1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Далее, поскольку М1 ) л~) = (л1 + ! /2) Па ~ п ), Мр ~ пр) = (пр + 1/2) Па) лр), имеем Я ~л1 п ) (М1 + + М ) ) п1 пр) =(л, + ... + пр+ р/2) йа1п, ... лр). Векторы базисной системы,Ж, которые мы построили, нумеруются р квантовыми числами пь ла, ...., лр, которые могут принимать все целые значения от 0 до + оо. Однако соответствующее собственное значение энергии (п~ + ... + пр + р/2) йа зависит только от суммы п=п,+п,+ ...
+пр этих р чисел. При заданном значении л ()0) существует и (л+ и — 1)) Сл+р , = (64) различных наборов чисел ль пь ..., лр. Собственное значение (л+ р/2)аа, таким образом, С„"+ икратно вырождено. Введем операторы поглощенна н рождения квантов типа 1: а~ = [ 33 ) дз — 1(2тпа) 'р,. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям (см. (10)) [ам а)1=[ати ат1=0, [аи ат1=6, (1, /=1, ..., р). (66) Согласно определению векторов )п;), данному выше, векторы п~;.. лр) удовлетворяют соотношениям, обобщающим (17— 0).
В частности, если обозначить символом )0) собственный вектор основного состояния )О)=10 ... О)„ р раз а) В представлении (ч) — (ч~ чт... чк) вектор ~п, и,... и,) выражается произведением (ч~) п1 ) (ча ) иа) " (ч, 1 и,) Рк,(ч,) Р„, (ч,) ... Р (чр). 434 гл. хп. гх»мопнчаский осциллято» то можно написать а~!О'аэ!0),,а»!0) (67) (и а )=(а,! ... а!) и~а~"' ...
а+"»~0). (68) Спектр наблюдаемых У, — = а",'а,. (1= 1, 2, ..., р) (69) состоит из целых неотрицательных чисел; эти наблюдаемые интерпретируются как число квантов типа 1, 2, ..., р соответственно. Сумма есть полное число квантов. Имеем 74=(У+ р/2) йв. й 14.
Изотропный осциллятор в двух измерениях Рассмотрим систему в двух измерениях с гамильтонианом Исследование предшествующего параграфа полностью применимо к этому частному случаю. Следующая таблица дает собственные значения М (первый столбец)„кратность вырождения (второй столбец) и последовательность общих собственных векторов У1 н Уп растягивающих соответствующие подпространства Ясно, что Уь Уь ..., У» образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, причем нх базисная система совпадает с базисной системой М, которую мы построили. Операторы Уь очевидно, не являются единственнымн постоянными движения, образующими полный набор. Всякий оператор вида а,.а~ коммутирует с »э; с помощью линейных комбинаций операторов этого типа и нм сопряженных можно построить р2 независимых эрмитовых операторов.
Среди функций от этих р' постоянных движения существует несколько полных наборов коммутирующих наблюдаемых. Проиллюстрируем это обстоятельство на примере двух частных случаев р = 2 ир 3. 3 Н, ИЗОТРОПНЫЙ ОСЦНЛЛЯТОР В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ 435 (третий столбец): йв 1 !00) 2йа 2 110), !01) 3йв 3 (20), !11), !02) (70) (а+1)йв (и+1) !ИО), !(и — 1)1), ..., !(л — з)з), ..., (Оп) Оператор «момента импульса» Е, определенный формулой Е = — (д1р — ц р,) = с'(а,а~~ — а~'а '), ! (71) является постоянной движения. Покажем, что й! и Е образуют другой полный набор коммутирующих наблюдаемых. С этой целью введем операторы А = 2 (а, =р(аз), ЯГ2 АФ = (ОФ ~с;ОФ) ч/2 (72) Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям, тождественным (66): 1А, АД=~А~> АД=О (73) )А„А~)=б„(г=+или —, з=+или — ).
Операторы А+ и А~ можно считать операторами уничтожения и рождения квантов типа (+), операторы А и А~ — операторами уничтожения и рождения квантов типа ( — ); согласно этой интерпретации операторы ЛЕР Ат+А+ и М = А~ А (74) представляют число квантов (+) и число квантов ( — ) соответственно. Поскольку соотношения коммутации (73) идентичны соотношениям (66) задача построения общих собственных векторов М+ и Р! математически идентична задаче построения общих собственных векторов М, и Уь Следовательно, наблюдаемые М+ и 1у' каждая имеют спектр собственных значений из целых неотрицательных чисел а+ = О, 1, 2, ..., и = О, 1, 2, ..., и эти две наблюдаемые образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых: каждой паре квантовых чисел (и„, и ) соответствует единственный общий собственный вектор (с точностью до постоянного множителя), 436 гл. хи, гхямоничвскии осциллятов Из соотношений (87) следует Л+!00)=А 100)=0.
(75) Следовательно, вектор (00) из таблицы (70) есть собственный вектор основного состояния (п+ = п = О). Векторы )и п ) =(и„(п () '"А++Л»"-(00) образуют полную ортонормнрованную последовательность общих собственных векторов йГ+ и Ф: йг~ ~ и4п )=и„!п„п ), Ж !и+п ) = и ~п~и ), Однако если выразить М н Е через А и Ат, то можно показать, что (77) (78) Определим соотношения коммутации Ь с Л и Ат. Простое вычисление дает: ьЬ, АД= ~=Аь~, (79) (Ь, Аь) = ~ А~.
(80) Отсюда следует, что при действии на собственный вектор оператора 7. операторы А+ и А увеличивают собственное значение Ь Ф на единицу, а А~ и А+ уменьшают Ь на единицу. Это можно истолковать разными способами. В квантовой теории заряженных полей, где поле представляется как последовательность изотропиых осцилляторов в двух измерениях, йг., выражает число положительных частиц, гъ' — число отрицательных частиц, ь — полный заряд (с точностью до постоянного множителя). Согласно этой интерпретации А+ порождает положительный заряд, А т уничтожает отрицательный заряд„ поэтому и тот и другой опе- И=У,+У, 7.=У вЂ” М .
Ввиду того что наблюдаемые 7т+ и й образуют полный набор коммутируюших наблюдаемых, их сумма М н нх разность Е закже обладают этим свойством. Именно это мы н хотели показать. Мы приходим к выводу, что обладаем другой полной орто. нормированной последовательностью собственных векторов М, а именно (и+а ). Они удовлетворяют уравнениям на собственные значения: М ~ и+а ) = (п+ + п + 1) йв ( а, п ), Е! а+а ) = (и+ — п ) 1 п+п ), $ 35. ИЗОТРОПНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ 437 раторы изменяют заряд на плюс единицу; А" н А+ изменяют заряд на минус единицу.
В теории колебаний кристаллов движения решетки также представляются набором изотропных двумерных осцилляторов; кванты колебаний решетки называются фононамн. Представление с фононамн типа 1'и 2 дает классификацию по стационарным волнам; представление с фононами типа (+) н ( — ) соответствует бегушим волнам, «распространяющимся» в том илн ином направлении. В задачах о рассеянии (нейтронов, рентгеновских лучей и т. д.) на кристаллической решетке представление с бегущими волнами приводит к более простым вычислениям. й 15.
Изотропный осциллятор в трех измерениях Изотропный гармонический Осциллятор в трех измерениях есть частица в поле центрально-симметричного потенциала, пропорционального квадрату расстояния от центра. Гамильтониан выражается формулой 2 М= — + — 02М Г, 2 2 2т 2 он является суммой трех членов У6=Ж„+ Же+ Я„ где ЕУ = (р2+ттвтг2) (1=х у г) 1 (82) Согласно результатам $ 13 собственные значения оператора ,Ху выражаются формулой (и+3/2)дь2 (Н=О, 1, 2, ..., ОО); (83) порядок вырождения собственных значений равен (и+ 1) 2Т„' Х (и + 2) (2. Наблюдаемые У., л1„, У, образуют полный набор постоянных движения, и собственные векторы 1п.п„и,) их базисной системы нумеруются тремя собственными значениями и„, п„и а,.
Все эти векторы получаются по формуле ( п,пРП ) = (л 1л 1п 1) Н2 а~""а""Ра"ъ21 000) из вектора основного состояния 1000), который с точностью до постоянного множителя определяется тремя уравнениями а„~ 000) = а„1000) = а,1000) = О. (85) Введем момент импульса (в = ( р) Гл, хн. ГлРмонический осциллятоР По хорошо известным свойствам (гл. 1Х) гамильтониана с пентрально-симметричным потенциалом операторы М, 1а и 1, также образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых: общие этим трем наблюдаемым собственные векторы ~п1т) отмечаются тремя квантовыми числами и, 1, т, причем собственные значения М, 1в, 1, соответственно равны: (и+ 3(2)лю, 1(1+ 1) пв и тЛ.
Векторы )п1лт) составляют полную ортонормированную систему собственных векторов М; они получаются из векторов )пхплпх) с помощью унитарного преобразования. Мы не будем проводить здесь явного вычисления этих векторов а). Ограничимся тем, что найдем значения, которые могут принимать квантовые числа 1 и пт при заданном п, иначе говоря, найдем различные возможные состояния момента импульса для каждого уровня энергии. Большое сходство между оператором 1» и оператором С, введенным в предыдущем параграфе, наводит на мысль об аналогичной замене переменных.
Вводим операторы А (и = 1, О, — 1) по формулам А, = — рз„— и„), ч/2 (86) Ао= ах А, — 2 (а„+ (ав) ~/2 2 и соответствующие эрмитово сопряженные операторы А . ОпеФ раторы А и А~ удовлетворяют коммутационным соотноше. пням, аналогичным (73), и могут быть истолкованы как операторы уничтожения и рождения квантов типа пт. Число квантов типа т представляется оператором )и' =А А . Очевидно, что Ф Ж!, Мв и Лг ! составляют полный набор коммутирующих наблю. даемых и что М'= (гт'! + Уо + У ! + 3/2) аю, й(=й(!+ )((о+ Ж !.
а) В представлении (г) состоянию )п п„п,) соответствует волновая функция фп (х) ф (У) ф„ (а), состояние же )п!т) представляется функцией пх пи "х рп! (г) Ф„ьп(г) = —" уГ(В, ч), где рю есть решение, обращающееся в нуль в начале координат и регулярное на бесконечности следующего дифференциального уравнения: вт и ! (! + !) вч ! т ач / ! — — — + 2т ч(гт 2тг' 2 1 щ ( 2 у пг + — тютг'! у = ! п+ — ! йшр 4!а. изотРОпиыи Осщгллятор В тРех измеРениях 439 Каждой тройке собственных значений (ии и„, и,) соответствует общий собственный вектор трех наблюдаемых, а именно, вектор !и!поп-1)=(и1)по(п-.1!) А1 'Ас 'А "- ~()80).
Множество всех этих векторов образует полную систему собственных векторов йа, Находим тй ! п,пеп,) = (п + 3/2) йот ! п,п,п,), и = и, + по + и Построенные нами векторы в общем случае не являются собственными векторами !а, но это собственные векторы !„Так как !.=(й)1 — й! 1)й (87) и, следовательно, (88) т=п,— и Р Рассмотрим подпространство собственных векторов йв, принадлежащих собственному значению (и+ 3/2) Ьот. Оно натянуто на (и+ !) (и+2)/2 векторов !и!поп 1) (при этом и!+ и,+ + и ! = и), которые образуют полную ортонормированную последовательность собственных векторов !,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
