1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 72
Текст из файла (страница 72)
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И МЕТОД ФАЗОВЫХ СДВИГОВ Э 1. Введение Эта глава посвящена элементарным понятиям теории столкновений. Результаты опытов по столкновению частиц выражаются при помощи так называемых эффективных сечений, непосредственно связанных с асимптотическим поведением стационарных решений уравнения Шредингера.
Поэтому, определив понятие эффективного сечения, мы посвятим большую часть раздела 1 выяснению этой связи на простом примере рассеяния частицы на потенциале, который достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности (быстрее !/г); далее будет показано, каким образом, с помощью метода отделения движения центра масс, применить полученные результаты к случаю столкновения двух взаимодействующих частиц. Все остальное содержание главы относится к рассеянию частицы на центральном потенциале и методу решения этой задачи, известному как метод фазовых сдвигов.
Этот метод излагается в разделе 11. Он особенно удобен, если потенциал имеет конечный радиус действия, ибо в этом случае особенно четко проявляются замечательные свойства фазовых сдвигов, что будет разобрано в разделе 111. Особо следует отметить резонансные явления, проявляющиеся при столкновениях квантовых частиц — аналогичные явления имеют место в любой задаче о распространении волн. Обсуждению и физическому истолкованию резонансных явлений посвящен раздел 1Ъ'.
Наконец, в последнем разделе Ч будут приведены некоторые полезные выражения для фазовых сдвигов и выведены две приближенные формулы: формула Бориа и формула Бете, или формула эффективного радиуса действия. Раздел Е ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ И АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ Э 2. Определение эффективных сечений Рассмотрим типичный эксперимент по рассеянию, когда моиокинетический пучок частиц бомбардирует заданную мишень. Пусть У вЂ” величина первоначального потока, т. е. число й 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ СЕЧЕНИН вот частиц пучка, пересекающих в единицу времени единицу плошади поверхности, перпендикулярной направлению пучка и неподвижной относительно мишени. Если Р— число частиц в единице объема падающего пучка, а и — скорость частиц пучка по отношению к мишени, то В обычных условиях опыта Р столь мало, что можно пренебречь взаимодействием частиц в первоначальном пучке и считать, что столкновения отдельных частиц с мишенью происходят независимо друг от друга.
Счетчики измеряют число Л' частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесном угле г(ь1 в направлении (з = (В, гр). Это число прямо пропорционально потоку частиц Л' = УХ (О) г(ь2. Величина Х((з), имеющая размерность площади, является параметром, характеризующим столкновение частицы, обладающей скоростью и, с мишенью: это эффективное сечение рассеяния частицы мишенью в направлении ь). В большинстве случаев мишень состоит из большого числа М атомных или ядерных рассеивателей, причем расстояния между этими атомами или ядрами атаман достаточно велики по сравнению с длиной волны падающих частиц, так что можно пренебречь всеми явлениями интерференции между волнами, рассеянными различными центрами '); каждый центр рассеяния действует независимо от других. Если, кроме того, мишень выбирается достаточно тонкой, чтобы можно было пренебречь многократным рассеянием, то Л' оказывается прямо пропорциональным У Л'= УЖО (й) сИ.
Площадь а(ьз) называется эффективным сечением рассеяния частицы на рассеивающем центре в направлении ьа или, короче, дифференциальным эффективным сечением рассеяния, Полное число частиц, рассеиваемых в единицу времени, получается интегрированием по углам.
Оно равно ХУаполк, где а„,а„= ~ а (ь)) сЯ вЂ” полное эффективное сечение рассеяния, В ядерной физике центры рассеяния имеют линейные размеры порядка 10-'в — 1О-'з см, эффективные сечения обычно ') Эта ситуация реализуется не всегда. Например, при различных дифракционных явлениях в кристаллах — дифракции электронов, тепловых нейтронов или рентгеновских лучей — важнейшую роль играет именно указанная выше интерференция.
ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ измеряются в барнах или мнллибарнах: 1 барн = 1О см', 1 миллибарн (мб) = 1О т смт. Во всех этих рассуждениях мы молчаливо предполагали, что рассеяние происходит в результате упругих столкновений, т. е. столкновений, при которых квантовое состояние рассеивателя не изменяется и не происходит передачи энергии внутренним степеням свободы рассеивателя.
Пока мы ограничимся только упругим рассеянием. Кроме того, мы не будем рассматривать рассеивающий центр (атом нли ядро атома) во всей его сложности, а будем описывать его статическим потенциалом, зависящим от радиуса-вектора г частицы. $ 3. Стационарная волна рассеяния Исследуем задачу о рассеянии частицы с массой и на потенциале )т(г), причем в этой главе ограничимся только такими потенциалами, которые при г-ь оо стремятся к нулю быстрее 1/г. Рассеяние на кулоновском потенциале будет рассмотрено в гл.
Х1. Пусть Š— энергия, а р= йй — начальный импульс частицы. Эффективное сечение а(ь1) можно связать с таким решением уравнения Шредингера [ — —, й+ )уя)зфа (г) = Еф, (г), которое на бесконечности имеет асимптотическую форму гаг в'а'+ 1 (д)— (1) Примем без обсуждения' ), что для каждо~о значения й имеется одно и только одно решение этого типа. Будем называть это решение фа(г) стационарной волной рассеяния с волновым вектором й.
Физический смысл обоих членов асимптотической формы решения легко понять, если обратиться к определению (11т. 9) вектора плотности потока з) Х(г) = —.Цф (г) (Чф (г) — (7$(г)) ф (г)] ') Это утверждение будет доказано в разделе И для случая, когда центрально-симметричный потенциал У обнаруживает достаточно регулярное поведение в начале координат. з) Можно определить эрмитов оператор у(ге), представляющий плотность потока в точке ги г (га) — (рб (г — го) + б (г — гз) р); 1 2ш тогда плотность потока, определенная выше, есть среднее значение этого опе: ратора в некотором заданном квантовом состоянии.
% е пучОк ВОЛНОВых плкстОВ 366 Плоская волна еоы представляет волну с плотностью ! и плотгаг пастью потока Ьм/т. Член /(й) —, если учитывать только г члены наинизшего порядка по 1/г, описывает волну с плотностью (/(й) (з/га и плотностью потока, по направлению й в сторону увеличивающихся г (расходящаяся волна), равной— Ьй ~/(ьз) !' Ввиду того, что влияние потенциала )г в асимптотической зоне пренебрежимо мало, можно, следуя классическому приближению (см. й 1/1.
4), интерпретировать член ены как пучок моно- кинетических частиц с импульсом йй и плотностью 1( начальный пучок). Тогда член / (й) е'а'/г интерпретируется как радиальный пучок частиц, исходящих из центра, т. е. представляет поток рассеянных частиц. В согласии с этой интерпретацией найдем число частиц, рассеянных в единицу времени в телесный угол с(й в направлении й: это поток частиц, проходящих через участок сферической поверхности очень большого радиуса, который виден из начала Ьй координат под телесным углом (й, й+ г(й), т. е. — (/(й) (згтй. Разделив это число на величину первоначального потока / = Ьй/т, получим эффективное сечение рассеяния О(й) (/(й) !'. (2) Функция /(й) называется амплитудой рассеяния. й 4.
Описание рассеяния при помощи пучка волновых пакетов") Интуитивные рассуждения предыдущего параграфа некорректны по двум причинам. Во-первых, вектор плотности потока не является простой суммой потоков от плоской волны и рассеянной волны. Необходимо учесть вклад интерференции между ехр(йг) и /(Г)) ехр(Ж)/г. В предшествующих рассуждениях явление интерференции не учитывалось.
Во-вторых, представление физической ситуации стационарной волной рассеяния — „вг фа(г) е (3) является идеализированным. На самом деле каждан частица, подвергающаяся рассеянию, должна представляться волновым пакетом, об)зыованным супер- позицией стационарных волн типа (3), соответствующих волновым векторам, несколько отличающимся по величине и направлению от й. Этот пакет должен быть построен так, чтобы правильно учесть начальные условия задачи. Вследствие дисперсии по направлению импульса его поперечные размеры ог- ') Рассмотрение проблемы рассеяния в й 4, б и 6 основано на рабатах Цу и Лоу по теории рассеяния.
Вычисления $ 16 также заимствованы из этих работ. ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ 360 раничеиы и не превосходят размеров диафрагмы источника первоначального пучка. Вследствие же дисперсии по энергии пакет ограничен также и в продольном направлении и распространяется прямолинейно в направлении мишени со скоростью, равной групповой скорости в = ЬЬ/нь Удобно характеризовать траекторию частиды положением Ь точки ее пересечения с плоскостью (5), проходящей через рассеивающий центр перпендикулярно направлению распространенна.
Пусть ге — момент времени пересечения плоскости (5) центром пакета в том случае, когда его движение не возмущается рассеивающим потенциалом; тогда закон движения центра пакета до столкновения может быть записан в форме (г) Ь + и (à — (а). Начальный поток является в действительности потоком волновых пакетов указанного выше типа, перемещающихся параллельно друг другу со скоростью о н отличающихся друг от друга только значениями параметров Ь н !м фиксирующих движение центров пакетов до столкновения. Делгллтлд г(емлто рис. 29. Схема эксперимента по рассеянию и характеристические длины в этом опыте. В дальнейшем обсуждении будут рассматриваться следующие характеристические длины (рис, 29): = Ь/то — средняя длина волны падающего волнового пакета; ,! — поперечные и продольные размеры падающего пакета; а — размеры зоны рассеянии; 0 — расстояние регистрирующего прибора от зоны рассеяния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
