1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Обобщенная функция может быть, вообще говоря, определена на более широком функциональном пространстве, чем пространство функций ф. Действительно, если 0 [ф! является линейным и непрерывным функционалом функций ф из функционального пространства, более широкого, чем пространство фуннций ф, то функционал 0 [ф! вполне определен, линеен и непрерывен в пространстве функций ф; следовательно, (Г есть обобщенная функция.
Примеры: 6»о определена на пространстве функций и(х), непрерывных в точне х = х«; 6 „з [а! =- и (х ], Обобщенная функция Ч', соответствующая квадратично интегрируемой функции, определена на пространстве кнадратичио интегрируемых функций: Ф [ф! = ~ Ч'ф Их = (ф*, »г).
Линейные н непрерывные функционалы волновых функций волновой механики являются обобщенными функциями частного вида. й 3. Линейная комбинация обобщенных функций Т = Л,Т, + Л,Т, является обобщенной функцией, определяемой равенством Т [ф! = Л~Т~ [ф! + Л»Т«[ф! (Ль Л» — заданные комплексные постоянные).
5 4. Произведение двух обобщенных функций Если ! есть обобщенная функция, соответствующая локально интегрируемой функции й а Т вЂ” некоторая обобщенная функция, то обобщенная функция Р=[Т определена, если Т есть линейный непрерывный функционал функций [ф и по определению Р [ф! = Т [[ф!. (5) Произведение двух обобщенных фуннций сущгсгеуег не всегда, Если ! бесконечно дифференцируема, то [Т существует,при любмх Т. Если ! непрерывна в точне хь то ((6„) [ф! -[(хс) ф(х,).
(б) Если ! и я обе являются квадратнчно интегрируемыми функциями, то произведение [й определено. Напротив, [6(х)!» ие имеет снысла, (1/ф х !) — также. дополнинин л В качестве частного случая уравнения (6) имеем соотношение хб (х) О. (7) Обратно, если хТ = О, то Т пропорционально Б: Т = сб (с — постоянная). Вследствие этого, если )(х) и п(х) связаны соотношением х)(х) = я (х), то необходимо имеем )(х) Р— + сб (х), и (х) (8) где с — произвольнан постоянная. В 5.
Ряды н интегралы обобщенных функций Если последовательность обобщенных фуннций Ть Т„..., Т„... такова, что при )-ь оо при любой ф Т~ [и) имеет предел, то этот предел является обобщенной функцией (т. е, линейным и непрерывным функционалом от ~р); Т ПщТ, 7,„ Т Эквивалентное утверждение: если бесконечный ряд д,' Т~ (ю] сходится при любой е, то сумма ряда определяет обобщенную функцию; говорит, что длд обобщенных функций д, Т~ сходится. г Если Т(Л) — обобщенная функция, зависящая от параметра Л, изменяющегося непрерывно в некоторой области А, и если интеграл 7(р]- ~ Т(Л)(р]дЛ Л сходится при любой функции ~р, то интеграл определяет обобщенную фуивцвю 7-~ Т(Л)дЛ.
д Аналогичное определение имеет место для многократных интегралов. В частности, если ((х, Л) иитегрируема по х (лонально) и по Л, то обоб. щенная функция )(Л) интегрируема по Л н ее интеграл есть обобщенная фуннцин й, соответствующая фуннцин а (х) = 1 )(х, Л)4ХЛ. Если фуивция а(й) прн ]й]-ьаз мажорируется некоторой положительной степенью ]й]: ]а(й) ] ( А]й]а (А и а — положительные постоянные), то +чь интеграл ~ агах а(й) Ий является обобщенной фуннпией В частности, 447 оиовщиииыи ьчикции $6.
Дифференцирование обобщенных функций По определению производная дТ(дкг обобщенной функции есть В частности, если локально интегрируемая функция днфференцируема, то производная соответствующей обобщенной функции есть обобщенная функция, соответствующая ее производной. Действительно, интегрируя по частям, имеем [е] = ~ Т' (х) е (х) йх = — ~ ! (х) Е' (х) йх = — [ [ф']. Все свойства производных обычных функций переносятся на производные обобщенных функций.
Например, производная произведении Р = [Т есть Р' = !'Т + ]ТА (1о) Но, кроме того, некоторые результаты, относящиеся и более или менее ограниченным классам функций, справедливы по отношению ко всем обобщенным функциям без ограничений. Йменно: 1'. Обобщенные функции бесконечно дифференцируема.
1 В частности, локально интегрируемые функции 1и ]х], — (г = г = ч/х»+ у'+ х')дифференцнруемы как обобщенные функции произвольное число раз: — '2[к[= Р—, д 1 йх х' Ь вЂ” = — 4иб (б == б (х) б(у) б(х)). ! г (12) 2' Дифференцирование являетсх линейной непрерывной операцией в лространстве обоби1енньгх функций: г если 1йп Т = Т, то !пп Т)= Т . 1-»с~ г-» ю Следовательно, если ряд сходится, то он дифференцируем почлеино под знаком суммы, Аналогично, если Т(Х) иитегркруема по параметру Х: то дТ (Х)/дх~ обязательно интегрируема в той же области Х и ее интеграл ра. вен д!/дко Р а вдел П. СВОЙСТВА «ФУНКЦИИ» б В 7.
Определение Ь (х) В физике принято использовать обозначение б(х — х,) вместо более корректного обозначения Ьн [Ф], При этом не упоминают понятия обобщенной функции, а, соблюдая некоторые предосторожности, манипулируют с символом б(х — х«) как с обычной функцией. Это зна щтельно упрощает все фор. мулы. 448 ЛОПОЛНЕННЕ А Но определению, если г(х) определена в точке х = ха, то ! (х) 6 (х — х,) Ых — = б„, [) (хЦ = ! (х,). Таким образом, формально + 0 если к~х„ б (х — ха) = и ~ 6(х — ха) Их =1. (14) ( +ао если х = х, Символ 6(х — хр) является обобщением символа Кронекера ) О, если лр ~ и. зр, 1, если па= и.
8 8. Представление в виде предела ядра интегрального оператора 1, ып 1. (х — ха) 6 (х — ха) = — Ию с.р х ха (15а) ! , 1 — созх (х — хр) — Ии и нь„х (х — хр)р (156) 1 е — !пп и за+а (х — хр)'+ е' (!5в) 1пп Е (х — ха + и) — Е (х — хр) (15г) пьз т! 3 последнем выражении Е(х) есть функция Хевнсайда: ( 1, если х>0, Е (х) АО, если х(0 (обобщенная функция 6 есть производная обобщенной функции Хевисайда). Отметим еще важное предельное свойство (формула Солопкого) ! 1 Ищ Р ~!пб (х хр). рьес х — ха~!а х — х, (15д) 6(х — ха) можно рассматривать как предельную форму функции, принимающей отличные от нуля значения тольно в неноторой малой области около точки хр, где она обнаруживает резкий положятельный максимум, причем интеграл от фуикпин по всему пространству остается все время равным 1.
Например: ОБОБШЕННЫБ ФУНКЦИИ 449 $9. Основные свойства Основные свойства «функции» б таковы: 6(х) Ь( — х), б (ах) — б (х) (а Ф 0), 1 (а! 6 (х — х„) 6(й(х)) = ~~~~, " (у(х„)=0, д'(х„) чь 0), (у ( .й хб (х) О, ( (х) 6 (х — а) 1(а) 6 (х — а), 6 (х — у) 6 (у — а) Ыу = 6 (х — а), + «О Ь (х) — ~ е'ах ай. 2Д (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) 9 10. Пронзводные Ь (х) «Функция» б имеет производные всех порядков, При этом ш-я производная определяетсн равенством боя!(х)((х)бх ( — !)м(!м1(0), (23) справедливым для всякой функции ((х), т раз дифференцируемой в точке х= 0 «Функция» 6< >(х — х,) может рассматриваться каи соответствующий предел т-х производных функций в правых частях уравнений (15а), (15б), (1бв). Следующие свойства могут быть строго доказаны методами теории обобщенных функций: б! ) (х) (-!) б! 1( — х), бощ (» у) 6!л) (у а) ау бои+«1 (» а) Хю+'бощ (») =О.
(24) (25) (26) 15 А, М«ссн« Смысл этих равенств состоит в том, что один иэ членов равенства может быть заменен другим, когда опв фигурируют в качестве множителей в подынтегральном выражении некоторого интеграла по х. Все равенства могут быть строго доказаны в теории обобщенных функций (см. раздел 1). Формальное (ио не строгое) доказательство состоит в умножении обеих частей равенств иа достаточно регулярную функцию 1(х) и интегрирование по х, тогда результаты должны быть одинаковы в левой н правой частях. Так, соотношения (16), (17) и (18) доказмваются путем замены переменной в интеграле. В равенстве (18) суммирование идет по всем нулнм фуннции й(х); выражение имеет смысл только, если нули у(х) и у'(х) ие совпадают; например, 6(х') смысла не имеет.
дополнннин л 430 Первая производная б' (х) обладает свойствами: б'(х) [ (х) с(х — [' (О), О б'(х) = — б'( — х), б' (х — у) б (у — а) ду б' (х — а), б'( )= — б( ), хзб'(х) = О, б'(х) = — $ йе'з" дй, 2Д (2У) (28) (29) (30) (31 ) (32) Раздел 111. ПРЕОбРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕз) ') См. сноску О; см, также Е. Тигчмаргл, Введение в теорию интегралов Фурье, Гостекиздат, 1948 г.
$11. Преобразование Фурье. Определение Если [(х) есть функция (вещественная или комплексно-зиачиая) переменной х, то ее пребразование Фурье, есле оио существует, выражается формулой +О У( ) - У И = ( —," ) '" ~ -""" [( ) б, где а — некоторая постоянная (в волновой механике выбирают сс = !/3). При некоторых условиях сходимостн, которые должны быть уточнены, [(х) мажет быть получена из г(и) в результате обратного преобразования Фурье +Ф пз Г !( )=У ! [У)=(~ ! ) ~щ~г( ) кв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
