1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 49
Текст из файла (страница 49)
~ Ф'(АФ) г(р, ... гтря, (Ф, Ф) = ~ ... ~ Ф'Фг(р, ... с<р„, Эквивалентность постулатов а) и б) и постулатов а') и б') основана на свойствах преобразования Фурье (см. Дополне- 5 ь ПРинцип супеепозиции 239 ние А). Доказательство не составляет труда и мы не будем проводить его здесь. Если функции Ф и Ч' дают эквивалентные представления одного и того же динамического состояния, то наблюдаемые дают эквивалентные представления одной и той же динамической переменной (см. гл.
1ч' и замечание в конце $5). Вся теория наблюдаемых может быть с равным успехом развита как в одном, так и в другом из этих представлений. Таким образом, мы получаем две вполне эквивалентные формулировки квантовой теории. Все это становится очевидным, если принять, что волновые функции Ф н Ч' представляют один и тот же вектор в пространстве с бесконечным числом измерений. Тогда все понятия, введенные в гл.
Ч: функциональное пространство, скалярное произведение, норма, ортогональность и т. д., получают простое геометрическое истолкование. Согласно этой картине значения, принимаемые функцией Ч'(Ф, ..., ае) в каждой точке конфигурационного пространства, являются составляющими данного вектора по некоторой системе ортогональных осей координат. Аналогично значения, принимаемые функцией Ф(рь °, ря) в каждой точке импульсного пространства, являются составляющими указанного вектора по другой системе ортогональных осей координат. Что же касается коэффициентов сео разложения (Ч.14) функции Ч' в ряд по собственным функциям некоторой заданной полной ортонормированной системы, то они являются составляющими указанного вектора по некоторой третьей системе координат и т.
д. Таким образом, можно построить всю квантовую теорию, исходя непосредственно из понятия вектора без ссылок на конкретное представление. В качестве основного принципа теории принимается принцип суперпозиции динамических состояний, согласно которому возможные динамические состояния квантовой системы должны обладать свойством, характерным в общем случае для всяких волн, а именно, допускать линейное сложение, и поэтому могут быть представлены как векторы в некотором линейном пространстве.
Следовательно, каждому динамическому состоянию сопоставляется некоторый вектор в абстрактном пространстве, а каждой динамической переменной сопоставляется линейный оператор, действующий в этом пространстве. При таком подходе теория оказывается формально ГЛ. Н1Е МАТЕМАТИЧЕСКИИ АППАРАТ проще и элегантнее волновой механики; она к тому же имеет и более широкую область применения, так как может быть использована для изучения квантовых систем, не имеющих классических аналогов. В изложении этой общей формулировки квантовой теории мы будем следовать Дираку, используя введенные им чрезвычайно удобные обозначения').
Содержание данной главы посвящено понятиям линейной алгебры з), которые составляют математический аппарат теорию. Описание физических явлений с помощью этого формализма и будет предметом гл. ИП. Развал 1. ВЕКТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ 5 2. Векторное пространство. Кет-векторы Согласно идеям предшествующего параграфа, каждому динамическому состоянию мы сопоставляем вектор, который, согласно Дираку, будем называть кет-векгорол1 илн просто кет н обозначать символом 1). Чтобы отличать кет-векторы один от другого, мы снабдим каждый символ либо некоторой буквой, либо одним или несколькими индексами, могущими принимать как дискретные, так и непрерывно изменяющиеся значения в зависимости от конкретной ситуации.
Так, кет и представляется символом ( и). Кет-векторы образуют линейное векторное пространство: всякая линейная комбинация нескольких кет-векторов также является кет-вектором. Пусть, например, заданы два кет-вектора 11) и 12) и два произвольных комплексных числа Л1, Л„тогда линейная комбинация ( о) = Л1 ( 1) + Лх 12) есть вектор в пространстве кет-векторов. Аналогично, если (й) зависит от непрерывно изменяющегося индекса 5, а Л(5) — некоторая комплекснозначная функция с, то интеграл Ь (ю)=) ЛЯ)(9 ($ (2) 1) Р, А, М. Опас, 1ос, с11., сноска П а. з) Строгое и полное изложение всех зтнх вопросов можно найти в ннигах А. 1.~сйиегом1сг н М. Н. 31опе, 1ас.
с11., сноска Ч а. есть вектор в пространстве кет-векторов. Мы также будем го- ворить, что )то) есть линейная комбинация (или линейная су- перпозиция) кет-векторов ($). $ 3. ДУАЛЪНОЕ ПРОСТРАНСТВО. БРА.ВЕКТОРЫ 241 По определению кет-векторы из некоторой совокупности являются линейно независимыми, если ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных (эта линейная комбянация может быть вида (1) или (2) или смешанного вида). Если векторное пространство содержит максимум и линейно независимых векторов, то это конечномерное пространство и число его измерений по определению равно и. Если в таком векторном пространстве как-то выбрать и линейно независимых векторов, то все остальные векторы пространства могут быть представлены как линейные комбинации данных и векторов.
Если число линейно независимых векторов рассматриваемого линейного векторного пространства неограничено, то пространство является бесконечномерным. Таково пространство Гиль- берта, а также, как мы видели ранее, пространство волновых функций волновой механики. Однако всегда можно выбрать такую последовательность (бесконечную счетную или континуальную) линейно независимых векторов, что каждый вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация (бесконечный ряд или интеграл) этих «базисных векторов».
Пусть задано пространство кет-векторов Ю; рассмотрим последовательность кет-векторов из этого пространства. Множество кет-векторов последовательности и всех их линейных комбинаций образуют линейное векторное пространство д". По определению д" есть пространство, натянутое на кет-векторы последовательности, Всякий кет-вектор пространства д" принадлежит и пространству Ю: говорят, что ю' является подпространством Ю. Если пространство ю имеет конечное число измерений и, то число измерений пространства ю', очевидно, конечно и не превосходит и.
Если же пространство еу' бесконечномерно, то никаких ограничений на число измерений пространства ю' не существует. $3. Дуальное пространство. Бра-векторы В линейной алгебре хорошо известно, что каждому векторному пространству можно сопоставить дуальное векторное пространство.
Действительно, всякая линейная функция )(() и)) кет-векторов )и) удовлетворяет принципу суперпозиции, характерному для векторов линейного пространства '), и определяет, а) Свойство лннейностн Х выражается соотношеннем К(Х1)1>+й»!2)) Х12((1>)+Х»Х(!2>). ч)чевндно, что если две функции ж, хт обладают втнм свойством, то всякая лннейнан комбннацня тяпа и1ж+ явке также нм обладает. 242 Гл. юь мхтемхтическии АппАРАт следовательно, вектор нового типа, который мы, согласно Дираку, будем называть бра-вектором или просто бра, а представлять его будем символом ( ~. Так, функция ~~()и)) определяет бра-вектор (7~; значение, принимаемое этой функцией при некотором данном кет-векторе ~и), есть некоторое число (в общем случае комплексное), которое мы будем обозначать символом (у!и). По определению бра-вектор (Ф~ равен нулю, если функция (Ф)и> равна нулю при любом (и): (Ф ! = О, если (Ф ~ и) = О при любом 1 и).
(3) Лналогично два бра-вектора равны (Ф, 1=(Ф,~, если (Ф, 1и)=(Ф,!и) при любом !и>, Если пространство кет-векторов имеет конечное число измерений, то дуальное пространство имеет то же число измерений. Если число измерений пространства кет-векторов бесконечно, то пространство, дуальное ему, обладает тем же свойством. Чтобы ввести метрику в определенное выше векторное пространство, предположим, что существует взаимооднозначное соответствие между векторами пространства и векторами дуального пространства.
Бра- и кет-векторы, сопоставляемые друг другу в этом взаимооднозначном соответствии, называются сопряженными друг другу и отмечаются одной буквой (или одинаковыми индексами): так, бра-вектор, сопряженный кет-вектору )и), обозначается символом (и!. Предположим кроме того, что это соответствие антилинейно. Иначе говоря, бра-вектор, сопряженный кет-вектору ! о> = ),~ / 1>+ 7„з/2), (4) есть (о ~= Х,"(1!+ Л*(2!. Лналогично бра-вектор, сопряженный кет-вектору есть (ю ~= ~ ~*(ь)(~! А.
(7) Таким образом, соответствие между кет- и бра-векторами аналогично соответствию между волновыми функциями волновой механики и комплексно сопряженными функциями. Заметим, 4 4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 243 кстати, что если кет-вектор равен нулю, то сопряженный ему бра-вектор также равен нулю и наоборот. Совокупность бра-векторов, сопряженных кет-векторам из подпространства Ю' пространства д', образует подпространство, дуальное 8". $ 4. Скалярное произведение По определению скалярное произведение кет-вектора )и) на кет-вектор ~о) есть число (в общем случае комплексное) (о)и), т. е. значение о()и)), принимаемое линейной функцией, ассоциированной с бра-вектором, сопряженным ~о).
Как следствие самого определения скалярное произведение является линейным по отношению к )и) и антнлинейным по отношению к )о). Мы предполагаем, что скалярное произведение обладает всеми остальными свойствами, характерными для скалярного произведения волновых функций в волновой механике (еэ Ч.2), а именно; !'. Скалярное произведение )о) на )и) есть величина, комплексно сопряженная скалярному произведению )и) на )о): (и) о) =(о) и)'. (8) 2'.
Всякий вектор и имеет вещественную неотрицательную норму Ж„=— (и) и) *) (и)и) ) О. (9) Она равна нулю в том н только в том случае, когда вектор )и') равен нулю. Из этих свойств вытекает неравенство Шварца: какими бы ни были ~ и) и ) о), всегда ! (и ) о) )а а-' (и ! и) (о ) о). (10) Равенство имеет место в том и только в том случае, когда векторы ~и) и ~о) коллинеарны (т. е. пропорциональны). Эти аксиомы должны быть дополнены предположением, что пространство кет-векторов д' (а также дуальное ему пространство бра-векторов) является полным и сепарабельным (см.
Э 'у'.2): это пространство Гильберта. По определению два вектора ортогональньц если их скалярное произведение равно нулю. Два подпространства Р~ и д'а ортогональны, если каждый из векторов одного подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства. Очевидно, что в этом случае подпространства Ю~ и д'а не имеют ни одного общего вектора; действительно, любой вектор, принадлежащий обоим подпространствам, может быть только рав- ") В математпческой литературе норма вектора определяется как и/(ии ) и). (Прим. перев.) Гл. иь мхтвмхтичвскип АппАРАт 244 ~ $, б$) = — = ~ 1$') с$' /ьй , (11) обладает положительно определенной нормой, которая стремится к конечному пределу, когда 6$- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
