1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ф 1!. «Представление» Гейзенберга и принцип соответствия Как мы видели, «представления» Шредингера и Гейзенберга строго эквивалентны. На практике чаще используется «представление» Шредингера, так как оио более удобно для вычислений. Решение уравнения Шредингера, т. е. уравнения для векторов, а рг(ог1' должно быть проще решения уравнения Гейзепберга, которое является операторным уравнением. Однако некоторые свойства квантовых систем наиболее отчетливо проявляются в «представлении» Гейзенберга. Особенно ярко проявляется в «представлении» Гейзенберга формальная аналогия между классической и квантовой теориями.
Подобно движению классической системы движение квантовой системы в «представлении» Гейзенберга описывается зависимостью от времени характеризующих систему динамических переменных. Рассмотрим поэтому квантовую систему, обладающую классическим аналогом, и сравним описание движения двух систем Каждой физической величине классической системы соответствует физическая величина квантовой системы. Единственное различие состоит в том, что физические величины классической системы' подчиняются правилам обычной алгебры, в то время как их квантовые аналоги представляют собой операторы и подчиняются законам некоммутативной алгебры.
Но в тех случаях„ когда можно отождествить выражения некоммутативной алгебры с выражениями обычной алгебры, уравнения движения квантовых величии совпадают с уравнениями для их классических аналогов. Действительно, уравнения Гейзенберга для переменных д1, ..., дэ и р1, ..., рэ могут быть записаны в форме ао ар1 1 а77 1Л ' ар, ' Ж 111 ' ад1 ~ Ио 77) — — ~ (рь Н) — (1) (1'=1, 2, ..., М). При выводе этих уравнений учитывались основные коммутационные соотношения между д и р и свойства (Ч.67) и ('Ч.
68), которые из них следуют. Система уравнений (1) формально идентична канонической системе уравнений Гамильтона классической механики. $!в. интеГРАлы движения Всякая классическая динамическая переменная А,„= А(ЧН рь ..., р»; Г) подчиняется уравнению движения дАил дА»л — ал =(Алж Н~) + — "л, л дг (42) где (А.„Н. ) обозначает так называемые скобки Пуассона Мы видим, что классическое уравнение (42) совпадает с уравнением Гейзенберга если можно отождествить скобки Пуассона (А, Н) с коммутатором [А», а»гул. Пользуясь осиовнымн коммутанионнымн соотношениями и сход.
ством правил алгебры коммутаторов и алгебры скобок Пуассона, можно действительно показать идентичность этих двух выражений, выбирая соответствующим образом порядок Ч и р в явном выражении скобок Пуассона. ф 12. Интегралы движения Понятие постоянной или интеграла движения наиболее ясно и прозрачно именно в «представлении» Гейзенберга.
Динамическая переменная, не зависящая явно ог времени, является постоянной движения, если соответствующая наблюдаемая Сч в «представлении» Гейзенберга остается постоянной во времени. Вследствие этого ее система собственных векторов остается неподвижной, так что статистическое распределение результатов наблюдения этой величины при всех условиях не зависит от времени осуществления измерения.
Следуя этому определению постоянной движения, можем написать гй — „Ся — — ~Ся, Низ = О. д Таким образом, постоянные движения представляются наблюдаемогми, которые коммутируют с гамильтоиианом. Этот результат, впрочем, равным образом справедлив и в «представлении» Шредингера, так как соотношения коммутации сохраняются при унитарном преобразовании.
Будучи независимой от времени, наблюдаемая Си остается равной своему начальному значению: Ся (() = Ся ((о) =Се= С. Если, в частности, динамическое состояние системы представляется в «представлении» Гейзенберга собственным вектором С С„(чр„) = с(гр~), то переменная С сохраняет определенное значение с в течение всего времени; говорят, что собственное значение с является хорошим квантовым числом, Нетрудно, впрочем, показать, что С зю ГЛ.
ШП. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ иоммутирует с оператором эволюции Н(1, 1«); вследствие этого кет-вектор [~рз(1)) «представления» Шредингера остается постоянно в подпространстве собственного значения с С [ фз (г)> = с [ фз (1)>. 5 1 3. Уравнение эволюции средних значений и соотношение неопределенности время-энергия Исходя из «представлеиия» Гейзенберга, особенно просто написать дифференциальное уравнение для среднего значения заданной наблюдаемой Аэ. Действительно, поскольку [фе) не .зависит от времени, имеем «(А) «' лАЛ и, = — „, Ьи!Аи[фя>=(фи[ — „," [фл> Пользуясь уравнением Гейзенберга, вновь получаем уравнение (Ч.
72) — „", (А>=4([А, ~>+(э",) (43) Если же воспользоваться системой (1), то получаются уравнения Эренфеста 5 Н1. 2). В качестве приложения уравнения (43) дадим точный вывод соотношения неопределенности время-энергия (см. 3 1Ч. 1О). Рассмотрим систему, гамильтониан которой не зависит явно от времени, и пусть А есть некоторая другая наблюдаемая этой юистемы, также не зависящая от времени. Мы анализируем динамическое состояние системы в заданный момент времени Е Пусть [ф) есть вектор, представляющий это состояние. Обозначим с помощью ЛА, ЬЕ средние квадратичные отклонения А и Н соответственно. Применим неравенство Шварпа к векторам (А — (А)) [ф) и (Н вЂ” (Н)) [ф> и повторим слово в слово рас«суждения 3 4.
Мы найдем после вычислений, что ПА ° ЬЕ» ~ [([А, Н1>[, причем равенство реализуется, если [ф> удовлетворяет уравнению (А — а) [ ф> = 1у (Н вЂ” е) [ ф>, где а, у и  —. некоторые вещественные постоянные (ср. уравнение (10)). Однако согласно уравнению (43) ([А, Н1)= И з1э $1«ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ «ПРЕПСТАВЛЕНИЯ» неравенство (44) можно поэтому записать в форме ЬА Ь (44 (А)/444 ~ 2 нли если положить (46) где т» — характеристическое время эволюции статистического распределения Л.
Это время, необходимое для того, чтобы центр (Л) распределения сместился на ширину распределения 4ТА, т. е. время, необходимое для заметного изменения распределения. Таким образом, для каждой динамической переменной можно ввести характеристическое время эволюции.
Пусть теперь т есть наименьшее из так определенных характеристических времен; т можно рассматривать как характеристическое время эволюции самой физической системы: каким бы ни было измерение, осушествляемое в системе в момент времени 1', его статистическое распределение будет практически одинаковым с распределением измерения в момент 1, если разность. ) 1 — 1'! меньше т. Согласно неравенству (45), т и 4зЕ удовлетворяют соотношению неопределенности время-энергия т ° ЛЕ > й/2. Если, в частности, система находится в стационарном состоянии, то 4((А)/4(~ = О каким бы ни было А и, следовательно, т бесконечно велико; при этом 4»Е = О в согласии с соотношением (47).
б 14. Промежуточные «представления» «Представления» Шредингера и Гейзенберга не являются единственно возможными. Всякое унитарное преобразование векторов и наблюдаемых «представления» Шредингера (нлиГейзенберга) приводит к новому «представлени4о». Все эти «представления» дают строго эквивалентные описания квантовых явлений. Для каждой конкретной проблемы выбирают то «представленне», которое наилучшим образом подходит для ее разрешения. Всякая проблема квантовой механики в конечном счете сводится к более или менее полному и более или менее точному определению свойств унитарного оператора (7(1,1»); действительно, все предсказания теории заключены в элементах 312 гл.
ищ, описании онзнчиских явлении матрицы У(1,<о), таких как в уравнении (36).. Решение уравнения (32) является поэтому центральной проблемой теории. Если известно некоторое приближенное решение этого уравнения Ыо>(1, <о), то часто бывает удобно положить у = Н<о>у'. (48) Подставляя это выражение в уравнение (32) и умножая обе стороны уравнения на унитарный оператор у<о>т слева, получаем дифференциальное уравнение <й и =и<о> ~Ни<о> яй ') и, ,~~~<о> х «> (, г~,х ( 19) Решение У' этого уравнения удовлетворяет начальному условию (У (<о >о) =1 Если приближение удачно, оператор У' медленно меняется во времени; это хорошо видно из уравнения (49), так как при иуел удачном выборе У<о> оператор НН<о> — <й мал. Поэтому л< уравнение (49) легко (лучше, чем (32)) допускает приближенное решение').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
