1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Олределигель Вронского для функций 0~ и Р( равен дР (СΠΠ— — Р— 1, С (СР С с(Р спнцикльнып оумкпин В явном виде: з!п р соз р соз р з!и р 1=Я вЂ” +Я вЂ”, н )2 — — 8 —, 1 ! Р с Р ! ! р с вы Со Ь)+' = (11! ш 15!)— Р (49) (1+ з)! 2лз! (1 — з)! (50) в~!о йс '— - — ' в Р 3!п р !е= Р соз р ис = —, Р Ь!!~! = ( —, ж — ) в+'о. 3!п Р соз Р соз р 3!и Р— — — и,= —,+ —, Р Р Рз Р Асимитотичсскис формы (р -ь оо, р > 1(1+ 1)): 1 .
л 1п 'т 1 Г 1п~ — з!п гчр — — л!, и! — осе !чр — — ), "" — -'- Г"( -ЧП'*""'" - - 1. р (51) Поведение вблизи начала координат (р-+0) (52) Общее поведение )ь При возрастании роы от 0 до +со функция р), сначала растет как р'"ь затем все быстрее (экспоненциально) до точки р = Ч(1(Г+ 1), затем она бесконечно осциллирует между двумя экстремальными значениями, которые аснмптотически стремятся к +1 и — 1 соответственно, Асимптотическая формула (51) является хорошим приближением, когда р ~ 1(! + 1)/2, однако амплитуда осцилляций практически достигает своего асимптотического значения (с точностью до 10зА) уже при р)~ 21, Рвкуррентныс формулы.
Ниже будем считать, что )~ызаВ+Ьнь где а и Ь вЂ” произвольно вы. бранные коэффициенты, ие зависящие от 1. Имеем (! чь 0); ("+'))=рй +( й (53) (54) !1 ~ + $(1-1= Р ~ 1-!~з (55) бр Р др Р у Здесь )1~ — полином по 1/р степени 1 с вещественными коэффициентами н чет- ностью ( — 1)'! 8~ — полипом по 1/р степени 1 — ! с вещественными коэффи- циентами и четностью ( — 1)'-~, сппцидльнын Фтмкции 5 8. Собственные функции гармонического осцнллнтора /те Уравнение на собственные значения (Я = ть 7 — ч): ='Ч л — (Π— —,) .. (О) = ~» + —,) ..
(О). дз Производящая функция: ~г „/~~ Соотношения ортонормированности и замкнутости: + илие дЯ = блр (66) и„(О) ил (Я') = б (Π— Я'), л с Рекуррентные соотношения; 1 / д =~Я+ — )ил П/и ил дд) 1 = ~Я вЂ” — )ил П/П+ 1 ил+в Ь72 ч дЯ ) /а+1 П ()ил -.Чт — ил+1 + — ил-ь (67) (68) (69) Четность и ( — Я) = ( — 1)л ил (Я). Выражение через полиномы Эрмита: ил=(П/и 2ли!) е чпзйл(С7). (70) Раздел !У.
ПОЛИНОМЫ И ФУНКИИИ ЛЕЖАНДРА, СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ $9. Полнномы н функции Лежандра Определения: Поливом Лежандра Р, (и) = — — (и' — 1) д' 1 21 ° Е с(и (71) (! О, 1, 2, ..., со) и,(О) есть собственная функция, нормнрованная на единицу н прннадлежащая собственному значению Е = (и+ 1/2)йы (п = О, 1, ..., оо); фаза выбирается так, чтобы выполнялось соотношение (68), и чтобы ие(0) была вещественной и положительной. дополнение е есть полинам степени 1, четности ( — !), обладающей 1 иулямн в пнтер- 1 вале ( — 1, +!).
функция Лежандра т т1т И~ (1 — и'))т д~+ Р~~ (и) (! — и ) — Р~(и) = — (и — 1) (72) Уит ! 2! Л и,1+т (-!(ич +1; 1=0,1,2,..., со; т=О 1,...,1) (73) Р (и) есть частный случай функции Лежандра Пифференциальное уравнение: с( ' 1 (! ие) — 2и — -1-1(1-1-1) — — 1Рт =0 ди' ди 1 — и' д (74) Производящие функции: ОЭ 1 =T (ср,(и), „(! 21.+, —;, (2т — 1) Н(1 — ие)тп чтч 1~Р! (и) [1 — 2(и+ Р) +НЯ Ю т Соотношения ортонормированности: +1 т т 2 (1+т)! Рьр Ии=— 21+ 1 (! — т)! бас* ! (75) (! 1( ( !) (78) Рекуррентнме соотношения: (21+ !) ирс = (1+1 — т) Р1+ь+ (1+т) Р!-и Н (! — ие) — Р! — 1ир! +(1+т)Р1, = Ии =(1+1) ирт — (1+ ! — т)Р1+„, (78) (79) (80) (соотношения верны и при 1 О, если принять Р, 0).
Частные значения Р,(!)-1, Р,(-1)-( Рт" (1) Р1т(- 1) 0 (т ~ О), ( — !?', (2р+ 2т)! если ! — т 2р; Р~~ (О) 21р! (р + т)! О, (8!) если ! — т=*2р+ ! есть произведение (! — и')т' на полипом степени ! — т и четности ( — 1)! "', обладающий 1 — т нулямн в интервале ( — 1, +1) В частности, т=! Р~! = (21 — !) О (! — ие) и, т=о Рте= р1(и); спицндльнын ехнкции Первые пять полннонов Лежандра; Р,=1, Р, и, Р, = — (Зи' — 1), 1 2 Рз = — (5из — Зи), Рз = (35из — 30из+ 3) 1 1 2 ' " 8 В 10.
Сферические функции 1 д !. ! дм' Е =Е ш ГЕ =е е~ ш — +!с!28 — ~, ,Г д д1 — и ~ — дВ дяз.1' Š— = Е, + Е + Е = — !ь —,— !чз1п — хз+— з з з з Г 1 д т, дн ! д»1 (»1пВ дВ ~ дВ У мпзВ дчЛ3' (82) (83) (84) Определение сферических функций У~~(В, Чз). Общие собственные функции операторов Ез н Еы ЕзУт !(! 1 1)У»з Е ум у»з (! О. 1, 2,..., »о; гл — 1, — !+1,.
° ., +!), (85) (85) Завершают определения условия: а) Уз!" нормированы на единицу на сфере радиуса 1; б) фазм выбраны так, чтобы удовлетворялись рекуррентные соотношения (89) н чтобы 'з(0, О) была действительной н положительной величиной. ,о Соотношения ортояормирозалности и замкнутости: у! У!. з(()= — ~ дф ~ з!пйз(ВУ! (В, зр)1г' (В, ф) бммйз!.з (87) о о ! ~~,з ~~;з ум(В ) м~В Э ( — ') Ь вЂ” ') ~ ~ ( ! ош--! Функция У!»' образуют полную ортонормированную систему квадратичио ин- тегрируемых функций на сфере радиуса!. Операторы Е„ Е, Е, е сферических координатах.
Операторы Е„ Е„, Е, являются дифференциальными зрмнтовыми операторами, определеннымн (в системе единиц, где и = 1) формулой Š— ! (гр). В качестве полярной оси выбираем Ох; (г, В, зр) — сферические координаты точки г; Й = (В,зр) обозначает совокупность двух угловых координат (зр = 0 есть плоскость яОх, ф = я(2 — плоскость гОу). Элемент телесного угла есть дй з1пВИВдр. В сферических координатах имеем: 470 дополнпнив в Рекуррентные соотношения; ь У~м — — [1(1+ !) — т(т м !)]!(г У~г+~ [(1ф гл)](1+ 1 Ф т)]угу~~с! (89) ]. (21 + 1)(21 + 3) .] '+! ) (21 + !) (21 — 1) .] (90) Четность прп пространственном отражении (О, ф) ь(п — В, ф+ и): У, (п-В, ф+и)=( — !)'У",(В, р). (91) Комплексное сопряжение: У,"'(В, ф) - ( — !) У; (О, ф).
(92) Связь с функциями Лежандра (гн г 0): У~ (О, ) = (- 1) [ Р (соз В) е! "ю. (93) Таким образом, У~~ есть произведение еипз з)п)~!О иа полинам степени 1 — [т[ и четности ( — !)~ ~ от созВ. В частности, —— — Рг (соз В), о 21+! 4п Г(21+ !) (21)! чцг У (-!) ) ' ] з!пйе!'т. '21(у) ~ '' ° (94) (95) Гармонические полиномы и сферические функции. Однородные полиномы степени 1 от х, у, х ЦУ! (т) = ггу! (В, р) ( = — 1, — 1 + 1, ..., + О (ОВ) образуют последовательность 21 + 1 линейно независимых гармонических полиномов степени 1з): ОУ, (т) =О. (97) з) Формула (97) следует из операторного соотношения, верного длн вснкой фуикпии, ограниченной при г = 0: с(г,у А — — — г — —.
,(гг з По определению полинам й(х,у, х) есть гармонический полинам, если он однороден по х, у, х и удовлетворяет уравнению ай 0; сугдествует 21+ 1 линеино независимых полиномов. 471 СПЕЦИАЛЪИЫЕ ФУНКЦИИ Несколько первых сферических фуиксшй: Уо= —, Уо= гьЧс — созВ, Уо гь С вЂ” (Зсоз Π— 1), Ч/4п 4п 1Оп Ус= сч с — (5 сов Π— ЗсозО), 3 з ')у' !Вн У вЂ” ~ — з!пВе ", У = — ~ — з!пОсозВе о /3,, /13 с 'Ч Зп '~~ Зп У! — ж — з!пВ(бсоззΠ— 1) ес'з, У гьс — мп Ое со, У ° гас — з(п ОсозОе о 2 13 .
2 тс 2 !О 2 зс )У 32п ' ! ~/ 32п > Раздел !С РАЗЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ Теорема елоаеени; +! 2!+1 К'ч м 4 'р("' )- Г У, (Омф,)У (О,„) (98) ос -! (а — угол между направлениями (Оь фс) и (Оь срз)) Функции Грини операторов Ь и Ь+ йз з): 40 ,+, Р,(сова), (г, — гз!, г~~+! (дд) е А!г' гы = !с ~ (21+ 1) сс (йг<) Ь)+'(Си )р,(сова), (100) с=о = д ~, (21+ ') )с (йг<) пс (йг ) Рс (соз а) (101) с-о I есьг 3 ~ — ) — 4пб(г), (Ь+Дз) — = — 4пб(г'), 'ь г г (Ь -1- Ас) — = — 4пб (г).
соз Ссг Г (а — угол между направлениями г, и гз! г< — меньшаи из длин г, н гз, г>— большая нз длин гс и гз). Формулы (100) и (101) верны при любых й, в том числе и при комплексных й. ДОПОЛНЕНИЕ Н 472 Разложение плоской волны и чисто кулоновской волновой функции рассеяния. Полярная ось направлена по оси а, совпадающей с направленнем начального волнового вектора й: е' * = 5 (21+ 1) 1'1, (йг) Р, (гов В), с-о (102) 1 ф, = — ~ (21 + 1) с'в "сРс (уч йг) Р, (соз В), с-о (103) 1с(В)= й ~~~ (21+!) в с з!по,Р,(созВ). с е (104) ОпРеделеннЯ У, суо ( (В), Рс, ос даны в й 4 и 5 (УРавнениа (! 8), (! 9), (25), (29) и (32)).
При другом выборе полярной оси разложения (102), (103) и (104) остаются верными, если под В подразумевать угол между направлениями А и т. Пользуясь теоремой сложения, можно получить разложения по сферическим функциям от аргументов (Вы йм) и (В„ср,). Например, сь +С с"=4 Д Д 1111 (йт) Ус" (Вси ра) Ус (В„рт). С-Ом -С ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютио интегрируемые функция 450 — чериое тело 21 Алгебра коммутаторов 204 — проекторов 258 Амплитуда рассеяния 359 — — кулоповская 406 Аптилииейпое соответствие 242 Атом Бора 33 — водорода 32, 395 — Резерфорда 20, 32 Атомизм действия 51, 118 Атомиая спектроскопия 32 Атомный спектр 32 Базисиая система функций 201 — — наблюдаемой 267 Бари 358 Барьер потенциальный 92, 101, 233 Бра-вектор 242 Вакуум 421 Вектор базисный 241 — волновой 25 — плотности потока вероятности 124 — правый, левый 268 Векторное простраиство 240 Вепоятпость 58, 119, 178, 189, 289, 322 — перехода 38 Взанмиостя свойство 92, 112 ВКБ метод 226 Водородоподобиые атомы 396 Волновая механика 55, 314 — теория излучения 17 — функции 68, 119 — — в импульсном пространстве 122 Волиовое уравиеине 68, 76, 303, 395 — — для свободной частицы 71 Волновой пакет 59, 89 — — гауссовый 133 — — и его расплываиие 83, 218 — — мивимпзирующий 1!О, 427 Волны вещества 58 Время жизни 385 Вропскиап 103, 463 Вырождение собственного значения 85, 171, 252, 343, 399, 433 Вырождения кратность 85, 343 — порядок 252 Гамильтоииаи 76, 121 — атома водорода 78 — в сферических координатах 334 — гармонического осциллятора 414 — электромагнитного поля 421 Гармоивческий осциллятор 66, 414 Гипергеометрическая функция 334 — — вырожденная 398, 404, 456 Гипергеометрический ряд 334, 398 Гипотеза Эйнштейна 23 Главиое квантовое число 400 Граиичиые точки 230 Групповая скорость 60 Дебаи — Шерера кольца 65 Де Бройля соотношения 25, 61 Действие 22 Действия интеграл 46 б-фуикция Дирака 182, 444, 446 Дизгопализация 280 Дииамические переменные 15, 166 Динамическое состояипе 79, 289 Дискретный спектр 80, 93, 95, 343 Дисперсии закон 59 Дифракция иа твердой сфере 379 — электронов 65, 155 Дифференциальное эффективное сечение 357 Дифференциальный проектор 261 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 474 Длина волны 25 — рассеяния 376 Дополнительное подпростраиство 244 Дополнительнасть 149, 153, 385 Дополнительные переменные 153, Дуализм волна — частица 31, 67, 155 Дуальное пространство 241 Задача двух тел 348 — на собственные значения !69 Закон распределения Планка 22 Законы сохраненяя чясла частиц 68 — — энергии н импульса 32 Замкнутости соотношение 187, 262 «Запаздывание» волны !12 Идеальное измерение 197, 290 Измерение импульса 146 — положения 144 Измерительный прибор 145 Изотропиый осциллятор 432, 434, 437 Импульс обобщенный 42 Интеграл действия 46 Интегралы движения 209, 309 Интерференция света 29 — — и световые кванты 30 Инфинитезнмальное преобразоваиве 285 Квант световой 22 — энергии 22 Квантование в атомных свстемах 32 — момента количества движения 37 — пространственное 35, 48 — энергетических уровней 33, 64 Квантовая статистическая механика 203 Квантовое число 202 — — азимутальиое 343, 400 — — главное 400 — — магнитное 48, 343 — — радиальное 399 — — хорошее 309 Кет.векторы 240 Классическая доктрина 15 Классическое приближение 58, 210, 372, 403, 427 Комбинационное правило 33 Коммутатор 71, 205, 245, 292 Коммутирующие наблюдаемые 198 Комптоиа эффект 22, 24 Комптоновская длина волны 25 Координаты обобщенные 41 — параболические 397 — сферические 397 Корпускулярная теория вещества !7, 37 Корпускулярио-волновой дуализм 118 — — — и дополнительность 155 Коэффициент прохождения 92, 112 Кратность вырождения 85 Кулоиовское взаимодействие 394 Лабораторная система 366 Лапласиан 71 Лармора частота 52 Лауэ пятив 65 Левый вектор 268 Линейная суверпознция 288 Линейное пространство !64 Линейно независимые векторы 241 Линейные операторы 245 Липин спектральные 32 Логарифмическая производная 87, 375 Лоренца теория электронов 19, 33 Магнитное квантовое число 48 Матрица 268 — бесконечная 274 — диагональная 271 — единичная 270 — квадратная 270 — комплексно сопряженная 268 — ортогональная 271 — плотности 321 — постоянная 270 — сингулярная 271 — транспонироваиная 268 — унитарная 271 — эрмитово сопряженная 269 Матричная алгебра 269 — механика 54 Метастабильные состояния 384, 3% Метод ВКБ 226 — — условия применимости 229 Модель атома Резерфорда 20, 32 Момент импульса 335 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ' 475 Наблюдаемые 188, 254 — коммутирующие 198 Невырожденный спектр 96 Некоммутативная алгебра 270 Непрерывный спектр 96, 190, 254 Неравенство Шварца 165, 243 Несвязанные состояния 80, 348 Норма вектора 243 — функции 164 Обобгденная функция 442 — — медленного роста 451 Обобщенной функции днфференпированне 446 — — преобразование Фурье 451 Обобщенные импульсы Лагранжа 42 — координаты 41 Обратный оператор 246 Оператор 70 — аитнэрмитов 251 — Даламбера 73 — дифференциальный 70 — Лапласа 71 — линейный 70 — положительно определенный 324 — присоединенный 249 — проектирования 255 — рождении 421, 435 — самосопряжеппый 251 — унитарный 252, 284 — уничтожения 421, 435 — эволюции 302 — эрмнтов 123, 251 — эрмитово сопряженный 249 Определитель Вронского 103, 463 — матрицы 271 Опыт Франка н Герца 34 — Штерна н Герлаха 35 Опыты Мейера и Герлаха 24 Орбита кваитованная 47, 403 Ортогональные проекторы 259, 260 — функции !13, 164 Ортонормнрованные функции 173 Основное состояние-34, 396 Отбора правила 33 Отделение движения центра масс 349, - 351, 353 Отражение волнового пакета 91, 109 Падающая волна 405 Параболические координаты 397 Парцнальные волны 370, 407 Переменные динамическйе 15 Переменные дополнительные 153 — совместные 154 Периодичности условие 192 Планка гипотеза 22 — закон распределения 22 — постоянная 22 Плоская волна 345, 347 Плотность вероятности 120 — потока вероятности 124 Подпространств пересечение 258 Подпространство 252 — собственных функций 400 Позитрон 68 Полинамы Лагерра 399, 458 — Лежандра 467 — Эрмнта 423, 465 Полная система векторов 262 — — функций 174, 186 Полное пространство 165 Полнота теории 15! Полный набор коммутирующих наблюдаемых 202, 268, 4! 8, 437 — — совместных переменных 155, 287 Постоянная Больцмана 204 — движения 209, 309 — Планка 22 — Ридберга 33, 41 Постулаты Бора 34 Потенциал прямоугольный 85 Потенциала скачок 87 Потеидиальная яма 93, 234 Потенциальный барьер 92, !О1, 233 Правила квантования 44, 46 — отбора ЗЗ вЂ” сопряжения 249 Правило Ридберга — Ритца 33 Правый вектор 268 Представление 268, 313 — (0) 275, 422 — (р) 316 — (7«') 419 «Представление» Гейзенберга 306, 425 — промежуточное 311 — Шредингера 305 Представления эквивалентные !22, 239 Преобразование Галилея 368 — инфинитезимальное 285 — матриц 278 — подобия 279 — унитарное 283, 284 — Фурье 449 — — обобщенных функций 45! Прецессня Лармора 35 Приближение Бориа 389 — геометрической оптики 58, 73 — классическое 58, 2!О, 372, 403, 427 476 пРедметный укАЗАтель Приведенная масса 394 Принцип дополнительности 152 — наименьшего действия 42 — причинности 156 — соответствия 37, 39, 45, 69, 308, 403 — суперпозиции 239 — Ферма 63 Прицельный параметр 372 Причинность 149 Проекторы 255 — дифференциальные 261 — ортогональиые 260 — элементарные 257 Производящая функции 423, 459 Пространственное квантование 35, 48 Пространство векторное 240 — волновых функций 163 — Гнльберта 164, 243 — дуальное 241 — конфигурационное 42, 75 — линейное 164 — иепризодимое 295 — полное 165 — сепарабельное 035 — состояний 288, 294 — фазовое 42 Прохождения коэффициент 92, 237 Процесс ортогоналнзацни Шмидта 172 Прямоугольная яма сферическая 348 Прямоугольный потенциал 85, 344 Пучок волновых пакетов 359 Равенство Парсеааля 178, 186 Равновесие термодинамнческое 429 Радиальное уравнение 339 Радиус Борз 397 Разложение единицы 190, 261 — кулонавской волны 408 ' — плоской волны 347 — по собственным векторам 262 — — — функциям 173, 184 Расплывание волнового пакета 83,218 Рассеяние волнового пакета 362 — глубокой прямоугольной ямой 380 — кулоновское 224, 403 — на твердой сфере 377 — потенциалом ограниченного радиуса 374 — <потенциальное» 381 — резонансное 380 — центральным потенциалом 370 Рассеянная волна 405 Редукция волнового пакета 196 Резонансное рассеяние 380, 382 Резонансы на прямоугольной яме 94 Ридберга постоянная ЗЗ, 41 Свертка обобщенных функций 455 Световые кванты 22 — — и явление интерференции 29 Свободная частица 345 Секулярное уравнение 272 Сепзрабельное пространство 165 Снмметризация 77, 292 Система пеитра масс 365 Скалярное произведение 164, 243 Скачок потенциала 87 Скобки Пуассона 309 Скрытые параметры 152 След матрипы 270 — — частичный 273 Смешанное состояние 320 Собственное значение оператора 171 Собственные векторы 415 — ФУнкции 112 171 Собственный дифференциал 115, 170 Совместные переменные 153, 198 Соотпошевня де Бройля 25, 61 — замкнутости 187 — коммутации 207 — неопределенности время-энергия 137, 310 — — координата-импульс 133, 137 — ортонормированности 254, 262 — среднее время жизни — ширина 140 Сопряженные операторы 249 Состояние метастабильное 384 — несвязанное 80 — основное 34, 396 — рассеяния 404 — связанное 80, 94, 348 — смешанное 203 — собственное 415 — стационарное 37, 79 — чистое 203, 325 Сохранение нормы 122 — потока 111 Спектр дискретный 80, 93, 109 — непрерывный 80, 108 — энергии вырожденный 99, 108, 399 — — невырождениый 96, 108 Спектра топкая структура 401 Спектральные линни 32 — термы 34 Спектроскапия атомная 32 Спин электрона 401 Среднее значение динамической переменной 166, 289 цвпдмптнын гклзлткль Среднее значение функций координат и импульсов 125, 126 Старая квантовая теории 37 Статистическая интерпретация кван.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
