1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 68
Текст из файла (страница 68)
д ) дг о о о ') В дальнейшем индексы ь/ = 1, 2, 3 служат для обоэначепия компо- нент векторов в декартовых координатах Ох, Ор, Оа; так, например, г1 — х, р1 — р,ит.д, 336 ГЛ. !Х. ЦЕНТРАЛЬНО СНММЕТРНЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ Поскольку гф обращается в нуль при г-ь ос, мы должны выяснить поведение функции ф в начале координат. Очевидно, что оператор р, является зрмито. вым только, если ограничиться квадратично интегрируемыми функциими, которые подчиняются дополнительному условию ') 1пп г ф (г) = О. г-ьо Из определения р, следует, что этот оператор коммутирует с любой функцией 8 и вх а также с тремя компонентами 1, но (г, р,)=гй. (8) Существует операторное тождество рт = рт + 1'/гт (г чь 0), согласно которому действие на функцию ф(г) операторов р' и р, '+ (1т/гт) дает одинаковый результат при г Ф О. Чтобы его доказать, применим для вычисления В тождество [АВ)т = А'Вт — (АВ)т подставляя вместо векторов А и В операторы г и р.
Разумеется, поскольку компоненты г и р не обязательно коммутируют между собой, это тождество остается справедливым только при сохранении порядка следования операторов, именно 1' — = (гр) (гр) = 2., (г;р)г;р) — ггр)г)рг). г, ) Повторное применение коммутационных соотношений (4) по.
зволяет переписать это тождество в виде 1'= гарт — (гр)т+ 1л р, (10) д д д д НО ПОСКОЛЬКУ Г = (Х'+ ут+ гт) 'А, Х вЂ” + у — + г — = à —, дх ду дл дг ' следовательно, й д гр = г — — = гр, + 1)) дг и, учитывая соотношение коммутации (8), получаем (гр)' — 18 (гр) = (г р — Й)(гр) = гр, (гр, + 18) = г р'. т) Оператор и, зрмитов, но ие является наблюдаемой. Какой бы ни была постоянная ы, решение дифференциального уравнения й 1 д р,.~ (г) — — — — (г) (г)) = ю) (г) г дг есть, с точностью до постоянного множителя, ехр(йлг/Л)1г. Это решение не удовлетворяет условию (7); задача на собственные значения р, ие имеет ре. шения (Оператор р, зрмитов (симметричен) на функциях, удовлетворяющих условию (7), но его нельзя расширить до самосопряженного — Прим.
перев.), З 2. ОТДЕЛЕНИЕ УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ЗЗТ Правая часть тождества (10) поэтому равна г2(р2 — р,'). Разделив обе части уравнения на г2, получаем искомое тождество (9), справедливое всюду, кроме, быть может, точки г = О. Лалее, разделив обе части тождества (9) на 2л2, находим выражение для кинетической энергии, а затем и выражение га. мильтониана в сферических координатах 2 12 Н вЂ” — + —, + )Г(г). (1 1) Р= — —.2В [з!НО ЭВ (з!НО ЭВ ) + э 21. (12) В заключение выпишем уравнение Шредингера в сферических координатах: Ы ... 2 12 2' + ~, + )г (г)~ ф(г, О, <р) =Еф(г, О, ф).
(13) Разумеется, решения этого уравнения могут рассматриваться как решения уравнения Шредингера только после изучения их поведения в начале координат. Не следует забывать, что справедливость выражения (11) в начале координат не является автоматически обеспеченной, независимо от вида функции, на которую действует гамильтониан Н. Не приводя доказательства, ограничимся здесь указанием того, что уравнение (!3) эквивалентно уравнению Шредингера во всем пространстве, включая начало координат, если только ф удовлетворяет условию (7), т. е.
условию эрмитовости оператора р,. 3 3. Отделение угловых переменных. Сферические функции Из выражений (11) и (12) видно, что операторы Н и Р коммутируют. Это можно было предвидеть: поскольку Н коммутирует с 1, 1„, 1„ он коммутирует и с любой функцией от этих операторов и, в частности, с Р. Наблюдаемые Н и Р имеют (по крайней мере одну) общую базисную систему.
Поэтому решение проблемы собственных значений Н следует проводить в два этапа: решить проблему собственных значений Р, а затем Подобно энергии классической частицы гамильтониаи есть сумма трех членов: «радиальной кинетической энергии» р2/2л2, «вращательной кинетической энергии» Р/2л2г2 (заметим, что л2г2 есть момент инерции относительно начала координат) и потенциальной энергии (г(г). Непосредственное вычисление с заменой переменных, упомянутое в начале параграфа, приводит к тому же выражению, причем оператор Р представляется в виде ЗЗ8 ГЛ. 1Х.
ЦЕНТРАЛЬНО.СИММЕТРИЧНЫН ПОТЕНЦИАЛ искать собственные функции оператора Р, удовлетворяющие уравнению Шредингера. Конкретная форма потенциала )г(г) будет играть роль только на втором этапе вычислений. При нахождении полной системы собственных функций оператора Р переменная г является параметром и может быть временно опущена, так как оператор Р действует только на угловые переменные О и ф.
Оператор Р коммутирует с каждой компонентой момента импульса (см. уравнение (и'.70)), в частности, он коммутирует с 1,. В теории специальных функций показывается, что общими собственными функциями операторов Р и 1„определенных выражениями (12) и (3), являются сферические функции У~ (О, ф).
Основные свойства этих функций даны в Дополнении Б (О 10). Их построение будет подробно обсуждаться при систематическом изучении момента импульса в квантовой механике (гл. ХП)). Различные сферические функции отмечаются индексами 1и т, причем 1 может принимать все целые положительные значения и нуль, а т — все целые значения от — 1 до +1. Имеем: 1'У, (О, ф)=1(1+ 1)й'У;(О, р), (14) 1.Уг (О, р) =тАУ;(О, р) (15) (1= 0, 1, 2, ..., оо; т= — 1, — 1+ 1, ..., + 1). В пространстве квадратично интегрируемых функций от 0 и ф, т.
е. в пространстве квадратично интегрируемых функций, определенных на сфере радиуса 1, сферические функции образуют полную ортонормированную систему. Следует учитывать, что скалярное произведение определяется в этом случае как интеграл по сфере единичного радиуса з), причем элемент поверхности выражается формулой дьл = з1п О с(0 с(ф. Соотношения ортонормированности записываются в виде ~ Уг )7 с(()= — $ с(ф ~з1пОг(ОУг (О, ф))'г (О, ф)=би б (16) о о Каждой паре квантовых чисел (1, т) соответствует одна сферическая функция. Требуя, чтобы функция ф(г, О, ф) была общей собственной функцией операторов Р и 1„принадлежащей собственным значениям 1(1+1)йз и тй соответственно, мы определяем ее угловую зависимость: функция ф(г, О, ф) имеет форму ~(г)Уг" (О, ф).
') См. обсуждение в конце Е Ч!1.13. Аналогичные соображения следует иметь в виду при написании соотношения замкнутости в представлении (8, д) (уравнение (Б. 88)). 2 Е РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ $ 4. Радиальное уравнение Перейдем теперь ко второму этапу решения уравнения Шредингера.
Мы должны найти общие собственные функции коммутирующих операторов га', 12 и 1,. Они являются решениями уравнения Шредингера вида: ф, (г, Е, р)=у, (В, р)х,(г). (17) Из того, что аР, есть решение уравнения (13), а У, — собственная функция 12 (уравнение (14)) следует, что х,(г) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка 2 2(! ! !)222 — + ш„а + )г (г) — Е1 Х! (г) = О, (18) ! 222 гдер — = — й — ' — г, 2 — 2 ига Удобно ввести обозначение у,(г)=гх,(г) и заменить уравнение (!8) эквивалентным радиальным уравнением да а22 эа — — ~га +1(1+1) 2 а + )г(г) — Е|уа(г)=0„(20) которое имеет большое сходство с одномерным уравнением Шредингера, Отметим, что норма ф,, после проведения интегрирования по углам, определяется выражением а а (ар,", ар,") = ~ г'(Ха(г) )22(г= ~ ~ у,(г)~22(г (21) о а и что условие (7) эрмитовостн р, эквивалентно условию д,(0) = 0.
(22) Нас будут интересовать не все возможные решения радиального уравнения (20), так как для того, чтобы функция была приемлема в качестве собственной функции необходимо, чтобы уа удовлетворяла некоторым условиям регулярности. Нужно: а) исследуя поведение у! в начале координат, убедиться в том, что а(а, действительно является решением уравнения Шредингера во всем пространстве, включая начало координат; б) потребовать, чтобы решение было нормируемым (в смысле, определенном на стр. 185). Зйо ГЛ, 1Х, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫИ ПОТЕНЦИАЛ В целях уточнения условий регулярности рассмотрим подробнее поведение решений уравнения (20) вблизи начала координат.
Будем предполагать, что потенциал У(г) ограничен во всем интервале, кроме, быть может, начала координат, где допустима сингулярность типа 1/г. Эти предположения выполняются во всех практически интересных случаях. При таких условиях уравнение (20) допускает одно «регулярное» решение /т1 (определенное с точностью до постоянного множителя), которое в начале координат обращается в нуль как г'+'1 другое решение вблизи начала координат ведет себя как (1/г)"). Для доказательства предположим, что функция У(г) является аналити.
ческой в окрестности начала координат, и будем искать частное решение уравнения (20) в виде ряда г'(1 + а,г а,гз + ...), Подставляя это разложение в уравнение, разлагая функцию У(г) в ряд Тейлора и приравнивая нулю коэффициенты при равных степенях г в левой части уравнения, получим бесконечную последовательность алгебраических уравнений, из ноторых первое з (з — 1) — 1(1+ 1) = 0 определяет з, а последующие — коэффициенты аь аз, ....
В нашем случае уравнение для з имеет два решения: 1+ 1 и — 1. Если з = 1+ 1, вычисление ноэффициентов ряда может быть продолжено до бесконечности и мы получаем «регулярное» решение В. Если же з = — 1, то вычисление коэффициентов невозможно, Однако, нетрудно показать, что если го является решением уравнения (20), то функция г которая вблизи начала координат ведет себя как (1/г)', также является решением уравнения.
Общее решение есть линейная комбинация этих двух частных решений. Всякое решение типа (1/г)' должно быть отброшено, так как оно не удовлетворяет по крайней мере одному из условий а) и б). Действительно, если 1~ О, интеграл от квадрата модуля такого решения расходится в нуле и согласно уравнению (21) функция ф,", образованная из такого решения, не принадлежит пространству Гильберта (условие б)), Заметим, что расходимость в нуле имеет место и для собственного дифференциала функции ф, . Поэтому данное решение должно быть отброшено ч) Это естественно, так нан общее решение уравнения (20) в окрестности нуля нрнближенно может быть представлено решением уравнения а общее решение последнего уравнения есть о(г) аг+ + — (а и Ь— 1+~ Ь гг произвольные постоянные).
з к совственные Решения РАдиАльного уРАВнения 34! как в случае дискретного спектра Е, так и в случае непрерывного спектра. Это рассуждение неприменимо при 1= О. Но в этом случае соответствующая волновая функция |Рь ие удовлетворяет уравнению Шредингера (условие (а)). Действительно, вблизи начала координат эта функция ведет себя как 1/г и, поскольку 6(1/Г) = — 4лб(г) (см. уравнение (А.12)), имеем (О Е) фо= 6(г) Таким образом, мы должны сохранить только «регулярные» решения или, что то же самое, решения, удовлетворяющие условию (22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
