1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Поэтому вполне оправдано подробное изучение этой задачи, которому и посвящена данная глава. Два первых раздела посвящены одномерному осциллятору. Общее решение проблемы собственных значений гамильтониана содержится в разделе 1. Раздел П посвящен различным прило. 415 $ е пэоелемА совственных знАчениЙ жениям: нахождению производящей функции стационарных состояний, решению уравнений движения Гейзенберга, сравнению квантового и классического осцилляторов и изучению движения волнового пакета — что дает хорошую иллюстрацию как принципа соответствия, так и соотношений неопределенности— н, наконец, исследованию свойств ансамбля гармонических осцилляторов в термодинамическом равновесии.
В разделе П1 рассматривается гармонический осциллятор в нескольких измерениях. Основной характеристикой этой задачи является наличие вырожденных собственных значений. Следствия вырождения детально изучаются в двух частных случаях нзотропного осциллятора в двух и трех измерениях. Р а ад ел !. СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ГАМИЛЬТОНИАНА 5 2.
Проблема собственных значений Чтобы пе загромождать вычисления ненужными постоянными, положим мэ = Нйа, (з) =( —."-)" ) (4) р = (п2йга)Ч Р. (5) Проблема состоит в нахождении собственных значений и построении собственных векторов оператора Н= — '(Р +Е (6) где эрмитовы операторы Р и Я удовлетворяют коммутацион- ному соотношению Д, Р) =г'. (7) Чтобы решить эту задачу, можно выбрать некоторое представление, например, (14), и решить уравнение Шредингера в этом представлении. Поскольку в Я]-представлении Р выражается дифференциальным оператором ( — (е(/дЯ), мы приходим к одномерному уравнению Шредингера Я вЂ” ++а'~ (е=-ю (8) Мы воспользуемся более прямым методом, принадлежащим Дираку; построим собственные векторы Н, действуя на один из них соответствующими операторами. Этот метод дает возможность решить задачу на собственные значения в общем виде ГЛ.
Хп. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР без ссылок на какое-либо конкретное представление, основываясь исключительно на основных постулатах пространства Гильберта и коммутационном соотношении (7). Его можно рассматривать как метод построения векторного пространства Ю динамических состояний системы, подобный описанному в $ '!1111.
6. й 3. Введение операторов а, ат и Ж Определим операторы а и аТ формулами = 2' (а+ Р), !72 аФ= Я !Р), ь!2 2 (9а) (96) операторы а и ат эрмитово сопряжены друг другу. Соотношение коммутации (7) эквивалентно соотношению [а, ат[ = 1. (10) Если в определении (6) выразить Ст и Р через а и ат, то по- лучим Н = — (аат+ ата), 1 2 (11) Положим й7=ата, (12) тогда из (10) и (11) находим Н = У + 1/2. (13) Из уравнений (1О) и (12) получаем важные соотношения: Фа=а(У вЂ” 1), (14а) йгат = аь (й7+ 1). (146) Задача на собственные значения, которую мы решаем, экви- валентна задаче построения собственных векторов оператора М, определенного формулой (12), причем операторы а и ав арми.
тово сопряжены друг другу и удовлетворяют условию (10). Докажем основную теорему. Если [т) есть собственный вектор оператора й1, а т — соот- ветству!пи!ее собственное значение, то а) э~О; б) если т = О, то а[э) = О, в остальных же случаях а[э) есть отличный от нуля вектор с нормой т(т [т), А е ПЕКТР И ВА,ИСНАЯ СИСТЕМА ОПЕРАТОРА Н 417 причем это собственный вектор оператора 19, принадлежащий собственному значению т — 1; в) вектор ат1Т) отличен от нуля, его норма равна (ъ + 1) (ч 1т), причем это собственный вектор оператора 1т', принадлежащий собственному значению т + 1.
По предположению У1ч)=т 1Р), (Т1т) ) О. Пользуясь определением (! 2) и коммутационным соотношением (10), находим нормы векторов а1Р) и ат1Р): (Т1а'а1ъ) =(Р11ч'1Р) = Р(Р1Р), (Р1аат1т) = (Р1(Ф + 1)1Р) = (т + 1) (ч1Р). (15а) (15б) что и требовалось доказать. ф 4. Спектр и базисная система оператора 57 Если т)0, то предшествующая теорема применима и к вектору а1Р), принадлежащему собственному значению ч — 1.
Это убеждает нас в том, что т ) 1. Если т ) 1, то теорема применима также к вектору аз1Р). Так мы образуем последовательность собственных векторов а1ч), аз1Р), ..., аР1ч), ..., принадлежащих собственным значениям Р— 1, ч — 2,...,т — р, ') См. задачу ч'11.9. 14 А, Мессив Однако, норма вектора в пространстве Гильберта либо положительна, либо равна нулю, причем равенство нулю нормы является необходимым н достаточным условием равенства нулю вектора.
Чтобы этот основной постулат выполнялся в нашем случае, необходимо и достаточно, чтобы т '- 0 (свойство а))'). Условие равенства нулю вектора а1Р) есть частный случай уравнения (15а). С другой стороны, векторы а1Р) и ат1Р) действительно удовлетворяют уравнениям на собственные значения теоремы, так как, согласно (14а) и (146), Уа 1ч) = а (У вЂ” 1) ! Т) = (Р— 1) а | ч), Мат ~ т) = ат (Ж + 1) 19) = (Р + 1) ат ! Р), Гл. хп. ГАРмоннческий Осциллятоэ 418 Эта последовательность обязательно конечна, так как собственные значения Ж ограничены снизу нулем. Иначе говоря, векторы последовательности все равны нулю, начиная с некоторого п + 1; действие а на собственный отличный от нуля вектор а" ~т), принадлежащий собственному значению т — и, дает 0; согласно в) это значит, что ч = и.
Аналогичным образом можно применить нашу теорему к вектору ат1т), который очевидно не равен нулю и принадлежит собственному значению (т+ 1), затем к вектору ат'~т) и т. д. Так получается неограниченная последовательность отличных от нуля векторов аэ1т), аь 1т), ..., а" !э), ..., которые являются собственными векторами Аг, принадлежащими соответственно собственным значениям э+1, э+2, ..., т+р,, Приходим к заключению, что спектр собственнь!х значений оператора Ф образован последовательностью целых неотрицательных чисел. Последовательность собственных векторов, принадлежащих каждый одному из значений спектра, получается повторным действием операторов а или ат на один из этих векторов.
Отношение норм двух соседних векторов дается соотношениями (!5а) или (15б). Это множеств векторов образует полную систему. Действительно, можно показать, что всякая функция от а и ат, коммутирующая с У, является функцией Аг (задача 1).
Поэтому оператор Аг образует сам по себе полный набор коммутирующих наблюдаемых и ни одно из его собственных значений не может быть вырождено. Построенные нами векторы не являются нормированными на единицу. Но чтобы получить ортоиормированный базис наблюдаемой У, достаточно умножить каждый вектор на соответствующую постоянную, которую следует выбрать, исходя из соотношений (15а) и (15б).
Требование нормировки определяет указанную постоянную только с точностью до фазы, которую мы еще можем выбрать так, чтобы максимально упростить получающиеся формулы. В результате находим последователь. ность ортонормированных векторов 10), ~1),..., 1п),..., (16) принадлежащих, соответственно, следующим собственным значениям М! 0, 419 $ к пгепстхвлиниз РМ Векторы связаны друг с другом рекуррентными соотношениями: а~(п)= ~/п+ 1 1п+ 1), (17) а1п) = ~/п 1п — 1) (п Ф О), (18) а(0)=0. (19) Нетрудно проверить, что все они получаются из вектора (0) согласно формуле 1и) = =1О), А/га (20) удовлетворяют уравнению на собственные значения У1п) = и ~ п) (21) и нормированы на единицу, т.
е. удовлетворяют соотношениям (п(п') = Ь„„. (22) Поскольку оператор У сам по себе составляет полный набор, последовательность векторов (16) образует полную систему векторов пространства динамических состояний изучаемой квантовой системы Ю. Остается проверить внутреанюю согласованность нашего построения 8', а именно, убедиться, что векторы из д' удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к векторам пространства Гильберта, а физические величины представлены наблюдаемыми, которые подчиняются правилам соответствующей алгебры.
Мы не будем заниматься здесь этими тонкостями (задача 3). $5. Представление (й() Векторы последовательности (16) образуют базисную систему некоторого представления, которое будем называть представлением (У). Из уравнений (17), (18), (19) и (21) нетрудно получить матрицы, соответствующие в этом представлении операторам У, а и а~. Если условиться располагать строки и столбцы этих матриц по порядку возрастающих квантовых чисел и (верхняя строка соответствует п = О, следующая строка — и = = 1 и т. д.; левый столбец соответствует п = О, следующий столбец — и = 1 и т. д.), то для оператора У получим диагональную матрицу 1О1О О 2 О О 3 О О.
420 где отличные от нуля элементы располагаются на диагонали, ближайшей сверху по отношению к главной диагонали, а для оператора ат — эрмитово сопряженную матрицу где отличные от нуля элементы располагаются на диагонали, ближайшей снизу по отношению к главной. Ввиду того, что наблюдаемые квантовой системы выражаются как функции а и аэ, нетрудно построить матрицы, соответствующие им в представлении (Ф). В частности, имеем (25) Оператор ма диагонален в этом представлении, и его собственные значения равны (и + 1/2) йа! (и = О, 1, 2, ..., Ро); наблюдаемые !/ и р выражаются как линейные функции а и ат, так что отличные от нуля элементы представляющих их мат- риц располагаются на двух диагоналях, соседних с главной диа- гональю. Читатель сам без труда построит эти матрицы.
Операторы й1, а и ат были введены для упрощения решения задачи на собственные значения. Если оператор Зв является гампльтонианом одной частицы в одном измерении, то эти операторы не имеют непосредственного физического смысла. ГЛ, Х!!. ГАРМОЮ!ЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯ10Р для оператора а — веществ.нну!о матрицу О ч/! О О . . . О О ч/г О . . . О О О 4/З О О ч/4 О О О О О „/Г о о О /2 О О О О ч/З О А/4 О М= (й/+ 1/2) й!», Ч = ( — ) (а'+ а), .г мам ха р =- ! ( — г! (а1 — а). \, 2 / $6. Операторы рождения и уничтожения (23) (24) $6. ОпеРАтОРы РОждения и уничгожеГГия 421 Однако задача на собственные значения М допускает и другую интерпретацию. Ввиду того, что уровни энергии эквидиСтаитии С ПРОМЕжУтКОМ еГ6, МажНО РаССМатРИВатЬ М КаК Гамильтониан системы тождественных частиц, находящихся в одном энергетическом состоянии еГА, число которых Гу может изменяться, так что каждое собственное состояние М соответствует определенному значению Гу и, следовательно, определенному значению полной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
