1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Очевидно, что 274 ГЛ. ЮЬ МАТВМАТИЧВСКИН АППАРАТ в 18. Бесконечные матрицы Большую часть результатов, относящихся к конечным матрицам, можно распространить и на бесконечные матрицы. В этом случае также строки и столбцы нумеруются одним или несколькими индексами, но эти индексы могут составлять бесконечное счетное множество или даже континуальное множество значений в некоторой области. Бесконечная матрица является квадратной, если ее строки и столбцы отмечаются одной системой индексов. При наличии только одного столбца мы имеем правый вектор, при наличии только одной строки — левый вектор. Операции комплексного сопряжения, транспоннрования и эрмитового сопряжения без изменений переносятся на случай бесконечных матриц. То же самое можно сказать относительно умножения на постоянную и операции суммирования. Что же касается умножения А на В, то подразумевается, естественно, что строки В и столбцы А отмечаются одной системой индексов.
Если, кроме того, некоторые индексы являются непрерывными, суммирование должно быть заменено интегрированием. Предположим, например, что А и В являются квадратными матрицами, элементы которых зависят от некоторого непрерывного индекса д, изменяющегося в интервале (додэ). Тогда элемент матрицы Р = АВ выражается формулой Р (д; д') = ~ А (д; д") В (д"; д') ги)". Ф Произведение определено, конечно, только в том случае, если суммы и интегралы, входящие в формулу, сходятся.
Если отвлечься от проблем сходимости, то все результаты 17, относящиеся к квадратным матрицам, переносятся без изменения иа случай бесконечных матриц, за исключением понятия детерминанта. Следует уточнить только определениедиа4ональной матрицы в случае непрерывно изменяющихся индексов и условия существования обратной матрицы. По определению непрерывная матрица Р(д; д') диагональна, если она имеет форму В(д; и')= ((1)б() — д'), (70) где д(д) есть произвольная функция индекса д.
При этом оказываются справедливыми два основных характерных свойства диагональных матриц: нх свойство коммутировать друг с другом и то свойство, что действие диагональной матрицы на вектор состоит в умножении каждой компоненты вектора на соответствующий диагональный элемент матрицы. Так, при действии З 1х пРелстАВлепие ВектОРОВ и ОпеРАтОРОВ мАтРПЦАми Е75 диагональной матрицы (70) на правый вектор д с компонентами й(д) получается вектор Ь = Вд с компонентами 'л ( () = ~ 0 ( 1; й') й (Ц')'ь7' = й (П) а (г(). 3аметим, что непрерывная матрица 6'(д — 17') не является диагональной. Что же касается существования матрицы, обратной к данной, то, в противоположность случаю конечных матриц, выполнение условия АВ=! (71а) ие влечет за собой, вообще говоря, выполнения равенства ВА =!.
(71б) Для утверждения, что матрицы А и В обратны друг другу, требуется одновременное выполнение равенств (71а, б). Для того чтобы матрица А имела обратную, вовсе не обязательно, чтобы она была квадратной. Например, возможен случай, когда строки матрицы А нумеруются дискретным индексом, а столбцы — непрерывным, и тем не менее она имеет обратную матрицу; в этом случае обратная матрица А ' будет иметь дискретным индекс столбца и непрерывным — индекс строки.
В частном случае унитарной матрицы У, которая, по определению, удовлетворяет двум уравнениям и(7'=7, и'и=(, (72) индексы строк и столбцов не обязательно имеют одинаковую природу. Однако единичные матрицы, стоящие в правых частях этих равенств, необходимо являются квадратными матрицами. Если матрица (7 не квадратна, то системы индексов единичных матриц в правых частях (72) различны.
ф 19. Представление векторов и операторов матрицами Рассмотрим векторное пространство д' и выберем в этом пространстве полную ортонормированную систему векторов; эта система может, вообще говоря, состоять из собственных векторов полного набора коммутирующих наблюдаемых. Для краткости будем использовать в рассуждениях базисную систему с дискретным индексом и. Предположим, например, что мы имеем дело с собственными векторами некоторой наблюдаемой Я Я~ п) = д„~п). Будем говорить, что это базисные векторы в представлении (Я.
276 ГЛ. ЮЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Этн векторы образуют полную ортонормированную систему: (и 1л)=Ь „, (73) Ро = — 2, ~ л) (п ~ = 1. (74) и Уравнения (73) и (74) являются основными уравнениями представления Щ. Для всякого кет-вектора ( и) имеем 1 и)=Р ~ и)= Х~ п)(л 1 и).
и Величины ии = (п/и) можно рассматривать как элементы матрицы с одним столбцом, причем л есть индекс, нумерующий строки. Задание этого правого вектора полностью определяет кет-вектор ~и): это матрица, представляющая 1и) в представлении Щ. Для всякого бра-вектора (о~ имеем (о 1=(о 1Ро= ~(о ~п)(п ~. и Величины (о~п) являются комплексно сопряженными по отношению к компонентам ои правого вектора, представляющего кет-вектор ~о) в представлении Я1.
Они могут рассматриваться также как компоненты левого вектора; задание этого левого вектора полностью определяет бра-вектор (в): это вектор, представляющий (о! в представлении (Я). Таким образом, бра-вектор, сопряженный данному кет-вектору, представляется вектором, эрмитово сопряженным вектору, представляющему кетвектор.
Всякий линейный оператор А может быть единственным образом представлен в виде двойного ряда по базисным операторам )лг)(п~: .4 = РоАРд — — 2~ ! лт) (пг ! А! и) (л !. ии и Коэффициенты разложения А „= (лт ~ А ( л) полностью определяют А и могут рассматриваться как элементы квадратной матрицы, причем гп есть индекс строки, а л — индекс столбца: это матрица, представляющая оператор А в представлении Щ. Установив таким образом взаимооднозначное соответствие между векторами и операторами, с одной стороны, и матрицами — с другой стороны, выясним теперь, каким образом каждая операция с операторами и векторами в пространстве д' переводится на язык представляющих их матриц.
Соотношениям сопряжения между векторами и операторами соответствуют соотношения эрмитового сопряжения междумат- сч ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ОПЕРАТОРОВ МАТРИ!гАМИ 277 Рииахси. Мы это уже отмечали на примере сопряжения между бра- и кет-векторами. Подобно этому матрицы, представляющие два эрмитово сопряженных оператора А и А, сами эрмитово сопряжены: их элементы удовлетворяют соотношениям А те = — (т1А'1л) = (с!1А 1сп)' = А пдву. Что же касается различных алгебраических операций с векторами и операторами, то им соответствуют различные операции матричной алгебры.
Чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть каждую из элементарных операций, упомянутых в двух предшествующих параграфах. Наиболее просто дело обстоит в случае умножения на постоянную и операции суммирования; так, всякой линейной комбинации А!А!+ ЛТАЕ двух операторов соответствует та же линейная комбинация двух представляющих матриц: (т1(сс А! + ХгАВ) 1п) = Х! (т1А! 1л) + 7с,(пг 1Аг!л).
Различные произведения векторов и операторов представляются произведениями соответствующих матриц. Именно; а) скалярное произведение 1и) на 1о): (о 1и) = (о 1Р, 1 и) = ~ (о 1п) (и 1и) = ~ о,*,и„; таким образом, (о1и) равно произведению (справа) матрицы (правого вектора), представляющей 1и), на лгатрнцу, эрмитово сопряженную матрице, представляющей 1о); б) действие оператора А на кет-вектор 1и) или бра-вектор (о1! (п1А1и) =(п1АРо1и)= 2 (п1А1й)(Уг1и), (о1А1л)=(о1РОА1л)= ~ (о1С)(11А1л), с Матрица (правый вектор), представляющая А~и), есть произведение (справа) матрицы, представляющей 1и), на матрицу, представляющую А.
Матрица (левый вектор), представляющая <о1А, есть произведение (слева) матрицы, представляющей <о~, на матрицу, представляющую А; в) произведение АВ: (сп1АВ1л) =(т1АРоВ1п) = ~„(т1А1(г)((г1В1п) матрица, представляющая АВ, выражается в виде произведения (справа) матрицы, представляющей В, на матрицу, представ ляюшую А; гл, сп мАтемАтическня лпплРАТ г) оператор )и)(п~: (щ,и) — элемент матрицы, представляющей этот оператор, есть (пт)и)(п)п); искомая матрица, следовательно, получается при умножении (справа) матрицы (левый вектор), представляющей (п~, на матрицу (правый вектор), представляющую )и) (это дает квадратную матрицу). Таким образом, определено представление векторов и операторов из пространства д' матрицами, причем установлены простые правила соответствия между различными действиями с векторами и операторами и действиями с матрицами.
Любую геометрическую задачу в пространстве д' можно решать либо чисто геометрическими методами, рассматривая векторы и операторы, о которых идет речь, либо методами алгебры и анализа, оперируя с матрицами в подходящем представлении. В последнем случае соответствующий выбор представления может привести к упрощению задачи, подобно тому как подходящий выбор системы координат позволяет упростить решение задачи в аналитической геометрии. На практике следует выбирать представление, в котором данные векторы и операторы представляются матрицами наиболее простой формы. Заметим в этой связи, что в представлении Я) наиболее простой вид имеет наблюдаемая 9: она представляется диагональной матрицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
