1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Тогда вектор 1п) представляет состояние, в котором присутствует и частиц: вектор 10) представляет состояние без частиц (вакуум). При переходе от состояния 1п) к состоянию (п + 1) число частиц увеличивается на единицу, а полная энергия системы возрастает на величину еы. Замечаем, однако, что энергия пустого состояния равна не нулю, а величине Ьы!2; этой аномалии можно избежать, если в качестве оператора энергии системы взять ие ЗВ, но ыэ — выГ2. Согласно этой интерпретации, оператор ГГГ представляет число частиц, и его собственные значения суть целые числа от 0 до + оо. Оператор ат преобразует состояние с и частицами в состояние с (и+ 1) частицей: а4 есть оператор рождения.
Оператор а наоборот уменьшает на единицу число присутствуюГцих частиц: а есть оператор уничтожения. Подобная интерпретация гармонического осциллятора широко используется в квантовой теории поля и в теории кристаллических и молекулярных колебаний. Электромагнитное поле, например, может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн, характеризуемых вектором поляризации е и волновым вектором й, соответствующая частота равна 46 = яГГс. Классически интенсивность каждой составляющей может изменяться непрерывно, но в квантовой теории эти изменения происходят скачкообразно целыми световыми квантами или фотонами с энергией еГ». Гамильтониан квантового электромагнитного поля выражается совокупностью членов, относящихся к фотонам определенного типа, который характеризуется е и й (пусть индекс з обозначает комбинированный индекс (е,й)): Каждый парциальный гамильтониаи может быть записав в форме М, = йГе,а",'а,.
Операторы а, и а4 эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют коммутационным соотношениям ~а,, аЦ=Ь,, гл. хп. гхгмоническ14и осцнллятоа 422 которые являются простым обобщением соотношения (10). При этом операторы а," и а, интерпретируются соответственно, как операторы рождения и уничтожения фотона типа з (см. гл. ХХ1, т. П), 9 7. Представление Я). Полиномы Эрмита На языке волновой механики задача на собственные значе. ния оператора ЗИ сводится к нахождению значений Е, при ко.
торых уравнение ь' 42 1 ~бф(Ю) — = ( — — — „, + 2 'Ф) ф И)=Еф(9) обладает решением, регулярным на обоих концах интервала ( — х, +со). Если воспользоваться в этой задаче рассуждениями гл. П1 ($ 10), то можно констатировать, что значение Е, удовлетворяющие указанному выше условию, образуют дискретный спектр, причем каждому из значений Е соответствует одно и только одно решение (определяемое с точностью до постоянного множителя); это решение имеет ограниченную норму. Этот результат вполне согласуется с выводами предшествующего параграфа о том, что спектр оператора полностью днскретен и невырожден. Решая задачу на собственные значения в указанной выше постановке, мы найдем вновь последовательность собственных значений оператора М: з 1 — йв, — йв, ..., (и + — ) йв...,.
Принадлежащие этим значениям собственные функции ф„(д) = =— (д(и) описывают собственные состояния (и) в представлении (д). В дальнейшем мы воспользуемся представлением Ц), которое получается из (д) заменой переменных (4). Собственные функции и„Д) и ф.(д), относящиеся к одному собственному состоянию (и) в представлениях (Щ и (д) соответственно связаны соотношением (Я ~ и) — и„(Я) = ( — „) ф„(д).
Уравнение (3) является уравнением Шредингера в представлении (1;1) (с точностью до множителя Ьв). Собственные функции иаЯ), и~Я)...,, и„Я), ... получаются без труда с помощью соотношений (17 — 19). Собственная функция основного состояния удовлетворяет уравнению (19), т. е. ~ 40 + 4~ и (9) = О. $ З. ПРОНЗВОДЯШАЯ ФУНКЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 4ЯЗ Нз (17) и (18) можно получить соотношения, связывающие нормированные собственные функции, принадлежащие соседним собственным значениям (см. дополнение Б, раздел П1). В частности, повторное применение (17) позволяет построить все собственные функции, исходя из функции иа.
Вместо (17) удобнее использовать соотношение (20), которое полностью эквивалентно ему, что дает Я„Д)=[~/Я 2"и!1 (44 — — ) е Ол. (27) Пользуясь операторным тождеством (1~ — — „) — = ( — ео'~' — „е-ощ), можно переписать уравнение (27) в форме (Б.70), где Н,Я)— полипом Эрмнта порядка и в соответствии с определением (Б.89). Таким образом, получаем, что и„(Я) выражается как произведение ехр( †(ез12) на полипом степени п и четности ( — 1)".
Главные свойства этих полиномов указаны в дополне- ННЯБ,З7. Раздел 11. ПРИЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА З 8. Производящая функция собственных функций и„Я) В качестве примера приложения результатов теории найдем производящую функцию собственных функций и„(Я), т. е. функцию Р(С 1,1) = Х с„и (1;1) 1", а 0 где с,— соответствующие постоянные нормировки. Ввиду того что иа(Я) представляет вектор (и!) "а4 10) (уравнение (20)), функция Р(1, Я) представляет вектор — (ат1)" ! О).
я/л! Если выбрать 1 Я/л! ' то Р(1, Э будет представлять вектор ехр(а41) !О) Р(1, 44) = (Я ~е'+'(О). (28). Нормированное на единицу решение этого уравнения имеет вид ца(Э=~ '"е '*" (26) гл. хн. глпмоннчвскии осннллятор 424 Для вычисления последнего выражения воспользуемся след)нощей леммой.
Л ем м а. Если коммутатор двух операторов А и В коммутирует с каждым ив них [А, [А, ВЦ=[В, [А, В][=0, то имеет место тождество ! — (л, в~ еЛ+В = ехеее 2 (29) Приводимое нами доказательство принадлежит Глауберу. Рассмотрим оператор, зависящий от параметра х ((Х) ЕяхЕВх Имеем АелхзВх+ елхВевх (А ( елхВе — лх) [(х) вх На поскольку [В, А) коммутирует с А: [и Ал[=лАл-' [В А) [В, е ~"[=~~ [В, А") Ь Ал [В А)= — е их[В,А)х. л л Следовательно (см задачу ЧП!. 4), ел*Ве "" =  — [В, А[ х, так что + =(А+ В+ [А, В) х))(х).
Оператор [(х) является решением етого дифференциального уравнения, причем [(О) = !. Поскольку операторы А + В в [В, А) коммутируют, опи могут рассматрннаться здесь согласно обычным праннлам алгебры. Дифференциаль. нос уравнение интегрируется без труда н дает -(л. в)х 1 [ (Х) С~В+В) хз 2 Тождество (20) следует, если положить х = ! Взяв А = О(/~/2 В= — ~Риз)2. [А, В[ р(2, применим тождество (М) к оператору ехр(пт(), тогда ехр (отг) = ехр (Яилг2 ) ехр ( — (Рцч/2 ) ехр (- (2/4), Перенося зто выражение в уравнение (28), получаем Р( В=.
'ч'"ь"'(О!.-""' [0). Но ((~[е ~~'~гз !0)=е тгз колл(я) пл(я ~ — ). ч(2 / $ о. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕЙЗЕНВЕРГА Носнольвовввшись выражением (26) длн и... после вычислений получим Р ((, !С) м»дт = ( = и Елр ( — — + ((С А/2 — — ). (30! ~' нч (~2) ч ич т йр р ъ 2)' $9.
Интегрирование уравнений Гейзенберга Рассмотрим гармонический осциллятор в «представлении» Гейзенбереа. Все операторы в этом параграфе будут операторами в «представлении» Гейзенберга, поэтому опустим индекс О, который мы вспользовали в гл. П11. Все операторы изменяются во времени. Индексом «0» будем отмечать их значения в момент времени ( = О.
Учитывая уравнение (23) и соотношения (14), можно записать уравнения Гейзенберга для операторов а и ае: (й —, = (а, вв! = йаа, И вЂ” =!ае, М) = — йаае. Уравнения интегрируются без труда, что дает аое-св! ае (() = аее'и!. о Используя соотношения (24) н (25), выражающие рез а и ае, находим !/2 !) (() ( ) (нее!и! + а е !мс) ив ( 2 ) ( о о )' (31а) (31 6) дирче- (32) (33) Наконец, выражая ао и а+ через начальную координату с)о и начальный импульс ро, получаем с)(()=с)осоза(+ —, ровна(, ! (34) р(() = р,созьн — тадояпа(.
(35) В этих операторных уравнениях появляются те же самые тригонометрические функции, что и в случае классического Гармонического осциллятора. В частности, средние значения (д)ь (р)! подчиняются классическим законам движения: (Ч)с = (Ч)о соз а( + — (р)о яп а(, (36) (р), = (р,) соз а( — та (д)о з ! и а(, (37) Это свойство гармонического осциллятора уже Отмечалось И Гл.
т'1. гл. хп глгмоиичвскин осциллятоя $10. Классический и квантовый осцилляторы В целях иллюстрации соответствия между классической и квантовой механиками сравним в этом и следующем параграфах законы движения классического и квантового осцилляторов. Общее решение уравнений движения классического гармонического осциллятора можно записать в виде: д„= А з! и (в1 + 2р), р„= твА соз (в1 + (р).
Это чисто синусоидальное колебательное движение с (круговой) частотой в. Закон движения зависит от двух параметров А и ~р. Энергия осциллятора связана с амплитудой колебания А соот. ношением (ЗО) (40) Ек,= (38) Если фиксировать энергию Е.„то различные возможные движения отличаются фазовым сдвигом <р.
Пусть Р,л — некоторая динамическая переменная системы. ВУДУЧИ ФУНКЦИЕЙ Дкл И Ркл ОНа ПЕРИОДИЧЕСКИ (НО НЕ ОбиэатЕЛЬНО синусондально) изменяется во времени с частотой в. Закон изменения Р„для двух возможных движений с одной и той же энергией одинаков с точностью до фазового сдвига. Среднее Р„, взятое по всем возможным движениям с одинаковой энергией (микроканонический ансамбль), получается путем усреднения по сдвигам фаз; Ркл не зависит от времени и равно среднему по периоду 2и/в от значений, принимаемых г"„, в течение одного периода. В частности, находим 4«л= ркл=О Ак Екл 2 кл к«л 3 твк р' =тквкгг' = тЕ (41) (средняя кинетическая и средняя потенциальная энергия осциллятора равны друг другу).
Сравним эти результаты с поведением квантового осциллятора в стационарном состоянии. В состоянии 1и) квантовый осциллятор имеет определенную и постоянную во времени энергию: (и+ 1/2)ав = Е„. Напротив, наблюдаемые положения д и импульса р не имеют определенных значений; можно только определить статистическое распределение результатов измерения той или иной из этих величин. Поскольку состояние стационарно, эти статистические распределения постоянны во времени. В частности, средние значения д и р равны соответствующим диагональным элементам матриц представления (У): (и | д ~ и) = (и | р ~ и) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
