1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Действительно, ! 5($) ) д'>= 5($) Я(д')10>=е " е " ! О>= =е " )0>=8(д'+$)10>=!д'+$> (19) или <Ч )о($)!Ч >=<Ч 1Ч +В>=б(Ч ч В). Зная таким образом матричные элементы 5($) для любых значений параметра $ и учитывая, что в пределе бесконечно малых значений этого параметра Я-~а) Я(и) 1 — й ре, можем написать б(Ч' — г)с — )=Ы)Б(аИ )">-б()' — 4") — ~ «)')рИ"Ь а) Ввиду того, что о — уиитариыа оператор, имеем (Чп ! Лт ($) Б (1) ! Ч') с'(а, Ч") с (в, ч') о (Ч вЂ” Ч') =о (чп — Ч ) откуда ! с (Ь, 9') 1 = 1. 298 ГЛ.
Ч1Н, ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ откуда (9'!р!1)">= — Д ~ ~ — . б'(г)' — Ц') (20) 1 е.+О е Поскольку «функция» 6' нечетна, ясно, что (д"!р!11') = = (11'!р!д")*, т, е. оператор р эрмитов. Проверим также, что д и р удовлетворяют условию коммутации (12)1 (Ч' !(ЧР— РЧ) ! 9"> = (Ч' — 9") (9' ! Р ! Ч"> = = —, Ы вЂ” Ч") б'(Ч' — Ч") = 1йб(Ч' — Ч') (здесь использовано тождество (А.ЗО) из дополнения А).
Остается показать, что р есть наблюдаемая. Для этого решим задачу о собственных значениях р в представлении (а). Пусть !р') — собственный кет-вектор, принадлежащий собственному значению р'. Уравнение р!р'>= р'!р') в представлении (д), с учетом уравнения (20), записывается в форме Р (е) ! Р ) = (е) ! Р ! Р > = ~ (е1 ! Р ! е) ) 'ее1 (е1 ! Р ) = =; $б (е) е) )(е1 !р>'"11 =; „° ((е) !р)). Это дифференциальное уравнение для функции (д'!р') ог переменной 11'1 общее его решение есть (д' ! р') = ае " где а — произвольная постоянная. Оказывается, таким образом, что р имеет непрерывный спектр собственных значений р', простирающийся от — ео до +Со. Собственные векторы имеют бесконечную норму, они удовлетворяют условиям ортонормировки (р'|, ">=б(р' — р"), если принять а = (2пл)-11'.
Теперь ясно, что р наблюдаемая, ибо векторы ! р') удовлетворяют соотношению замкнутости. Действительно, оператор проектирования + $ Х ПОСТРОГНИЕ ПРОСТРЛИСТВЛ СОСТОЯИИЙ 299 в представлении (д) имеет матричные элементы <9')Р 19")= ~ Ы~р)г(р (р (Ч )= + = — а ~ л А '=6(9' — ЕР). Следовательно Рр 1 С помощью основных наблюдаемых р и д можно построить любой оператор Р(р,д), представляющий различные динамические переменные системы. Всякий раз нетрудно проверить, что эти операторы эрмитовы.
Для полноты следует показать, что оии являются наблюдаемыми. Обычно в квантовой теории проходят мимо этих тонкостей и принимают без обсуждения, что все эрмитовы операторы, представляющие физические величины, являются наблюдаемыми. 9 7. Построение пространства состояний путем тензорного умножения более простых пространств Умея строить пространство э для одномерной системы, обладающей классическим аналогом, нетрудно решить ту же задачу для системы, также обладающей классическим аналогом, но уже с числом степеней свободы ЛР. В этом случае динамические переменные будут функциями 2У основных переменных положения и импульса.
Представляющие их наблюдаемые подчиняются коммутационным соотношениям (6) и (7). Их можно подразделить на М пар (дь р~), (дь ря),, (д», р»), каждая из которых состоит нз некоторой координаты и соответствующего канонически сопряженного импульса. Каждая пара наблюдаемых коммутирует со всеми наблюдаемыми из других пар. Наблюдаемые данной пары, например (дь р;), могут рассматриваться как основные наблюдаемые одномерной системы того типа, который изучался в предшествующем параграфе. Мы уже умеем строить пространство состояний М'; такой системы: согласно результатам 5 6, М'; образовано линейной суперпозипней ортонормированных кет-векторов ~д',.), причем индекс д', изменяется непрерывно во всем интервале ( — ОО, +ОО) Пространство а динамических состояний системы с ЛР степенями свободы получается как тензорное произведение (см. $ Ъ'П.
6) одномерных пространств М'ь аь ..., М'». У=~,фй',ф ... фф», ГЛ. ЧП1. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ иными словами, это пространство натянуто на кет-векторы )ч1ч,' ... ч!,)— = ~ч',)~ч,') ... ~ч„'), (21) ~Ч) ~Ч1Ч2 Чл) (22), б(Ч' — Чл) — = П.б(Ч, '— Ч'") = — б<Ч,' — Ч",) б<Ч, '— Чл) ". 1 1 " 'Ж вЂ” ч") —, ° (б<ч' — ))— = 'Ы.— ч") П "<ч' — ч~').
Чл 1Фл (23) (24) символ П обозначает произведение 1т' — 1 сомножителей, ис- 1„лл ключая множитель с индексом и. Применяя соотношения (17), (18) и (20) из $6, получим последовательно: условия ортонормированности (ч'~ч") = П<ч,'1ч,") =б(ч' — ч") матричные элементы (диагональные) координат (25) (ч (ч (ч')=(ч„[ч„~ч„) П (ч~~ч ) =ч„б<ч — ч') (26> Каждой паре операторов Чь р1 пространства Ф1 соответствует вполне определенная пара операторов Чь р1 пространства — произведения 1э. Таким образом, для представления 2)Ч основных переменных мы получаем 21т' вполне определенных операторов,. действующих в Ю, Согласно правилам тензорного умножения каждой наблюдаемой парциального пространства соответствует наблюдаемая полного пространства, две наблюдаемые из различных парциальных пространств коммутируют между собой, две наблюдаемые из одного парциального пространства 8*1 подчиняются в д' тем же соотношениям коммутации, которым они подчиняются в М'1.
Следовательно, построенные нами в Ф операторы чь ., чл', рь, рл являются наблюдаемыми и подчиняются коммутационным соотношениям (6) и (7). Множество векторов (Ч'„..., Ч'„), получающееся при изменении каждого собственного значения Чи ..., Ч' в интервале ( †, +ВО), ОбраЗуЕт баЗИСНуЮ СИСтЕМу В д' И ОПрЕдЕЛяЕт НЕКО- торое представление, а именно представление (ч).
Полезно выписать в явном виде матричные элементы Ч и р в этом представлении. Для этого используем сокращенные обозначения: з а. опвглтов эволюции и»Равнения шгвдингвгл ЗО1 и матричные элементы (недиагональные) импульсов ((('1р.! ч»)=()'„!р„~о'„') Ц (о',! 7')= б'(,7, о„) П б(,1, о„) д д б(), ») (27) Р а а д е л П.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ й 8. Оператор эволюции н уравнение Шредингера Мы хорошо знаем, что на микроскопическом уровне нельзя четко отделить физическую систему от измерительного аппарата, поэтому эволюция квантовой системы, подвергнутой некоторому измерению, перестает быть каузальной. Напротив, эволюция системы, изолированной от всяких внешних воздействий, может быть точно предсказана. Пусть (ф((е)) — кет-век- Выполнение коммутационных соотношений (6) и (7) нетрудно проверить, пользуясь приведенными здесь явными выражениями элементов матриц, представляющих д и р. Любая динамическая переменная системы является функцией д и р, поэтому ей соответствует некоторый оператор, вполне определенный в пространстве Ю.
Следует, конечно, убедиться в том, что этот оператор является наблюдаемой. Однако согласно сделанному выше замечанию этот пункт в квантовой теории обычно принимают без обсуждения. Метод построения пространства состояний системы путем тензорного умножения более простых пространств имеет самое широкое применение.
На практике динамические переменные системы всегда можно представить в виде функций от некоторого числа «основных» переменных, а эти переменные часто можно классифицировать по отдельным подмножествам, так что переменная, принадлежащая одному подмножеству, совместна со всеми переменными других подмножеств. Предположим, например, что нам удалось разделить «основные» переменные на два подмножества (Аь Вь...) и (Аь Вь...) и что каждая переменная (1) совместна с каждой переменной (2).
Каждое подмножество само по себе определяет парциальную систему, пространство состояний которой мы умеем строить. Пусть А и Жа суть пространства состояний, относящиеся к парциальным системам (1) и (2). Тогда очевидно, что пространство состояний Е полной системы есть тензорное произведение двух парциальных пространств 8 ф'а. зог ГЛ. Ппг, ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ тор, представляющий динамическое состояние системы в момент времени го, тогда кет-вектор )зр(!)), представляющий состояние в некоторый последующий момент г, вполне определяется заданием !зр(го)), если, что мы и будем предполагать в дальнейшем, система не подвергается измерению в промежуток времени (го, г). В данном параграфе мы изучим этот фундаментальный закон эволюции системы. В первую очередь постулируем, что линейная суперпозиция состояний сохраняется во времени. Отсюда следует, что соответствие между !ф(го)) и !чр(!)) является линейным и определяет некоторый линейный оператор ()(й го), который называется оператором эволюции ! ф (()) = Н ((.
(0) ! чр (уо)). (28) Если система консервативна, т. е. ее энергия, представляемая гамильтонианом Н, явно не зависит от времени, то оператор () ((, (о) можно найти, если потребовать, чтобы движение системы с энергией Е было периодическим и чтобы соответствующая (круговая) частота аз выражалась законом Эйнштейна Е=йщ. (29) Действительно, поскольку пространство ю натянуто на собственные векторы Н, для определения оператора У достаточно знать его действие на каждый из этих векторов.
Пусть ! ие(го) ) есть собственный вектор Н, соответствующий энергии Е (30) Н ! ие ('о)) Е ! ие ((о)) В согласии с законом Эйнштейна постулируем, что эволюция вектора во времени определяется формулой ! ие (()) = е ' ' ' ! ие ((о)) = е " ! ие (го)) или, учитывая уравнение (30), ! ие (!)) = е " ! ие ((о)). Следовательно, — — 'н !- (! (! го) = е (31) Дифференцируяо) обе части этого уравнения по й получаем о) Производная оператора Х(!), зависящего от непрерывно изменяющегося параметра г, определястся подобно производной обычной функции: аХ, Х(!-1- е) — Х(!) ' и! (см. задачу 3). е-ео е з а опвэхтоэ эволюции и твхвнвиив шввдингввх зоз дифференциальное уравнение И вЂ” „", и (1, Гч) = Ни ~У, т,), (32) при этом (у(й 1а) есть решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Н (го то) = 1 (33> Обобшая этот результат, принимаем, что оператор (У(й 10) удовлетворяет уравнению (32) и начальному условию (33) даже, когда квантовая система ие является консервативной.
В последнем случае оператор Н явно зависит от времени, поэтому, разумеется, соотношение (29) теряет всякий смысл и оператор Н более не выражается формулой (31). Отметим, что У может быть определен также интегральным уравнением ( )= -4~ (~ч '. Уравнения (32) — (33) или интегральное уравнение (34) выражают фундаментальный закон эволюции квантовой системы. Эквивалентным выражением этого закона является уравнение Шредингера или дифференциальное уравнение эволюции динамических состояний системы. Это уравнение можно получить, дифференцируя почленно уравнение (28) —,',(ф(т)>=(-„', Н(т, 1.))(ф (1.» И и подставляя вместо — „У(т, 1с) выражение (32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
