1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Обозна- чим ') абаз рпоз Е= — = —, 2ар 2 (21) д робер Ьо (22) тогда уравнение (20) записывается в форме (Л+й' — — ",") ф( )=О. (23) Это уравнение обладает одним регулярным решением вида см 1(р — г). (24) ') Параметр у аналогичен параметру и из задачи об атоме водорода. Если положить а = аб/Ярд„абеб, то иолУчим У = !рб/га (см. УРавиеиие (10)). аз/2иза совпадает с энергией классического электрона на круговой орбите радиуса а'а.
Этот частный пример подтверждает общее правило соответствия, по которому в пределе больших квантовых чисел должны быть справедливы классические законы движения. Чтобы детально сравнивать результаты квантовой и классической теорий, следует исследовать движение волновых пакетов. Мы не будем здесь проводить этого исследования. Ограничимся указанием того, что состояния с максимальным 1(1 = и — 1) соответствуют классическим круговым орбитам; это следует сравнивать с результатом старой квантовой теории, согласно котора 1 «р рб р» б'Т вЂ” Р'Р б.
ращается в нуль, когда 1 принимает свое наибольшее значение (см. стр. 47). гл. х!, кглоновсков взлимодвнствив Действительно, если подставить это выражение в уравнение (23) и положить и = г — г, то получим дифференциальное урав- нение ~и „, + (1 — Пи) — „— уй~ !" (и) = 0 или, полагая о = йи = й (г — г), ( о —, + (1 — о) — „, + !у| ( (о) = 0. Н2 Н Это уравнение типа Лапласа, решение которого, регулярное в начале, есть вырожденная гипергеометрическая функция Р( — !у, 1; о). Таким образом, уравнение Шредингера действительно обладает регулярным решением в форме (24), а именно ~,= Аем'Р( — Еу, 1; Ей(г — г)), (25) где А — нормировочная постоянная.
Согласно исследованию, приведенному в дополнении Б, 3 1, гнпергеометрическая функция, фигурирующая в равенстве (25), является суммой двух функций, асимптотические формы кото- 2 в рых при больших значениях [ о [= 2иг з[п' — даются уравнениями (Б.10) и (Б.11). Используем обозначения дополнения Б и по- ложим ф! Ае!ьРУ,( — юу, 1; !йи), чРе Аем*[Р'з( — су, 1; (йи). (26) (27) Тогда ф.=ф!+фа (28) Функции ф и фе являются решениями (нерегулярными) уравнения (20). Выбирая А = Г (1 -[- (у) е-"т", (29) находим следующие асимптотические формы для ф! и фж е! (м+т!па(г- И ([ [ У [ 1 РО) ! (т-л(+ !. и) (à — 2) ф е)г-*! ь — е' (ь — т! ь <г- И 1+ + 1 (31) у г (! + се) г (! + (у)' ь (à — 2) Р (1 — (у) !» (l — г) Поскольку г = г соз 8, первый член асимптотического представления ~>е можно записать в виде ехя 1((йг — у !п 2Ь)1 р (32) е[~-2[Ум Г $ а ФОРмулА РезеРФОРдА 405 где 1, (О) — — А — — ° ехр ~ — /у !п (з)п' — / + 2Ыо~ ' (33) 2А Ма~в здесь оа = агц Г (1 + (у).
(34) $8. Формула Резерфорда Волновая функция ф, представляет стационарное состояние рассеяния для частицы с начальным импульсом И, направленным вдоль оси Ог. Мы знаем, что в случае потенциала, стремящегося к нулю не медленнее 1/г' при г-+ос, аналогичное состояние рассеяния представляется волновой функцией с асимптотической формой которая интерпретируется как сумма падающей и рассеянной расходящейся волн. Волновая функция ф, также представляется в виде суммы двух членов ф„фз асимптотическне формы которых похожи соответственно на плоскую и расходящуюся волны.
Однако даже на бесконечно больших расстояниях от начала координат функция ф, не может быть уподоблена плоской волне, ввиду присутствия фактора ехр(/у!и /с(г — г)]; радиус действия кулоновского поля столь велик, что оно влияет на падающую волну даже в асимптотической области. Тем не менее, при очень больших отрицательных г функция ~; представляет волну с плотностью 1; причем соответствующая плотность потока 11 2$т К ((ф!) ф ((ф!) 1 направлена по оси Ог и равна в =— лл/т (логарифмический член дает поправки порядка 1/г, которыми можно пренебречь). Это оправдывает истолкование ~; как падающей волны.
Аналогичным образом радиальная зависимость функции ф„ при очень больших г выражается не формой ехр(/йг)/г, характерной для расходящихся волн, но более сложным выражением ехр(1(йг — у!п 2йг))/г. Однако в асимптотической области (кроме близкой окрестности полуоси положительных е, где разделение на падающую и рассеянную волны не имеет смысла) функцию фз можно интерпретировать как рассеянную волну, так как вектор плотности потока /ю вычисленный с этой функцией, действительно направлен по радиусу в направлении возрастающих г, а влиянием фактора ехр( — !у !п 2йг) можно пренебречь 4ОЕ гл. х>. кулоновсков взаимодинствнв в самом нижнем порядке по 1/г; в этом приближении фл есть волна с плотностью )/.
(О) )з/гз и плотностью потока п)/,(О) )з/гз. Составляя отношение плотности рассеянного потока в телесном угле (ь), Р+ с(ь)) и плотности падающего потока, получаем дифференциальное эффективное сечение рассеяния п,(и) =! 7,(0) )з. (35) Эта формула аналогична формуле (Х. 2), относящейся к рассеянию на потенциале более короткого радиуса действия. Конечно, вышеприведенные рассуждения могут быть подвергнуты той >ке критике, что н в $ Х.З, однако, нетрудно провести н более строгое доказательство, подобное выводу Я 4 — 6 гл. Х.
Функция /,(0) называется амплитудой кулоновского рассеяния. В явном виде она дается выражением (33). Отсюда получаем формулу для эффективного сечения кулоновского рассеяния; (36) 2 2 Полученное строгое выражение, как видим, тождественно клас- сической формуле эффективного сечения кулоновского рассея- ния, полученной в гл. Ч! (уравнение (>/!. 29) ): классическая формула Резерфорда остается верной, даже когда классическое приближение перестает быть справедливым.
Это следует рас- сматривать как случайное совпадение. Из формулы (36) находим следующие замечательные свой- ства эффективного сечения кулоновского рассеяния: а) оно зависит только от абсолютного значения потенциала, но не от его знака; б) угловое распределение пе зависит от энергии; в) прн заданном угле эффективное сечение при возрастании энергии падает как )/Е', г) полное эффективное сечение бесконечно: интеграл ) и, (ь)) с(ьл расходится прн малых углах. Эта расходимость характерна для чисто кулоновского поля. На опыте такое поле не встречается никогда; так, при рассеянии заряженной частицы на атомном ядре кулоновское поле ядра на больших расстояниях нейтрализуется полем электронов оболочек и потенциал обращается в нуль на расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом атома.
Эффект экра. пирования приводит к модификации рассеянной волны при малых углах, так что дифференциальное эффективное сечение более не расходится при 0 -ео. Можно показать, что указанное изменение волновой функции пренебрежимо мало при углах, превосходящих одновременно 22/Аа и !/йа (здесь а — радиус атома). При энергиях, обычно используемых в ядерной физике, эти предельные углы столь малы, что экранировавием кулоновского поля можно полностью пренебречь, 5 В. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПХРЦИВЛЪНЫМ ВОЛНАМ 407 9 9.
Разложение по парциальиым волнам Уравнение Шредингера (20) может быть решено методом разделения у~ловых и радиальных переменных. Этот метод не представляет большого интереса для чисто кулоновского рассеяния, так как мы обладаем более прямым методом. Кроме того, имея дело с потенциалом дальнего действия, мы заранее знаем, что разложение амплитуды рассеяния 1,(0) по сферическим функциям будет плохо сходиться. Однако разложение по парциальным волнам оказывается полезным в таких задачах, когда к чисто кулоновскому взаимодействию добавляется некоторое взаимодействие с ограниченным радиусом, нбо присутствие этого дополнительного взаимодействия влияет только на первые члены разложения по сферическим гармоникам и, следовательно, разложение разности 1(0) — 1,(9) быстро сходится.
Разделение угловых и радиальных переменных уже было проведено для случая атома водорода, В наших новых обозначениях уравнение (4) записывается в форме Чтобы построить решения этого уравнения, действуем как в задаче об атоме водорода, производя замену искомой функции и переменной: и, гы ус — — е (Йг) он (38) К = — 2Иг; тогда ос есть решение уравнения Лапласа (см. уравнение (12)) ~$ — „, + (21+2 — $) — „— (1+ 1+!у)]о,=О.
(39) Известны асимптотическне разложения (Б.10 — 1!) двух нерегулярных решений этого уравнения УР'г В(1+ 1+ 1у, 21+ 2; 5). На их основе можно получить асимптотическую форму обшего решения (39) н в результате короткого вычисления — асимптотическую форму обшего решения (37): это линейная комбинация двух экспоненциальных функций Ыа -т~ Рьн Мы знаем, что решение (39), регулярное в начале координат, есть гипергеометрическая функпня Г(1+ 1+ 1у, 2!+ 2; й); это сумма двух функций )(Г, и )Р, (уравнение (Б,9)). Соответствуюшее решение уравнения (37) в асимптотической области пропорционально функции з(п(йг — у!и 2лг — (п/2+ а~), где и! = агн Г(1+ 1+ (у). (40) Гл, хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
