1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поскольку оператор У<о> унитарен, оператор Н<о>(0-;Ь ~ — У<о>(1 <о)10~о>т(«.) эрмитов (задача 6). Таким образом, оператор У<о>(й (о) является строгим решением уравнения Шредингера (й н г до> Н<о>(у<о> (у<о> (< (50) Гамильтониан Н можно представить в виде суммы двух операторов Н<о>+ Н один из которых — Н' — в наших предположениях можно рассматривать как малое возмущение, а второй — Н<о> есть гамильтониан уравнения Шредингера, которое мы умеем интегрировать, В этих обозначениях уравнение (49) записывается просто и — „" и'=Н'(у', и< (51) причем Н; получается из Н' с помощшо унитарного преобразования, зависящего от времени Н' у<о>тН у<о> (52) ') Обсуждаемые манипуляции являются обобщением иа случай дифференциальных операторных уравнений известного метода вариации произвольной постоянной в элементарной теории дифференциальных уравнений.
$!а. ОЛРвдвленне пРвдстлвлвиня З1З Мы видим, что удобно ввести «представление», промежуточное между «представлениями» Шредингера и Гейзенберга, а именно то, которое получается при действии на векторы и наблюдаемые «представления» Шредингера унитарного оператора (Да)т(г, га).
Обозначим с помощью индекса 1 векторы и наблюдаемые этого нового «представлениям ! фИ)) = На»' ! фз (()), А, (г) — ц~о>+Афро~ (53) (54) В промежуточном «представлении» вектор ~ф(~)), представляющий возможное движение квантовой системы, равен 0'(фз(га)). Согласно уравнению (51), этот вектор эволюционирует (медленно) во времени, подчиняясь уравнению Шредингера с гамильтонианом, выражающим энергию возмуще» ния Нт (55) С другой стороны, физические величины представляются подвижными наблюдаемыми; эти наблюдаемые подчиняются уравнениям движения Гейзенберга с «невозмущенным» гамильтоиианом Нг. о.
ВЯ д» А, = 'ьАп Ню 1+ 2Я (56) Раздел П!. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ Е 15, Определение представления Согласно теории, развитой в двух первых разделах, все необходимые для описания квантовой системы элементы оказываются в наличии, если определены ее основные динамические переменные, коммутационные соотношения, которым подчиняются представляющие их наблюдаемые, и явное выражение через этн основные наблюдаемые гамильтониана, который определяет эволюция системы во времени. Тогда можно построить пространство «Т векторов, представляющих различные возможные динамические состояния системы, определить физический смысл векторов пространства, решая задачи на собственные значения для различных наблюдаемых, выписать и решить фундаментальные уравнения эволюции и, наконец„ что легко показать, производя с уравнением (54) те же манипуляции, которые в случае уравнении (38) привели к выводу уравнения Гейзенберга.
гл. чш, описание физических явления з14 осуществить вычисление статистических распределений результатов измерений, которые теория должна предсказать. Чтобы решить все эти проблемы анализа и алгебры в пространстве д', всегда можно выбрать (и бесконечным числом способов) полную ортонормированную систему векторов и представить операторы и векторы в Р с помощью матриц в представлении, где базисом служит выбранная полная система векторов.
Таким образом, всякая динамическая переменная системы представляется квадратной эрмитовой матрицей, всякое динамическое состояние — правым вектором (или зрмитово сопряженным левым вектором), определенным с точностью до постоянного множителя. Существует столько возможных представлений теории, сколько имеется рааличных базисных систем векторов. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью унитарного преобразования. Эти унитарные преобразования матриц не следует смешивать с унитарными преобразованиями операторов и векторов, которые позволяют, согласно разделу П, изменять <представление» движения самой квантовой системы. Чаще всего представление определяется заданием полного набора коммутирующих наблюдаемых: общие собственные векторы этих наблюдаемых как раз н явля1отся базиснымп вектопами представления. Базисные наблюдаемые представления н все функции этих наблюдаемых в этом представлении выражаются диагональными матрицами.
й 16. Волновая механика Волновая механика является частной формулировкой кван.товой теории, когда принимается «представление» Шредингера и выбирается представление, в котором диагональными являются операторы координат. Вернемся к квантовой системе, обладающей классическим аналогом, с Ж степенями свободы, которая рассматривалась в $7. Координаты дь рь ..., д» образуют полный набор коммутирукпцих наблюдаемых и определяют представление (д). Это представление уже использовалось выше при построении самого пространства еТ. При подходящем выборе фаз и нормировки базисных векторов мы получили очень простые выражения для матричных элементов операторов д и р (уравнения (26 — 27)). Основными уравнениями представления (д) являются соотношения ортонормированности (25) и соотношение замкнутости, которое в сокращенных обозначениях й 7 записывается в форме Рч — = ~! Ч') М (9' ( = 1 (Ф = юг)~ г(Ч~ ° г7г)и) (57) $ КА ВОЛНОВАЯ МЕХАННКА З16 Каждый кет-вектор )ф> представляется матрицей с одним столбцом и компонентами (д')ф>.
Эта функция координат дн д,.', ..., д'„в конфигурационном пространстве, которую можно записать в виде бр(д,', д,', ..., д',), и есть волновая функция, представляющая динамическое состояние системы на языке волновой механики: «)'!ф>=— <Ч',),' " Ч;1 Р) =— Р()н Ч,', " 1'). (66> Скалярное произведение /ф> на )~р> равно скалярному произведению соответствующих волновых функций в том виде, как оно определялось в волновой механике: (р!ф>=<ч )Р,!Ф>= ~«р! )'>Ф~'«)'!ф>= $ р*(Ч') Р(Ч') И' (60> Проверим тождественность операторов волновой механики и матриц, представляющих наблюдаемые в (д)-представлении. Пользуясь выражением (26) для матрицы наблюдаемой д, убеждаемся, что д„!ф> представляется волновой функцией (~7 !'1 !"т>=Ч (Ч ! "т>='1„'Ф(~7 ) и вообще действие некоторой функции У(д) =— У(Чьдь.,г1и> от координат пространства конфигураций на кет-вектор )ф> сводится к умножению бР(д') иа У(д') (Ч'! У()) )Ф>= У()'ИИ').
(60) Далее, пользуясь явным выражением (27) для матрицы, представляющей наблюдаемую р„убеждаемся, что состояниер„!$> представляется волновой функцией: <ц'1р !Ф>= ~<Ч')р ! 1"> "Ч" «7" 1Ч»= = —, ~ —. (б(Ч' — Ч")! Ф(Ч") бМ" = з дд„ = —. —, ф (д'). (61~ дб'„ Следовательно, наблюдаемая р, представляется операцией частного дифференцирования — 01д/дд„волновой функции, стоящей справа от оператора р„. Таким образом, интересуюшая нас тождественность без труда проверяется для функций координат (уравнение (60)) н для составляющих импульса (уравнение (61) ). Но поскольку всякая наблюдаемая выражается некоторой алгебраической функцией от р и д, мы приходим к общему заключению: любая З1З гл. еш. описание эизических явлении физическая величина А (д; р) в волновой механике представляет.
Ь д ся оператором А (д; †. †). 1 дд)' В качестве примера рассмотрим энергию Н. Если предположить, что потенциальная энергия не зависит от времени, то наблюдаемая Н имеет вид Х2м + ! Матрица, задающая энергию в представлении (д), имеет форму, (ч~ и'и(") =н(ч: —,— дч ) б(ч — ч")= -ГК(-~),'* +~ь1]иг — ~. Е ~ г дд, Выражение в квадратных скобках является оператором, дей- ствующим на б(д' — д") как функцию 7', Следовательно, век- тор НЯ> представляется волновой функцией: ~г~ищ-н~» ~=~ — т — ' — '*„-~ к<~1~~»1. 2е~ де«' 8 Если, наконец, в «представлении» Шредингера, написать фундаментальное уравнение движения (35) в представлении (д), то мы получим уравнение Шредингера в его обычной .форме ~й — д, ф(~; г)=Нф(~: 1). Это завершает доказательство того, что волновая механика представляет собой, формулировку квантовой теории в пред.
ставлении (д) и «предстаелении» Шредингера. 5 17. Представление (Р) В качестве следующего примера возьмем представление (Р), в котором диагональными являются составляющие импульса, Пусть ! р') = — ~ р',) ( Р,')... ~ р'„) суть базисные векторы этого представления. Это общие собственные векторы наблюдаемых Рь Рь ..., Рм, принадлежащие собственным значениям р'„ .Р„..., Р„.
Вудем предполагать, что они ортонормированы (Р'1 Р") = б(Р' — Р«), и удовлетворяют соотношению замкнутости Р,-~!Р') (Р'(Р'~=1 $!К ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ~Р] з1Т 'чмы используем здесь сокращенные обозначения индексов, подобно Я 7, 16). Согласно результатам $6 волновая функция вектора ~р') .в представлении (д) есть М (д' ! р') =-а П (д', ~ р1) = (2пй) ' е " х ' Эта величина (р')д') = (д') р')*, если ее рассматривать как функцию д' и р', является элементом унитарной матрицы 5, преобразующей матрицы представления (д) в матрицы представления (р). Кет-вектор ~1р) в этом последнем представлении описывается «волновой функцией в импульсном пространстве» Ф (р') =(р' ~ ф).
Очевидно, что Ф(р') есть образ Фурье (соответствующим образом нормированный) волновой функции Ч" (д')=(д'11р) в конфигурационном пространстве: Ф (р') = (р'! ф) = ~ Ы11') дЧ'(а'!ф) = / У / / / А 1 1 ~ А 1 »1«1+ ' " +»э«э) Нетрудно проверить (это можно сделать и непосредственно), что действие оператора р„на функцию Ф(р') сводится к умножению на р'„, а действие оператора д„выражается взятием частной производной 1пд1др„'. Для иллюстрации выпишем в представлении (р) уравнение Шредингера для частицы с массой т в поле статического потенциала У(г). Энергия системы представляется наблюдаемой 1 Н(г, р) — ~ + У(г). Базисные векторы )р') зависят от трех компонент импульса р'„, р'„, р,' и удовлетворяют условиям ортонормнрованиости и а амкйутостн: б(р' — Р") = б(р', — р„'') ЬК вЂ” р'„') б(р,' — р,") =(, '1р"), 1»-=-='~ 1Р ) ор (Р 1=1 ° Унитарная матрица 8, преобразующая матрицы представления (г) в матрицы представления (р), дается формулой (Р'! «') = (2пй) ' е гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
