1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Находим 18 — „,! 'Ф(0>= Н~ М)) (35) Чтобы норма вектора !ф(1)) оставалась постоянной во времени необходимо и достаточно, чтобы оператор Н был эрмитовым; это легко показать, исходя из уравнения Шредингера. Эрмитовость гамильтониана, естественно, всегда предполагается. Заметим, что поскольку Н эрмитов, оператор У(й 1а) унитарен. Когда Н не зависит от времени, это непосредственно следует из выражения (31).
Но даже если Н явно зависит от времени, имеем согласно уравнению Шредингера ! ф(1+ Й)) = (1 — —, Н с(1) ~ ф(1)>. Поскольку Н вЂ” эрмитов оператор, оператор и (1+ а, Г) =1 — — , 'Н гй ГЛ. УПЬ ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ является инфинитезимальным унитарным оператором (см. $ Ъ'П.22): переход от кет-вектора в момент времени г к кетвектору в момент времени (+ Ж осуществляется с помощью инфннитезимального унитарного преобразования. Преобразование 0(1, 1З), переводящее )ф(1ч)) в )ф(1)), есть, следовательно, последовательность инфинитезимальных унитарных преобразований; тогда У(1, (с), как произведение инфинитезимальных унитарных операторов, является унитарным оператором.
$9. «Представление» Шредингера Вывод уравнения Шредингера завершает изложение общей схемы описания квантовых явлений, которую мы привели в этой главе. Резюмируем эту схему следующим образом. 1'. Определение динамических состояний Динамическое состояние квантовой системы определяется заданием точных значений динамических переменных, входя-. щих в полный набор совместных переменных. Осуществляя одновременное измерение переменных полного набора, мы однозначно определяем состояние системы в момент г, когда производится измерение. 2'. Определение пространства состояний Каждое состояние может быть представлено (принцип суперпозицин) кет-вектором ()1) (нормированным на единицу н определяемым с точностью до фазового множителя) некоторого векторного пространства Ю.
Каждая динамическая переменная представляется наблюдаемой нз этого пространства; состояниями, в которых динамическая переменная имеет определенные значения, являются состояния, представляемые собственными векторами этой наблюдаемой, причем значения динамической переменной равны собственным значениям наблюдаемой, соответствующим указанным собственным векторам.
Наблюдаемые удовлетворяют однородным алгебраическим соотношениям, которые можно установить, исходя из соотношений коммутации. Совместные переменные представляются коммути. рующимя наблюдаемыми. 3'. Определение вероятностей Если произвести одновременное измерение полного набора совместных динамических переменных квантовой системы, то вероятность найти систему в состоянии (1О, т. е. найти те значения динамических переменных, которые соответствуют состоянию )~), равна квадрату абсолютного значения скалярного произведения вектора ) ф) (нормированного на единицу), представляющего динамическое состояние системы в момент измерения, на вектор ()1), т.
е. (()1(ф)(', В более общем случае вероятность $ в. «предстАВление» шредингеРА найти систему в подпространстве ю о (т. е. найти систему в одном из состояний этого подпространства) равна среднему значению оператора проектирования на это подпространство Ро, именно 4'. Уравнение эволюции В отсутствие всяких внешних воздействий динамическое состояние системы эволюционирует во времени строго причинным образом.
Вектор !«р(г)), представляющий это состояние в пространстве д', непрерывно изменяется, подчиняясь уравнению Шредингера (35). Другими словами, переход от состояния !зр(го)) к состоянию !зр(г)) осуществляется с помощью унитарного преобразования (28), где 0(г', го) есть унитарный оператор, определяемый уравнениями (32) и (33). Зная динамическое состояние !ф) системы в начальный момент времени го, мы можем предсказать статистическое распределение результатов любых измерений системы в любой момент времени Уь следующий за го. Действительно, динамическое состояние системы в момент начала измерения есть и, следовательно, вероятность найти систему в наперед задан- ном состоянии !)() равна ! (Х ! Ф (Г~)> ! = ! (ч)з ! (г (гь го) ! «р> ! ° (36) В принятой выше схеме описания явлений состояние физической системы представляется изменяющимся во времени кетвектором !«р(г)).
Напротив, физические величины, по крайней мере те из них, которые не зависят явно от времени, представляются фиксированными наблюдаемыми пространства Ю. Аналогично, собственные векторы наблюдаемых являются фиксированными векторами пространства Ют именно таковы векторы !у), !зр) в выражении (36).
Этот способ описания квантовых явлений обычно называется <представлением» ") Шредингера. г) Не следует смешивать зто «представление» с понятием представления векторов и операторов векторного пространства матрицами. «Представление», о котором идет речь, есть представление движения квантовой системы. Чтобы исключить недоразумения, следовало бы говорить о «способе описания» Шредингера. К сожалению, исторически утвердился термин «представление». Мы будем ставить его в кавычки всякий раз, когда он будет употребляться в данном смысле. Различие, которое мы должны делать здесь, аналогично различию между унитарными преобразованиями матриц и унитарными пре.
образованиями векторов и операторов (см. гл. П1, раздел РН. ГЛ. НИ1, ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 5 10. «Представление» Гейзенберга Если произвести унитарное преобразование кет-векторов и наблюдаемых «представления» Шредингера и приписать вреобразованным величинам тот же физический смысл, что и ранее, то мы получим некоторый новый способ описания явлений, строго эквивалентный первоначальному. При таком преобразовании наблюдаемые преобразуются в наблюдаемые, обладающие тем же спектром собственных значений, собственные векторы переходят в собственные векторы, алгебраические соотношения, соотношения сопряжения и скалярные произведения сохраняются. Поскольку измеряемыми величинами являются только модули скалярных произведений (см.
уравнение (30)), очевидно, что все предсказания на основе новых величин тождественны предсказаниям, сделанным на основе старых. В частном случае можно определить «представление» Гейэенберга, производя унитарное преобразование, зависящее от времени н осуществляемое оператором ио(г,го). Будем обозначать старые величины индексом 5, а новые в индексом Н. Кет-вектор 1»э (')) У (Г ~О) 1 рэ (го)) представляющий динамическое состояние системы в момент времени 1, преобразуется в «неподвижный» кет-вектор 1фн) = и' (г, го) [фэ (1)) =1ч1з Ро)). (37) Напротив, наблюдаемая Аз «представления» Шредингера преобразуется в Ан(~) =и" И, Го) Лги Р, ~о). (38) Мы видим, что даже если Аз не зависела явно от времени, наблюдаемая Ан непрерывно изменяется. Если использовать дифференциальное уравнение (32) и эрмитово сопряженное уравнение, можно путем почленного дифференцирования (38) получить гй — = — и нл,и+ гйи — и+ и л,ни = дА дА ш до =и~[А, Н)и+йи~ — ЗУ.
(39) В этом уравнении Н есть гамильтониан в «представлении» Шредингера. Вводя гамильтониаи «представления» Гейзенберга и„= и'ни, находим и [Аэ н[и=[лн нн1. 4 1о. «пгвдстовлвнив» ганзенввого зот Наблюдаемая Аз — некоторая функция основных наблюдаемых «представления» Шредингера — может и явно зависеть от времени; второй член в правой части (39) учитывает зто обстоятельство. Наблюдаемая дАэ/дГ есть также некоторая функция наблюдаемых «представления» Шредингера.
Если обозначить с помощью дАн)д1 функцию, получаемую из предшествующей путем замены всех наблюдаемых на соответствующие наблюдаемые «представления» Гейзенберга, то получим ВАН о ВАЗ вг зг и — ц» з(у Поэтому уравнение (39) записывается в форме ВАн дл И вЂ” "=(Ан, Нн)+И вЂ” ". (40) Это уравнение известно как уравнение Гейзенберга. В заключение можно сделать вывод, что «представлениео Гейзенберга получается путем придания пространству векторов «представления» Шредингера некоторого общего движения, выбираемого таким образом, чтобы динамическое состояние квантовой системы было представлено неподвижным кет-вектором (огн).
Другими словами, всякий неподвижный кет-вектор «представления» Гейзенберга описывает возможное движение квантовой системьь В противоположность этому различные физические величины представляются наблюдаемыми, изменяюи4имися во времени согласно закону (38) или, что то же самое, согласно уравнению Гейзенберга (40) с начальным условием Ап(Г«) =Аз(Го). Уравнения (38) и (40) применимы, разумеется, к любой функции наблюдаемых «представления» Гейзенберга и, в частности, к выражению ецл" или оператору проектирования Р~„' на надпространство собственных векторов, принадлежащих собственным значениям в некоторой области )) спектра А„.
Точно так же, кет-вектор ~хп), представляющий точное задание набора совместных переменных, вообще говоря, зависит от времени и получается нз своего аналога )Хэ) «представления» Шредингера с помощью формулы ! х (г)) = и (г, г )1х ). (41) Предположим, что движение квантовой системы представляется, начиная с момента времени 1о, неподвижным кет-вектором ~$н). Тогда вероятность найти ее в состоянии ~Хп) в результате измерения, производимого в последующий момент времени Гь есть ! (Хн (г~) ) "Фп) !'. ГЛ.НПЬ ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ Эта величина равна той, которая получается с помощью соответствующих кет-векторов «представления» Шредингера (уравнение (36)), ибо скалярное произведение инвариантно относительно унитарного преобразования Ут(1ь 1«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
