1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Пусть лг„глл, гль глл — массы частиц, участвующих в реакцнн. В нерелятн. внстском приближения т,+глл гл„+глл. Пусть Е~ н Ег — полные кннетнческне знергнн начального (а+А) н конечного (Ь+В) состояний в сн. стеме центра масс, з В н В, — углы испускания частнцы Ь в системе центра масс н в лабораторной системе соответственно. Показать, что зависимость В, от В дается соотношением (24), если т представляет отношение скорости центра масс У к скорости оь частнцы Ь в системе центра масс, т. е. ы) См, 6 Сйеы, М, ПоЫЬегдег, РЛуз, Кеч, 75, 1637 (1949); Н, А, Ве!ае, РЛУз. Кеч, 76, 33 (1949), ЗАДЛЧИ И УПРЛН<ИЕИИЯ 888 3. Вывести следующие соотношенкн между величинами т, е и д~+>, вве<' < < денными в в 10 (определение (41)): <+, <+> 6 Но — 1ш д< — — $о, (<е д< с<6 ' Р 2о Н6 4. Показать, что в приближении ВКБ фазовый сдвиг 6, выражается формулой ю - ~ [( ~г — аг! —, б — >"агав 1(1 + 1) Г У , 1(! + 1) с а а~ Определения бь й и У(г) те же, что и в $8; нижние пределы интегрировании а и и, явля>отса нулями подынтегральных выражений (если йз — У(г)— — 1(!+ !) /гх имеет несколько корней, то о равен наибольшему из ннх), Обсудить условия справедливости этого приближения.
Для того чтобы формула была применима для малых значений 1, нужно, следуя рекомендаш>я Лангера (см. задачу 1Хб), заменить в обоих интегралах 1(!+ !) на (1-1-1/2)з, 5. Применить теорию эффективного радиуса действия к р-рассеянию.
Показать, что она лает разложение йз с<п 6, в ряд по степеням энергии н найти два первых члена разложения (6, — сдвиг р-фазы). ГЛАВА Х! КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 5 1. Введение Пусть г — взаимное расстояние между двумя частицами с электрическими зарядами Е,е и Узе соответственно, тогда электростатический потенциал взаимодействия частиц называется кулоновским потенциалом. Пусть рь р,— импульсы, гь гз — векторы положения этих двух частиц (г = г~ — гз). Если их взаимодействие чисто кулоновское, то движение частиц определяется гамильтонианом р~~ рз е1язее — + — +— 2 ее, яее, г причем т есть приведенная масса ш= га1/и2 ~1 + 'е2 (2) Исследование поведения квантовой системы из двух частиц, находящихся в кулоновском взаимодействии, сводится к задаче о движении частицы в поле потенциала 7~7зеЧг. Ввиду медленности спадания при больших значениях г некоторые свойства центрально-симметричных потенциалов, полученные в гл.
!Х и Х, несправедливы для кулоновского потенциала. В задачах о рассеянии, например, асимптотическое поведение стационарных решений оказывается менее простым, чем в случае потенциалов ограниченного радиуса действия, поэтому определение фазовых сдвигов должно быть соответсзвенно изменено. Само рассмотрение задачи методом разделения угловых и радиальных переменных оказывается не столь полезным, Движение центра масс отделяется методом, изложенным в гл.
!Х. Движению «относительной частицы» соответствует гамильтониан Н— = — + —, ре я~Хее' ям (1) 2 2, уРАВнение шРедингеРА для Атома Водоаодл 395 так как разложение амплитуды рассеяния по сферическим функциям сходится очень медленно. Но, с другой стороны, решение уравнения Шредингера для частицы в кулоновском поле может быть во всех случаях сведено к решению дифференциального уравнения Лапласа, хорошо известного в математической физике. Поэтому наиболее интересные величины — спектр энергии связанных состояний и эффективное сечение рассеяния — могут быть вычислены точно.
Эта глава содержит два раздела. Первый посвящен изучению связанных состояний атома водорода; исследование без труда распространяется на водородоподобные атомы и вообще системы из двух частиц, взаимодействующих по закону 1/Г. Во втором разделе рассматривается задача о кулоновском рассеянии. Раздел 1. АТОМ ВОДОРОДА й 2. Уравнение Шредингера для атома водорода Наиболее простой системой двух частиц, взаимодействующих по закону Кулона, является атом водорода, Две частицы, протон и электрон, имеют потенциал взаимодействия — ее/г.
Приведенная масса системы электрон-протон несколько меньше массы электрона: (и, — т)/лз. = 5 1О-'. Пусть Š— энергия системы электрон-проток в системе центра масс, тогда волновая функция «относительной частицы» является решением уравнения Шредингера Свойства регулярных решений этого уравнения выясняются без труда, если произвести разделение угловых и радиальных переменных. Так, собственное рещение, соответствующее энергии Е и моменту импульса (1т), выражается функцией 92 (Г) У (й,р) —, где Уà — обращающееся в нуль в начале координат решение радиального уравнения (ср.
уравнение (1Х.20)) (4) Здесь мы ввели обозначение е = 2тЕ/62. (5) Если Е ) О, то решение бесконечно осциллирует в асимптотической области и может быть принято в качестве собственного ГЛ. ХЬ КУЛОИОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ решения при любых положительных Е. Решение описывает несвязанное состояние и используется при построении стационарного состояния рассеяния системы электрон-протон при энергии Е. Если Е ' О, то асимптотическая форма регулярного в начале координат решения представляет собой линейную комбинацию экспоненциальных функций е'" и е ', где И=~/ — Е = (6) Это решение допустимо в качестве собственного только прн некоторых привилегированных значениях Е, когда присутствует только затухающая экспонента.
Указанные значения образуют дискретный спектр атома водорода, а соответствующие волновые функции представляют возможные связанные состояния этого атома. В этом разделе мы рассматриваем связанные состояния атома водорода, но результаты исследования без труда переносятся иа случай водородоподобных атомов (Не", ( (е+ и т. д.), в которых протон заменяется более тяжелым ядром. Пусть МА— масса этого ядра, М» — масса протона.
Приведенная масса во. дородоподобного атома е~м те+ М„ несколько отличается от приведенной массы атома водорода меме гп= е» +М Если заряд ядра равен Е„то потенциал кулоновского взаимодействия есть ЯЕ9г. Все формулы, относящиеся.к атому водорода, могут быть применены и в случае водородоподобного атома, если сделать замену т- т' и е'- Яе'. й 3. Порядок величины энергии связи основного состояния Пусть г,— «радиус» атома в его основном состоянии. Мы имеем в виду, что волновая функция «концентрируется» внутри сфеРы РадиУса би иначе говоРЯ, что веРоЯтность пРисУтствиЯ электрона на расстоянии г от протона очень мала при г ) тм но принимает отличные от нуля значения при г ( ге.
В качестве очень грубой модели можно представлять себе, что плотность вероятности является постоянной внутри сферы радиуса гм Ясно, что среднее значение потенциальной энергии тем меньше (в алгебраическом смысле), чем меньше гм это величина порядка — е»/ге. Напротив, среднее значение кинетической Е Е, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 397 энергии тем больше, чем меньше Г,. Если электрон локализован в сфере радиуса Го, то соотношения неопределенности ставят нижний предел значению его импульса; среднее квадратичное отклонение импульса не может быть меньше Л~г„следовательно, кинетическая энергия равна, по меньшей мере, 6'/2лег~» Полная энергия, таким образом, равна по меньшей мере сумме Й' е' двух величин, и — —.
Минимум достигается при Го —— 2тг,' Г„ = Лзггпе'. Мы должны ожидать, что значение энергии при этом минимуме АЕ«Е Б = — 2 — (= — 13,5 эа) 2 а' (7) по порядку величины равно энергии основного состояния, а со- ответствующее значение радиуса а = й'1'те' (= 0,529 ° 10 см) дает порядок величины протяженности волновой функции в основном состоянии. По случайному совпадению оказывается, что энергия основного состояния точно равна формуле (7). Длина а называется радиусом Бора или «радиусом атома водорода». 9 4.
Решение уравнения Шредингера в сферических координатах Для решения уравнение Шредингера воспользуемся сферическими координатами; как и в случае любого центрально-симметричного потенциала угловые и радиальные переменные в этой системе координат разделяются, и проблема сводится к нахождению регулярных решений радиального уравнения (4). Решение уравнения Шредингера можно осуществить также в параболических координатах — в этой системе координат переменные также разделяются.
Здесь мы ограничимся только упоминанием этого важного обстоятельства и рассмотрим задачу в сферических координатах. Если произвести замену переменной (9) х= 2хг, то уравнение (4) будет зависеть только от безразмерного параметра 1 е' Гтс' т= — =— (10) иа Ле 1/ — 2Е ' 398 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
