1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Часто оказывается, что динамические переменные, вводимые на основе принципа соответствия с классической системой, не исчерпывают физических свойств исследуемой квантовой системы. В этом случае необходимо вводить дополнительные переменные. Выбор этих новых переменных и правил коммутации для них основывается на чисто интуитивных соображениях. Среди физических величин, характеризующих систему, особо следует отметить энергию. Представляющая ее наблюдаемая Н называется гамнльтонианом системы.
Если система имеет классический аналог, то Н получается на основе принципа соответствия из функции Гамильтона классической механики. 2 4. Соотношения неопределенности Гейзенберга Соотношения неопределенности для координаты и импульса следуют непосредственно из соотношений коммутации (7). Покажем в самом общем случае, что если две наблюдаемые А, В удовлетворяют уравнению 1А, В)=й, (8) то произведение их средних квадратичных отклонений всегда удовлетворяет неравенству ЬА ° ЬВ ~) й/2.
(9) Доказательство по существу аналогично рассмотрению $1Ч,8. По определению ЬА ((А») (А)»)У ЬВ ((Вз) (В)з)У Введем наблюдаемые А=А — (А), В= — (В); тогда очевидно, что 1А В) =И н что ЬА=ЬА=(А»7ь, ЬВ=ЬВ=(Вг)ь, з е соотношения нвопгвдвлвниости гвизвнввггл 293 Допустим, что динамическое состояние системы представляется кет-вектором ~и), нормированным на единицу, и применим неравенство Шварца к векторам А)и) и В~и): (ЬА)'(ЬВ)' = (и ! Аг ~ и)(и ! Вг ! и) ) 1(и ~ АВ ~ и) ~г. Выделяя в АВ эрмитову и антиэрмитову части (ср. уравнение (711.
29) ) д А В+ ВА А — ВА АВ+ ВА . и 2 2 2 2' можно выделить в (и~АВ~и) вещественную и мнимую части (и ! АВ! и) = ( ) + (в и переписать неравенство Шварца в виде (ЬА)г, (ЬВ)г ( 1В+ ВА ) +— ЬА ° ЬВ ~ Ь/2, что и требовалось доказать. Чтобы произведение ЬА ЬВ стало равным своему наименьшему значению Л/2 необходимо с одной стороны, чтобы неравенство Шварца свелось к равенству, т. е. чтобы А~и)= сВ~и) (с в произвольная постоянная), а с другой стороны, чтобы среднее значение АВ+ ВА было равно нулю, т. е.
(и ~ А В ~ и) + (и ! ВА ~ и) = (с" + с) (и! Вг ~ и) = О, откуда Рес = О. Резюмируя, находим, что неравенство (9) сводится к равенству в том и только в том случае, когда ~и) удовлетворяет уравнению (1О) (А — а) ! и) =ю'у ( — р) !и), где сг, () и у суть произвольные вещественные постоянные. Приложение итого результата к паре координата — импульс (д„р,) предшествующего параграфа дает соотношение неопределенности ЬЬ Ьрг > Ь/2 (г = 1 2.
° °, У), (11) ГЛ, ЕН1. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ 294 причем равенство выполняется, если ~и) есть решение уравнения (р„— 1 у гг,) $ и) = (а — губ) ~ и) (а, р н у — произвольные вещественные постоянные). й 5. Определение состояний и построение пространства д' После определения наблюдаемых нашей квантовой системы и установления коммутационных соотношений необходимо точно определить различные возможные квантовые состояния, т.
е. необходимо построить гильбертово пространство, в котором действуют наблюдаемые. Для этого достаточно задать систему базисных векторов пространства и установить действие наблюдаемых на этн векторы. Следует, конечно, убедиться, что все операторы, представляющие физические величины, действительно являются наблюдаемыми, удовлетворяющими коммутационным соотношениям. Чтобы определить базисную систему векторов, из всей совокупности наблюдаемых выделяют полный набор коммутирующих наблюдаемых А, В, С, ...
Одновременное измерение соответствующих динамических переменных дает максимально возможную информацию о состоянии системы, т. е. полностью определяет некоторое динамическое состояние системы. Следовательно, каждый набор собственных значений а, Ь, с, ... этих наблюдаемых определяет вектор в пространстве В' с точностью до постоянного множителя; произвольно фиксируя этот множитель, находим некоторый вектор ) абс...). Множество векторов ) аЬС...), получаемое при изменении каждого собственного значения а, Ь, с, ...
Иа всем протяжении спектров А, В, С, ... образует полную ортогональную систему векторов в пространстве д'. Если же фиксировать подходящим образом нормировку векторов ~аЬС...)---нормировку на единицу для векторов с конечной нормой, нормировку с помощью б-функции Дирака для векторов, соответствующих непрерывному спектру,— то мы получим полную ортонормированную систему в Ю'. Таким образом, базисная система векторов в В' определяется при задании спектров наблюдаемых А, В, С, Действие базисных наблюдаемых А, В, С, ... на каждый из этих векторов оказывается автоматически определенным.
Остается выяснить, как действуют на них другие наблюдаемые, способные представлять физические величины. Рассмотрение одних только соотношений коммутации позволяет, вообще говоря: а) убедиться в том, что набор А, В, С, ... составляет полный набор коммутирующих наблюдаемых; % а. кВАнТОВАя ОдномернАя системА 995 б) определить структуру спектров этих наблюдаемых; в) установить действие других наблюдаемых на векторы базисной системы.
Иначе говоря, знания алгебры наблюдаемых системы почти всегда достаточно для однозначного определения пространства Ю, в котором они действуют' ). Остается еще убедиться во внутренней согласованности полученной схемы, т. е. проверить, что операторы, представляющие физические величины, действительно являются наблюдаемыми. Заметим, что на этом этапе теория уже допускает экспериментальную проверку. Физические величины определяются В принципе с помощью точных операций измерения, так что спектры их значений могут быть проверены на опыте.
Необходимо, чтобы теоретический спектр, т. е. спектр собственных значений наблюдаемой, сопоставленной каждой физической величине, совпадал с результатами эксперимента. 9 6. Квантовая одномерная система, обладающая классическим аналогом Применим метод построения пространства д' из 9 5 к одномерной квантовой системе, обладающей классическим аналогом; наблюдаемые такой системы являются функциями двух из них, а именно д и р, связанных соотношением коммутации [д, р]=и.
(12) Величина д сама по себе образует полный набор коммутирующих наблюдаемых. Действительно, коммутатор с) и заданной функции А(с), р) согласно уравнению (Ч. 68) равен [д, А]=И (13) следовательно, д коммутирует с А только, если А не зависит от р; иными словами, единственными наблюдаемыми, коммутирующими с д, являются функции от д. Простые соображения внутренней согласованности накладывают очень строгие условия на собственные функции и спектр собственных значений д. Пусть [до) есть собственный кет-вектор д 4) Это справедлнно только, если пространство и является неприводимым по отношению к указанным наблюдаемым; зто условие, которое мы отмечаем здесь для полноты, всегда считается выполненным в дальнейших рассуждениях.
Понятие неприводимости и его физический .мысл будут подробно обсуждаться в тл. Х'ч' ($ 6). ГЛ. ЧНЬ ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ 298 Запишем условие того, что обе части равенства (12) имеют. один и тот же диагональный элемент, соответствующий !4,): (л(чо!Чо)=(ча!г(Р!Чо) (Чо!РЧ!Чо)' ! дз) не может иметь конечной нормы, так как в противном слу чае правая часть равенства была бы равна нулю, а левая часть конечна и не равна нулю. Рассмотрим далее оператор сдвига 5(е) =е (14) Это функция наблюдаемой р, зависящая от параметра е.
Ясно, что это унитарный оператор О~О = Ы~=1, так как зрмитово сопряженный оператор есть 3 (9) = 3 ( — $) = е" Применяя уравнение (12), находим д т. е. ЧЗ=З(ч+е) (! 5) и, следовательно, Ф ! Чо) = З (Ч+ В) ! Чо) = (Чо+ $) З ! 9о). (16) Таким образом, 3/дз) есть собственный вектор д, принадлежащий собственному значению да+ $. Этот вектор, очевидно, нэ равен нулю (в противном случае не существовало бы оператора, обратного Я); его норма (бесконечная) та же, что и !дз), ибо 3 — унитарный оператор (Чо!8'5!Чо) =()о!9о). Все это справедливо, каким бы нн было значение $ во всем интервале ( — оо, +со).
Так, с помощью унитарного преобразования (дз) с подходящим параметром можно образовать собственный кет-вектор д, соответствующий любому наперед заданному собственному значению в интервале ( — со',.+со). Мы приходим к заключению, что спектр д непрерывный, не- вырожденный и заполняет весь интервал ( — со, + ао); собственные векторы имеют бесконечную норму. Обозначим с помощью !д') один из собственных кет-векторов д, принадлежащий собственному значению д' ч !ч )= ~1 !ЧЪ з е.
квантовая одномврная систима 1д'> определяется с точностью до постоянного множителя, аб- солютную величину которого фиксируем условием нормировки <Ч 1() >=б(г) 4 ) (17) Пространство Ю, по определению, образовано линейными ком- бинациями векторов ~д'>. Величина г) очевидно является наблюдаемой этого простран- ства. Векторы ~д'> суть базисные векторы некоторого представ- ления векторов и операторов з, а именно представления (д), в котором оператор д диагонален <и (~)1г) )=и" б(ч" и ). (18) Покажем, что р есть вполне определенный эрмитов оператор в пространстве з; для этого достаточно найти его матрицу в представлении (д), Рассмотрим вначале унитарный оператор Я($), определен- ный уравнением (14).
Поскольку этот оператор удовлетворяет уравнению (15), 3($))д'> есть собственный вектор д, принад- лежащий собственному значению (д'+ $): Я ($) )д'> = с ) г)' + Ц, где с — фазовый множительа), который может зависеть от $ н г)'. Выберем фазы базисных векторов так, чтобы ! д'>.= З()')10>. При этом ~азовый множитель с будет, равен 1, какими бы ни были $ и д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
