значение 6~ мы примем в качестве истинной величины фазового сдвига. Если потенциал У(г) всюду отталкивающий, то переход от нуля к У(г) можно осуществить путем последовательного прибавления бесконечно малых положительных добавок.
Согласно уравнению (74) каждая из этих добавок уменьшает фазовый сдвиг, поэтому 6~ отрицательно. Аналогичным образом, если потенциал У(г) всюду притягивающий, то 6~ положительно. В общем случае: если 1'(г) > У(г) при любых г, то 6, < 6,, если У(г) < У(г) при любых г, то 6,) 6. й ЗО.
ФОРМУЛА БЕТЕ 19. Приближение Бориа Для того чтобы точно вычислить фазовый сдвиг бь надо, вообще говоря, рептить уравнение (29). Однако если У(г) достаточно мал, регулярное решение у~ этого уравнения мало отличается от свободной сферической волны йф(йг), и фазовый сдвиг близок к нулю. Поэтому приближенно можно в уравнении (73) заменить у~ на свободную волну, что дает 6 й ~ )з (йг) У (г) гз Ыг (75) о Это выражение для фазового сдвига в «приближении Бориа», Ошибка мала, если потенциал У(г) достаточно мал по срав- 1(1+ 1) й' нению с Š— в большей части области изменения г. Ртгт Можно ожидать поэтому, что приближение Бориа будет оправдано при высоких энергиях или (при условии, что У(г) достаточно быстро уменьшается на бесконечности) при больших значениях 1.
В действительности выражение (75) является только первым членом в разложении по степеням потенциала У, поэтому ошибку можно оценить, вычисляя следующие члены разложения. Исходя из соотношения (72), можно получить аналогичное приближенное выражение для 6~ — бь а именно — — — ~ уз(У вЂ” У) дг. (78) Эта «обобщенная формула Бориа» полезна, когда известно ре. гулярное решение 4~ радиального уравнения с потенциалом р, мало отличающимся от потенциала У. Она позволяет получить в хорошем приближении бь не решая точно радиальное уравнение с потенциалом У'з).
9 20. Теория эффективного радиуса действия. Формула Бете Формулы $17 позволяют исследовать изменение фазовых сдвигов при модификации потенциала при данном значении виергии. В этом параграфе мы рассмотрим изменение фазовых '») Формулой (76) можно воспользоваться также, чтобы изучить влияние «хвоста» потенциала У. Достаточно в качестве Р выбрать потенциал ( 1Г(г). если г < г». А О, если г) г„ где г, — подходящим образом выбранное расстояние, Р есть потенциал с ограниченным радиусом действия и обладае~ всеми его свойствами. У вЂ” Р— хвост потенциала У. Влияние «хвоста», если оно мало, может быть учтено с по»1ощью формулы (76).
ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯЫИЯ 390 сдвигов в зависимости от изменения энергии. Полученные формулы будут особенно полезны в предельном случае малых энергий, когда потенциал имеет короткий радиус действия. Пусть и — одно из регулярных решений уравнения (29); пока мы не будем уточнять его нормировку. Пусть й есть решение (нерегулярное) уравнения (71), соответствующее тому же значению энергии и имеющее ту же асимптотическую форму, что и и, включая нормировку. Рассмотрим теперь два различных значения энергии Е, и Еа, будем отмечать индексами ! и 2 все величины, относящиеся к этим энергиям.
По теореме вронскиана (П1. 27) имеем ' !Р' (и„ит) !,=(Б! — еа) ~ и,и,с(г, ь О и соответствую!цее выражение для й, откуда )и' (й„йт) — (г' (и„иа) ~, = (е! — Еа) ~ (й,йт — и,и,) с(г. а сч и (а(й,ий,)-!-(,—,!1(й,а,— ч ни ]=О. (7н а-ьо ~ а Выбирая подходящим образом нормировку и, можно из этой формулы найти значения разности б — б при энергиях Е! и Еа. Ограничимся случаем з-волны (1= 0)'2). Кроме этого, положим Р = 0 и обозначим через о!, оа значения йь йт в этом частном случае. Фиксируем нормировку и условием о(0) = 1,т.е.
о= сон йг+ с!д б з!Пйг. Тогда формула (77) запишется в виде (о2 о!) (а о ~! с!н б! йт с18 бт = (н, — е,) ~ (о,о — и,и,) йг. (78) и) Когда ! Ф О, функции й! и й, имеют особенность а начале координат типа (1/г)'. В формуле (77) члены Пг(й!, й,) и (е! — еа) ~ й!йа йг расходятся как (!/а)а' '„однако сумма их стремится к конечному пределу. Когда Ь вЂ” ьос, то поскольку и и й имеют одну асимптотическую форму, интеграл в правой части уравнения сходится, а разность вроискианов на верхнем пределе обращается в нуль. Поскольку, кроме того, (пп )Р' (и„и,) = О, написанная формула при Ь -~. оо, а-ьо а -+О переходит в $20. ФОРМУЛА БЕТЕ 391 В предположении, что У(г) стремится к нулю прн г-ьо достаточно быстро, так чтобы интеграл в правой части сходился, эта формула остается справедливой в пределе Бз-+ О.
Обозначим с помошью ис, оз функции и, и при энергии равной нулю. Замечаем, что г 1 оз — — 1 — — и ))п! й с1п б = — —, и еыа и где а — длина рассеяния, определяемая уравнением (47). Вы- бирая значения и! = Б, Бз = 0 в соотношении (78) (см. рнс. 35), получаем формулу Бете: 1 й с1ц б = — — + Б ~ (опз — ии,) аг, и (79) Это строгое соотношение. Оно полезно, когда интеграл в правой части медленно меняется как функция энергии. й) б) а) Именно это имеет место в случае короткодействуюшего потенциала У(г) того типа, что мы встречаем в ядерной физике, когда можно разделить все пространство на внутреннюю область (г ( гс, йгс чГ !), для которой (У) >) Е, и внешнюю область (г ) г,), где потенциал У пренебрежимо мал.
Основной вклад в интеграл дает внутренняя область, где без большой ошибки можно заменить и на ие и и на оо. так как в начале координат и = = ие = О и о = ос = ! и относительная кривизна функций и и и, практически одинакова (и"/и =2ЛТУ/йз) во всей этой области (рис, 35). Таким образом, в очень хорошем приближении Рис. 35. Волновые з-функции нулевой энергии в теории эффективного радиуса действия для последовательно увеличивающейся глубины потенциала ограниченного радиуса действия У(г) =ыйг(г) (Ф вЂ” параметр глубины ямы, при этом ы = 1 соответствует глубине, необходимой для образованна связанного состояния): и) ы < 1 (и с.
О); б) ы = ! (а = оз); и) ы > 1 (а > 0). Замечание. и является убывающей функцией Ф, имеющей вертикальную асимптоту при каждом значении ы, для которого существует связанное состояние с нулевой энергией. ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ 392 имеем (80) Величина г,еа — 2 ) (о, '— ирт) г)г обычно называется эффеатив- О мььи радиусом — это параметр, характеризующий свойства потенциала. Правая часть уравнения (80) по существу представляет два первых члена в разложении й с(п б по степеням энергии. Чтобы выписать члены более высокого порядка, надо получить разложения и и о в виде рядов по степеням а и подставить эти ряды в правую часть (79)").
Основываясь ва аргументах, приведенных выше, следует ожидать, что получающиеся ряды быстро сходятся во внутренней области, поэтому и сходимость разложения для й с(пб также будет хорошей. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1. Рассматривается рассеянне частицы с длиной волны )1 на потенциале У(г), который нрн г-~со стремятся к нулю быстрее 1уг.
Пусть 7(И) — ам. влнтудз рассеяния в наяравленнн И = (В, а). Показать, что олове ев ~ 17 (И) Р ВИ 4иХ 1ш 7 (о), где 7(О) обозначает амялнтуду рассеяния вперед (В = О), Это соотношение Бора — Пайерлса — Плачека. 2. Прн бомбардировке ядер типа А ядрамн типа а могут образовываться ядра Ь н В: а+ А- Ь+В. В лабораторной системе мишень А яоконтся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
