1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 82
Текст из файла (страница 82)
кулоновское Взхимоденствне 408 Величина ос называется крлоновским фазовьсм сдвигом. По оп- ределению регулярной кулоновской волновой функцией Р,(у;йг) является регулярное решение уравнения (37) с асимптотической формой (41) Рс в|п(йг — у 1и 2йг — 1п/2+ о,). Г -» Согласно предыдущему Рс(у; ег)=сс(у)е'~г((сг) + Р(1+1+су, 21+2; — 2с'йг), (42) при этом постоянная сс(у) должна быть выбрана так, чтобы Рс удовлетворяла условию (4!), а именно 2се «тС»1с.(С + 1+ су)1 (21 + 1)! (43) Вещественная функция Рс часто называется регулярной сферической кулоиовской функцией; это функция ссг, зависящая от параметра у.
Можно определить также «нерегулярные сферические кулоновские функции». Это решения уравнения (37), нерегулярные в начале координат. Наиболее часто употребляемые функции определены в 3 Б.5. Укажем здесь только сходящуюся и расходящуюся волны и' и и',+' с асимптотическими формами и) с ее со -т со»ос-с«ссс г.» Эти функции являются комплексно сопряженными, причем Р, =!т ес си)~~.
(44) 0 10. Разложение ср, по сферическим функциям Ю вЂ” (21 + 1) 1'е "сР, (у; Аг) Р, (сов 0). с-о (46) Это разложение аналогично разложению плоской волны О е" ~* = ~ (21 + 1) с'1, (иг) Р, (сов 0), с о (47) в которое оно переходит при у -»О, Кулоновская волновая функция ф„ определенная в 5 7, Чс,= е-"тс'Г(1+ (у) е"Р( — (у, 1; ссс (г — е)), (45) может быть представлена в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра: ГЛ. ХС. КУЛОНОВСКОЕ ВЗЗИгПОДЕЯСТВИЕ 4)0 Искомое разложение получается при подстановке этого выражения в уравнение (48) Можно бычо, впрочем, ожидать этого резулыата заранее.
Депсствнтельно, поскольку 4ч есть регулярное решение уравнения Шречннгсра (20), гяч(г) необходимо есть регулярное решение радиального уравнения (31), т, е. пропорционально гг(у; Ссг), цель напсего вычисления состояла в определннн кон. станты пропорциональности.
Полезно выразить разложение (46) при помощи расходясцихся и сходящихся кулоновских волновых функций. Подставляя вместо Рс ее выражение через функции ссссчч и и (уравнение (44)), находим ф,= — К ~(21+1)с ~ (ис ~ — еж сисс ')Рс(созй). (50) с=о й 11. Модификация кулоновского потенциала короткодействуюшим взаимодействием Когда к кулоновскому полю )с,(г) добавляется некоторое короткодействуюшее взаимодействие )с'(г), стационарное состояние рассеяния более не представляется чисто кулоновской волновой функцией, но функцией з(с, разложение которой в ряд по полиномам Лежандра имеет вид ф = — „~ (21 + 1) ~'Хс (г) Р, (соз О). с-о (5!) Можно показать (задача 2), что, если )с'(г) стремится к нулю в асимптотической области не медленнее 1/гз, то решения радиального уравнения асимптотически переходят в линейные комбинации экспонент е*'("-т'"зь'с или, что то же самое, в линейные комбинации расходящихся и сходящихся кулоновских функций и)+с и ис ).
В частности, регулярное решение этого уравнения асимптотически переходит в некоторую линейную комбинацию указанных двух функций. Пусть Ас (исс ~ — нес~се~'оси~(~~) Метод фазовых сдвигов, позволяющий описывать рассеяние частицы потенциалом )с'(г), почти без нзмепений переносится на случай рассеяния потенциалом )г'(г)+ 1'.(г); следует только на каждом этапе вычислений заменить свободные волны на соответствующие кулоновские волновые функции. Функция )(с(г) является решением радиального уравнения — „, + й' — — — ~, )с'(г) —, 1)(с (г) =О. (52) Лз з 2У(с 2т, С(С+!)3 4 н, кОРОткодейстаующее В3АимОдейстВие 411 Это условие выполняется, если Л~ = 1/2 при всех значениях 1, как это можно видеть, сравнивая (50) и (51).
В асимптотической области, т, е, для значений г, достаточно больших, чтобы можно было полностью пренебречь потенциалом У'(г), получаем разложение — (2!+ 1)1+ (М ' — е" ~е"'~и)~~) Р~ (соз О)- и.+ 2йг иг, — — ~~ (21+ 1)1+'е ' '(е ' ~ — 1) н)и~Р~(созО). (53) Как и в О 7, можно представить ф в виде суммы иг=иг + "4 (54) где ф; — функция, определенная уравнением (26) и представляющая падающую волну.
Напротив, ира отличается от функции (27), ее асимптотическая форма, после соответствующих вычислений, может быть представлена в виде 1 — „ехр 11 (лг — у !п 2йг)! .'х', ! (О), где ) (О) = 1, (О) + 1 (О), (55) причем 1,(О) = — О ехр[ — !у !п (з!н' — ) + 2!ОВ~, .,в 2В В1пи— 2 ~' (О) = —.„~ (2! + 1) ам" (ем~1 — 1) Р~ (соз О). с (55а) (556) Нетрудно установить с помощью тех же аргументов, что и в О 8, что эффективное сечение рассеяния равно п(й)=~ !'(О) !'.
(56) есть эта линейная комбинация (А~ — постоянная нормировки). Фазовый сдвиг 6~ характеризует действие потенциала Р" (г), добавленного к кулоновскому. Фазовый сдвиг 6, равен нулю, если Г = О, и в дальнейшем играет роль, совершенно аналогичную роли фазовых сдвигов при рассмотрении короткодейству1ощих потенциалов. Регулярное решение радиального уравнения т, должно быть выбрано так, чтобы функция ф представляла стационарное состояние рассеяния; для этого необходимо, чтобы ир — ф, асимптотически вела себя как расходящаяся волна, т. е.
как а! Йи-т!и зм)г 4!2 ГЛ. ХЕ КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Можно выразить его в виде суммы трех членов, воспользовав. щись равенством (55) О ((з) = и,(()) + 2 )се),"г'+ ~ )'(О) (з. Многие характерные свойства обычных фазовых сдвигов присущи и фазовым сдвигам, введенным в этом параграфе. В частности, ряд (55б) сходится тем быстрее, чем короче радиус действия дополнительного потенциала у".
Формулы (Х,39 — 44) нз $ Х.)0 остаются справедливыми, если только учесть, что функции и1с1 представляют теперь не свободные волны, а волны кулоновские (задача 3), Однако численные значения величин тп пп д11*1 могут сильно отличаться от соответствующих значений для свободных волновых функций, так что результаты обсуждения поведения при малых энергиях, а также сходимости ряда должны быть пересмотрены. В частности, если мы имеем дело с отталкивающим кулоновским потенциалом, то фактор проникновения тем меньше, чем меньше начальная энергия, так что Ог ((1, каким бы ни было 1, если только Е ( ( Х1Хзезгго (т. е.
ЗнеРгиЯ меньше кУлоновского баРьеРа в точке гз). За исключением этого все обсуждение резонансного рассеяния может быть повторено без изменения. Прн некотором изменении определений входящих величин (задача 4) формулы (Х.72 — 73), исходные для приближения Бориа, н формула (Х.77), исходная для приближения «эффективного радиуса действия», остаются в силе. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1. Пользуясь радиальным уравнением для атома водорода, доказать рнкуррантное соотношение (соотношение Крамерса); — (г~) — (2з+ 1) а(г~ 1)+ — [(21+ 1) — У) аз(гз ч) О, в котором (г') обозначает среднее значение г', когда атом находится в квантовом состоянии (л)ш)(а ) — 21 — 3).
Вывестн отсюда выражение для (г-1), (г), (гз), приведенные в $ В.З. Это соотношение не позволяет найти (г-з». Показать, что во всяком стационарном состоянии водородоподобного атома среднее значение кннстической энергии равно с обратным знаком собственному значению энергии ń— (рз/йгл>„ 2. Рассматривается рассеяние частицы с массой т центрально-симметричным потенциалом У(г) = 2ез/г+ У'(г), где У'(г) при г-~со стремится к нулю не медленнее 1/гй Показать, что решения радиального уравнения асим- ЗАЦАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 4!3 птотически переходят в линейные комбинации Зкспоненциальных функций ехр (~1(аг — у1п2йг)] (й = Ч/2тЕЙ у = 3ез(до; и и Š— начальные ско.
рость и энергия). 3. Показать, что формулы (Х.39 — 44) остаются верными, если к коротко- действующему потенциалу прибавить член кулоновского взаимодействия 3,3тетуг (необходимо только изменить определеннефуниций и~~+' н и' '). 4. Как должны быть изменены интегральные представления (Х.72) н (Х,73), если рассеивающий потенциал есть сумма кулоновского и коротко- действующего потенциалов? Тот же вопрос относительно формулы (Х.77), Рассмотреть теорию эффективного радиуса для з-рассеяния, когда коротко.
действующий потенциал обладает свойствами, укаэанными на стр. 391 (см. И. А. ВеИе, 1ос. сК, сноска Х. зэ). ГЛА В АХИ ГАРМОНИЧЕСКИИ ОС1(ИЛЛЯТОР 5 1. Введение В классической механике гармонический осциллятор — это частица, способная перемешаться вдоль некоторой осн и подверженная действию возвращающей силы, пропорциональной расстоянию частицы от начала координат. Решение этой задачи хорошо известно. Пусть д — координата положения частицы на оси, р — ее импульс, т — масса, — ты'д — возвращающая сила.
Уравнения движения частицы выводятся из функции Гамильтона (р'+ лРы'д')(2т; легко показать, что частица синусондально колеблется с (круговой) частотой ы около начала координат. Соответствующая квантовая задача формулируется как задача об одномерной частице с массой т и с гамильтонианом М = — (р'+ т'а'газ), ! (1) причем переменные положения д и импульса р связаны соотношением коммутации [д, р]= й. (2) Здесь мы имеем дело с очень простой квантовой системой, уравнение Шредингера которой может быть точно решено; система обладает целым рядом замечательных свойств.
Исследование гармонического осциллятора имеет большое значение в квантовой теории, так как гамильтониан типа (1) встречается во всех задачах, где имеют место квантованиые колебания: мы находим его в квантовой электродинамике и квантовой теории поля, в теории молекулярных и кристаллических колебаний. С другой стороны, проблемы, относящиеся к гармоническому осциллятору, служат прекрасной иллюстрацией основных принципов и формализма квантовой теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
