1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Может даже оказаться, что в точке резонанса т« = л12, и поэтому о« обращается в нуль при Е = Еы тогда прохождение резонансной области энергии сопровождается резким падением до нуля функции о«(Е). 4 15. метАстАвильные СОстОяния ззз рели на примере прямоугольной потенциальной ямы, будет иметь место и с потенциалами другой формы, если только в некоторой области пространства потенциал становится резко притягивающим.
Ввиду особой важности этого явления дадим здесь более подробное описание резонансного рассеяния (-типа. Мы по.прежнему будем рассматривать прямоугольную яму, однако результаты без труда переносятся на потенциалы более общего вида, так как форма потенциала влияет только на закон изменения логарифмической производной ди Ради простоты изложения предположим, что резонансы достаточно узки и достаточно хорошо отделены друг от друга, так что в изучаемой области энергии присутствует только один резонанс данной парциальной волны. Кроме того, будем считать энергию резонанса столь малой, что "'о « ) (63) и что, следовательно, вкладом потенциального рассеяния можно полностью пренебречь|в). Иными словами, все фазовые сдвиги, кроме 6ь практически равны нулю, а фаза 6ь как функция начальной энергии Е, изменяется по закону Г 6, = рс =агс)п и Следовательно, 1 — с 12 6 2 (Š— Е ) .1 )Г ' и амплитуда рассеяния записывается в форме ~(О) ж — Р,(сов й) 2 (64) Р При прохождении резонанса модуль и производная фазы комплексной функции г(О) обнаруживают острые максимумы.
Имеем о (и) ) ) (О) 1 (И + )) Р ( О) с 4 (66) Р с) й61 2 Г ле 1агк)(О)) = лд = Г 4(р л ) + г . а Уравнение (65) показывает, что вблизи резонанса — в той мере, в какой можно пренебречь эффектом потенциального рассеяния, — угловое распределение рассеяния не зависит от энергии„ а определяется только моментом импульса 1; при ") Вклад этих членов в эффективное сечеиве порядка 4итоз, а члена 1-резонанса в точке резонанса — порядка 4и(21+ 1) ла = 4и(21+ 1)/Лз.
ГЛ. Х ПРОБЛЕМЛ РЛССЕЯНИЯ этом полное эффективное сечение, как функция энергии, следует «закону Лоренца»: г' о'„,Р„=4л(21+ 1) У 4(Р д м+Гз ° Р) (67) Для выяснения смысла уравнения (66) следует вернуться к исследованию рассеяния волнового пакета, проведенного в ээ 4, 5.
В принятых там обозначениях можно написать — "' = д — „"~ [ма / (в)]. Следовательно, формула (66) выражает запаздывание в прохождении рассеянной волны (см. сноску')). Мы видим, что это запаздывание зависит от энергии падающей частицы по тому же закону Лоренца, что и полное сечение, и достигает максимума 2а/Г в точке резонанса.
Полученные результаты позволяют описать явление резонанса следующим образом. В случае энергий, далеких от резонансной, падающая волна практически не проникает во внутреннюю область действия потенциала (ср. уравнение (62)) и все происходит так, как если бы она встретила на своем пути твердую сферу: рассеивается только малая фракция волны, причем рассеяние происходит без запаздывания (запаздывание порядка — гР/о). Если же энергия частицы близка к резонансной энергии, то падающая волна глубоко проникает во внутреннюю область действия потенциала: при этом значительная часть волнового пакета в течение промежутка времени порядка д/Г удерживается во внутренней зоне, а затем испукается в виде рассеянной волны.
Этим объясняется большое резонансное эффективное сечение рассеяния. В течение указанного промежутка времени перед испусканием рассеянной волны вероятность присутствия частицы во внутренней области действия потенциала оказывается очень большой и по порядку величины равной соответствуюшей вероятности для связанного состояния. Однако если связанное состояние является стационарным и имеет бесконечно большое время жизни, то рассматриваемое метасгабильиое состояние имеет конечное время жизни порядка Ь/Г. Учитывая соотношение неопределенности время-энергия, мы приходим к выводу, что такое состояние не имеет точно определенной энергии и должно быть представлено волновым пакетом с дисперсией по энергии порядка Г. Таким образом, каждому резонансу сопоставляется метастабильное состояние с конечным временем жизни Ь/Г, причем среднее значение энергии состояния равно энергии резонанса Е„ а дисперсия энергии равна ширине резонанса Г, $!З.
ВРЕМЯ ЖИЗНИ МВТАСТАВИЛЬНЫХ СОСТОЯНИИ 385 9 18. Наблюдение времени жизни метастабильных состояний Приведенное выше полуклассическое описание резонансного рассеяния не свободно от противоречий. Дело в том, что в обычных экспериментальных условиях измерения эффективных сечений (указанных в йй 4 — 6) выявление метастабильных состояний, о которых шла речь выше, невозможно. Длн измерения эффективного сечения рассеяния при заданной энергии частицы необходимо, чтобы дисперсия энергии аЕ была настолько мала, чтобы амплитуда рассеяния на интервале бЕ оставалась практически постоянной; в резонансной области это означает бЕ ~ Г. Только при выполнении этого условия можно действительно измерить ход изменении эффективного сечения в резонансной области, Однако при этом время столкновения ЦЬЕ, т, е.
время, необходимое для полного проникновения волнового пакета во внутреннюю область действия потенциала, оказывается значительно больше времени жизни й)Г метастабильного состояния. Это последнее становится таким образом не. наблюдаемым (см. сноску а). Чтобы выявить метастабильное состояние, следует осуществить «дополнительные» (в смысле Бора) условия эксперимента (68) АЕ2 Г. Для определенности (см. сноску ') рассмотрим волновой пакет изученного в 4 б типа, который удовлетворяет одновременно условиям (9) и условию (68).
Предположим, кроме того, что Е, > АЕ > Г'а). Мы используем обозначения 66 4 — 6 и примем, что й = О и 1с = О. Подставляя в (17) выражение (64) для ((0), получим слелуюшую асимптотическую форму рассеянного волнового пакета: ,, (,-%) 'Р(св — (21 (-1) Р (сов 8) 1' е " У 2 г где Т 4(й' — й) вг)(» вэ)г в Ег йс Е' — Е + — Г Р 2 ( 8222 2») здесь мы обозначили Е =— 2 Основной вклад в интеграл 1 дает область, где велико значение А(й' — й)у гчŠ— Е + — Г).
Переходя к сферическим координатам,положим Р 2 Лй'-й' аи'бй'- Ъг аи'ФБ' и й' = й'и'. Интегрирование по углам касается только функции А(й' — й). Что касается интегрирования по Е', то согласно предположению (68) существенной областью является (Е' — Е,) ~ Г, где функция А(й' — й) может быть 'а) Это предположение, а также условие (63) не являются существенными, но они позволнют выразить окончательный результат в более простой форме. Для выполнения этих условий совместно с (9) и (68) необходимо потребовать о, С йгр «С 1, 13 А, Мессии ГЛ, Х.
ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ заменена на А(йри' — Й), а й' — на первые два члена разложения Тейлора (считаем Г ~ Ер): й'жй + — (Е' — Е). Поэтому можно написать где мы обозначили А = ~ Л (й,в' — й) ай; А (Д ЕР)" Е(т) = ~ гГЕ'. о Е Е + — Г Р 2 Читатель без труда проверит, что это выражение для ! справедливо только, если )т( ~ А/ЬЕ. Заметим, что . Гт Е 'ЗА' Е(т)= ~, г(з, з+! Г Поскольку )т( Ъ й/АЕм нижний предел интегрирования можно заменить на — ео и тогда интеграл Е(т) вычисляется по теории вычетов; именно О, если т < — й/ЬЕ ( О; Е( )= — 2я(е ~~~~, если т~й/АЕ > О.
(69) Окончательно получаем йг~щ — (2! + 1) Р (соз 0) — Р Г Е ! ! — — 1) (70) ") Это дисперсия энергии каждого волнового пакета отдельно, Общее поведение этой волновой функции определяетса свойствами функции Е(т), вытекающими из (69). Это расходящаяся волна, ограниченная спереди волновым фронтом, перемещающимся по закону г = ор!. В каждой данной точке интенсивность волны сначала равна нулю, затем она резко заменяется от О до некоторого положительного значения — это соответствует прохождению волаового фронта, оно продолжается примерно в течение времени й/АЕ, что значительно меньше й/Г; затем интенсивность уменьшается по закону ехр ( — Гг/й).
На опыте, чтобы обааружить этот закон экспоненциального затухания, в течение короткого промежутка времени посылают пучок волновых пакетов, отвечающих указанным выше условиям, и регистрируют с помощью детектора иа расстоянии Р от рассеивающего центра число частиц, рассеянаых в направлении телесного угла (й, й + г(й), Поскольку дисперсия энергии ") падающих волновых пакетов очень велика (АЕ Ъ' Г), момент столкновения ! = О определяется точно; б! ц й/Г. Количество детектйруемых частиц определяет- й !т ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ 337 ся величиной !Чп«Р!з в точке нахождения счетчика; согласно уравнению (70), онз пропорционвльнв /т(1 — О/о).
Частицы не регистрируются до момента времени О/ср, когда фронт волны достигает счетчика; это время, необходи. мое для того, чтобы частица, испущенивя центром с «резонвнсной скоростью» и„, достигла счетчика. В дальнейшем число регистраций частиц определяется законом ехр( — Г(/а), что и соответствует обрвзовапию в момент времени 1 = 0 метаствбильного состояния со временем жизни й/Г. Уквзанныс выше условия эксперимента обычно осуществляются при рвдиовктиввом распаде ядер (а- и р-рвдиовктивнострь у-рвдиовктивность изомерных ядер), Раздел Ч, РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И СВОИСТВА й 17. Интегральные представления фазовых сдвигов Ю(уг-М.'=-~0,(Г/-0) У, /г.
Устремляя пределы интегрирования а и Ь к О и со соответствен- но, находим 2рп Г зш (61 — 61) = — 6» ~ А ()г — )/) уг Г/г. 6»а,) о (72) Некоторые свойства и методы вычисления фазовых сдвигов могут быть получены нз соответствующих интегральных представлений. Интегральные представления фазовых сдвигов очень разнообразны. Чаще всего они получаются простым применением теоремы вронскиана к подходящим образом выбранным решениям радиального уравнения. Одно такое представление мы дадим в этом параграфе. Другое будет изучено в $20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
