1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рассмотрим сначала случай, когда спектр А невырожден. Предполагаем, что спектр содержит непрерывную область, обозначаемую непрерывно изменяющимся индексом у, и дискретную область с дискретным индексом п. Таким образом, а„ есть собственное значение из дискретной части спектра, а(у) — собственное значение из непрерывной части; а(у) есть монотонная функция у, принимающая все промежуточные значения в некотором интервале (а(у!), а(у,)). Обозначим с помощью ~п) и ~у) собственные кет-векторы, принадлежащие собственным значениям а„и а(у). Эти кет-векторы ортонормированы, в частности (у ~ у') = Ь (у — ч').
Оператор лазу ЬР= ~ ~ у') с(у'(у' ~ У ГЛ. Ч!Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ является оператором проектирования на подпространство, натя- нутое на кет-векторы 1ч') из интервала (ч, ч+ ач). Складывая проекторы этого типа, образуем проектор ч, Р,= ~ 1ч)дч(ч1, который проектирует на подпространство Ю„натянутое на собственные кет-векторы, принадлежащие непрерывному спектру. Это подпространство ортогонально подпространству ад натянутому иа собственные кет-векторы дискретного спектра, причем проектор на это подпространство равен Р„= с,1п)(п1. ' д д' 1п)(п1+ ~ 1ч)с(ч(ч1= 1 ° (53) Выполнение соотношения замкнутости (53) является необходимым и достаточным условием того, что множество ортонормированных векторов 1п), 1ч) образует полную систему.
Распространение этого результата на случай, когда весь. спектр или часть спектра А оказываются вырожденными, ие вызывает трудностей. Возьмем в качестве примера случай, рассмотренный в конце $ 9. Собственные кет-векторы 1пг), 1чрг) удовлетворяют условиям ортонормированности (30).
Если кроме того А есть наблюдаемая, т. е. собственные кет-векторы этого оператора составляют полную систему, то оии удовлетворяют условию замкнутости Рд — г 1пг)(пг1+ ~ ~~1чрг) дч г(р(чрг1= 1. (54) Как и в случае полностью дискретного спектра удобно использовать соотношение замкнутости при разложении произвольного вектора 1и) пространства Гильберта в ряд по базисным кет-векторам наблюдаемой А. Для сокрашения записи примем, что спектр А невырожден (соотношение (53)). Тогда ч, 1и)=Рд1и)=~~ 1и)(п1и)+ ~ 1ч)дч(ч1и). (55) Условие того, что А есть наблюдаемая, записывается в виде Рд = Ре + Рд 1 или подробнее З Н. ФУНКЦИИ НАБЛЮДАЕМЫХ Аналогично находим обобщенное равенство Парсеваля (и ! и) = (и! Рд ! и) = ~1(п '1 и) гз + ~ ! (у! и) Р гЬ (56) з1 разложение А в ряд по проекторам А=АРЛ=~!п)а„(п~+ ~ ~у)а(у)ду(у~.
(57) В заключение укажем, что часто бывает удобно заменить условие ортоиормированиости собственных векторов непрерывного спектра на более общее условие (ч !у') = 7 (ч) б (у — у'), где )(у) — вещественная положительная функция у. Это эквивалентно умножению каждого вектора на постоянную с модулем '~/~. В этом случае все предшествующее остается справедливым, но только во всех формулах ~у) гй(у ~ следует заменить иа (у) — (у ~.
Аналогично, если условие нормировки (ЗОБ) заме- Б'У 1' (У) нить на (Ург ! У'р'г') = Р, (У, р) б (У вЂ” У') Ь (р — р') б„, то выражение для РА в соотношении замкнутости (54) получается путем деления подынтегрального выражения на Р,(у, р). $ 14. Функции наблюдаемых Линейный оператор полностью определен, если известно его .действие на векторы, составляющие полную ортонормировапиую систему собственным векторов; тогда его действие на любую линейную суперпозицию этих векторов получается непосредственно, если, конечно, выполняется условие сходимости в случае бесконечного ряда (условия сходимости уже рассматривались в гл. Ч).
В частности, всякая функция ~(а) собственных значений наблюдаемой А позволяет определить линейный оператор ~(А) как функцию этой наблюдаемой. Действие ~(А) на собственный вектор ~а) оператора А, прииадлежаший значению а, по определению, есть ) (А) ! а) = ) (а)! а). (58) Когда функция ~ выражается полиномом, это определение т1олучается непосредственным применением правил алгебры операторов, ио оно справедливо и в более общих случаях. 2бб ГЛ.
ЧП МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Из самого определения следует, что всякий собственный вектор А является собственным вектором 1(А). Обратно, если всякий собственный вектор наблюдаемой А есть также собственный вектор линейного оператора Р, то этот оператор есть операторная функция А. Это вполне очевидно, если все собственные значения оператора А невырождены. Поэтому рассмотрим некоторое вырожденное собственное значение и пусть !о1), 1а2) суть два линейно независимых собственных вектора, принадлежащих этому собственному значению. По предположению оии являются также собствеинымн векторамн й: Г! и!) = 11а1! п1), Р(пй) 1121 ( а2). Всякая линейная иомбинапия данных двух векторов также является собственным вектором Г ~(Х1! )+ ~2! пй)) 1а (Х1! о!)+ Х21ой)) следовательно, Х! (1а" 1а ) ! п1) + Хт (Ра 1а ) ! о2) = О н поскольку 1п1) и 1пй) линейко независимы, 1'," = 1',А' = 1,"'.
Таким образом, все собственные функции А, принадлежащие одному собственному значению а, являются собственными функциями Р, принадлежащими одному собственному значению 11 последнее есть некоторая функция а, т, е, 1(а); следовательно. действительно Р = 1'(А). Всякая функция 1(А) наблюдаемой А может быть выражена, как и сама наблюдаемая А, в форме линейной комбинации элементарных илн дифференциальных проекторов. Предположим для определенности, что А удовлетворяет уравнению (57).
Тогда 1 (А) = ! (А) РА — — ~ ~ л) ) (а„) (и ! + ) 1 ч) ! [а (ч)) сЬ (ч !. (59) а ч В качестве примеров функций наблюдаемой А укажем проектор на подпространство некоторого собственного значения, проектор на пространство, натянутое на собственные вектора, принадлежащие собственным значениям, лежащим в некоторой области и т. п. Укажем также экспоненцнальный оператор е1ьч Д вЂ” заданная постоянная) и обратный оператор А-'. Функция ец" определена всегда, обратный оператор А ' определен только, если среди собственных значений оператора А нет нулевого. а и опкяктогы. коммгтинкю|пиа с нквлюдлнмои 267 й 15.
Операторы, коммутирующие с наблюдаемой. Коммутирующие наблюдаемые Операторные функции наблюдаемой А принадлежат, вообще говоря, к более широкому классу операторов, а именно операторов, коммутирующих с А. Действие таких операторов на собственные векторы А особенно просто. Действительно, если [а) есть собственный вектор А [ а) = а ] а) и если [А, Х] =О, то О=(АХ вЂ” ХА)]а)=(А — а) Х[а). Таким образом Х[а) есть собственный вектор А, принадлежащий тому же собственному значению (если только вектор не равен нулю).
Обратно, для того чтобы оператор Х коммутировал с наблюдаемой А, достаточно, чтобы его действие на каждый вектор полной ортонормированной системы собственных векторов А давало вектор, также являющийся собственным вектором А, принадлежащим тому же собственному значению. На самом деле если выполняется сказанное, то действие коммутатора [А, Х] на каждый вектор этой полной системы дает нуль, поэтому выполняется операторное равенство [А, Х] = О. Все это применимо, конечно, н к коммутирующим наблюдаемым.
Кроме того, все сказанное в гл. Ч (Я 14, 15) относительно коммутирующих наблюдаемых, можно повторить здесь с некоторым изменением терминологии. Приведем еще раз основные результаты. Базисной системой наблюдаемой мы называем всякую полную ортонормированную систему собственных векторов этой наблюдаемой, причем считаем тождественными системы, отличающиеся только фазовыми множителями при собственных векторах, порядком расположения векторов дискретного спектра и выбором непрерывных индексов в случае непрерывного спектра.
Имеем следующую важную теорему: Если две наблюдаемые А и В коммугируют, го они обладают по крайней мере одной общей базисной системой, и обратно, если две наблюдаемые А и В обладают общей базисной системой, го они коммутируют. Всякая функция [(а, Ь) собственных значений двух коммутирующих наблюдаемых А и В позволяет определить линейный оператор [(А, В) — функцию этих двух наблюдаемых с помощью естественного обобщения понятия операторной функции одной ГЛ. У!!. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ наблюдаемой. Легко показать, что если каждый общий собственный вектор наблюдаемых А и В есть собственный вектор линейного оператора г, то последний есть некоторая операторная функция А и В. Все это без труда обобщается на случай любого числа коммутирующих между собой наблюдаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
