1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 45
Текст из файла (страница 45)
З!8 Гл. уь клАссическОе пРиБлижение и метод ВкБ — (ю — глУ~,Х), м .которое мы можем записать, учитывая (1О), в виде — „,, — — (е — 1'„,Х). л лт гп (12) Зная дисперсии Хз и ыч, а также производную ул нк г(ул/г(1 в начальный момент тк можно получить дисперсию х в любой последующий момент времени, решая уравнение (!2) (учитывая, конечно, что величина У может н зависеть от времени); после этого дисперсия ю находится из уравнения (1О). г Можно оценить и ошибку, возникающую при замене (У') ца У в уравнении (96), Таким образом, присутствуют все необходимые элементы для решения вопроса о возможности сопоставления волнового пакета и классиче.ской частицы. Наиболее интересными примерами являются гармонический осциллятор и свободная частица, так как в этих случаях движение центра пакета совпадает с движением классической частицы. Для гармонического осциллятора (У = тюзг/а/2) среднее значение (д) колеблется около нуля с частотой ю/2и, а диспер.сия )( колеблется около значения е/лгюз с удвоенной частотой (см.
задачу 1), В случае свободной частицы ( У = 0) среднее значение (д) следует закону равномерного прямолинейного движения со скоростью (р)/т, дисперсия ю остается постоянной (ю = юо = = 2пта), а для дисперсии у имеем уравнение г/х)(/г((т = 2юа/тз (уравнения (11) и (12) в этом случае являются точными). Решая зто уравнение, находим (! 3) .Иы видим, что по истечении достаточно большого промежутка времени дисперсия пакета )( становится сколь угодно большой: .волновой пакет для свободной частицы «расплываетсяж Явление бесконечного расплывания пакета имеет важное значение, ибо ограничивает тот промежуток времени, в течение которого волновой пакет может быть сопоставлен классической частице. Кроме некоторых специальных случаев (гармонический осциллятор) расплывание пакета происходит всегда, например, в задачах о рассеянии, когда вдали от рассеивающего центра волновой пакет движется как волновой пакет для свободной частицы. Закон расплывания волнового пакета для свободной частицы упрощается, если предположить, что в начальный момент .времени мы имеем так называемый «минимизирующий» пакет, .Заменяя в скобках в правой части уравнения оператор У' на два первых члена его разложения (6), получаем приближенное уравнение 5 Е КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 219' т.
е. пакет, для которого левая часть соотношения неопределенности имеет минимально возможное значение; в этом слу 4ае 4яоХо = Ьз/4 и тя = О (см. задачу 14г. 4). Тогда илн (14) Форма члена, вызывающего расплывание, (Лря 1/Ач), подсказывает простой классический образ, позволяющий описать процесс расплывания пакета. Можно представить себе группу частиц, сконцентрированных в начальный момент времени около среднего значения (4/,) в области с размерами Л4/и причем скорости частиц также распределены в интервале ЛВ = Лря/пе около групповой скорости пакета о = (р,У/л4. Дисперсия по скорости приводит к тому, что частицы, первоначально находившиеся в одной точке, к моменту времени 1 равномерно распределятся по области ЛВ й следовательно, первоначальная концентрация не сохраняется, и размеры «сгустка» частиц Л4у увеличива4отся, следуя закону (14). Этот закон, впрочем, может быть записан и в другой форме Лг/ — Л4/я ~~ + 4 ( (дд )4 ) 1 где  — = В1 есть расстояние, проходимое волновым пакетом зн время 1, а Х = Ь/л4 — средняя длина волны.
Расплывание волнового пакета свободной частицы пренебрежимо мало, если 1/0Х ~ Лд,. (15)4 Нетрудно показать, что протяженность пакета Л4/ всегда пре-- восходит длину ~/ОХ (заметим, что 0Х = й//т). $4. Классический предел уравнения Шредингера Разберем теперь вторую формулировку классического приближения, упомянутую во введении к этой главе. Для определенности рассмотрим случай частицы, движущейся в поле потенциала р(г).
Выделим модуль и фазу волновой функции: (16Х, ир (г) = А (г) е" 220 ГЛ. НЬ КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ Подставляя это выражение в уравнение Шредингера и приравнивая действительные и мнимые части, получаем два уравнения: д5 (Ч5)з Ьз б 4 — + — + У= — —, в( 2пз 2ш А (17) т В +ЧА ° Ч8+ — сто=О, (18) Эта система вещественных уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера. Отметим, что уравнение (18) есть ни что иное, как уравнение непрерывности (1Ч.!1). Действительно, плотность вероятности Р(г) н плотность потока Х(г) (см. $1Ч. 2 и $1Ч.4) выражазотся формулами Р=А', У=Аз —, а уравнение (18) умножением обеих частей на 2А приводится к виду т в А'+ ОВн (А Ч5) = О. (19) В классическом приближении мы опускаем член, пропорциональный Ьз в правой части уравнения (17), что дает о5 + (Ч5)з с11 2 аз (20) Таким образом, получаем следующий результат: В классическом приближении функция Ч' описывает «жидкость» из классических невзаимодействующих частиц массы пз (статистический ансамбль), подверженных действию потенциала )г(г); плотность и плотность потока этой жидкости в каждой точке пространства в каждый молгент врелгени соответственно равны плотности вероятности Р и плотности потока вероятности У квантовой частицы в втой точке').
Действительно, поскольку верно уравнение непрерывности этой жидкости (уравнение (19)), достаточно показать, что поле скоростей У Ч5 о= — =— Р т (21) ') Плотность этого классического статистического ансзмбля в фазовом пространстве довольно специфична, так как любой точке конфигурационного пространства соответствует определенный импульс Ч5. Решение 5 этого уравнения (20) есть функция действия Гамильтона, используемая в формулировке классической механики Гамильтона — Якоби. $4. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Ей! зкидкости удовлетворяет классическим законам движения жид- кости.
Но, учитывая определение (21), можно переписать урав- нение (20) в виде дд тоа дг + — +)' =О. 2 Далее, записывая условие равенства нулю градиента левой части, получим ( дг + о афтаб) гпо + йгаб )а = О; а)о гп — = — цгаг) (Г, дГ что и требовалось доказать. Важно подчеркнуть большую общность этого результата, так как он остается справедливым для систем с любым числом из- мерений. Плотность Р = )Чг~з есть вполне определенная функ- ция в конфигурационном пространстве; аналогично, Х есть впол- не определенное векторное поле в этом пространстве.
Читатель без труда повторит доказательство для общего случая. Когда Ч" представляет стационарное состояние с энергией Е, дА дл — =Π— = — Е, дГ ' дГ уравнения (17) и (18) сводятся к (аР5)з — 2па (Š— )') = дав а 7А г) 1у (А' Ю) = О. (22) (23) В классическом приближении мы опускаем правую часть уравнения (22) и вновь приходим к доказанному выше результату.
В этом случае Ч' описывает стационарное течение жидкости классических частиц. Оптическая аналогия более наглядна, чем аналогия гидродинамическая, в особенности для стационарных решений. Поскольку скорости частиц пропорциональны градиенту 5, траектории частиц ортогоиальны поверхностям равных фаз 5 = сопз(. В оптике последние являются волновыми поверхностями, а траектории частиц совпадают с оптическими лучами '). Классиче- ') В присутствии векторного потенциала электромагнитного поля А определение (21) классической скорости должно быть изменено следующнм об/ е разом: о= — ~уз — — ач) .
Прн этом доказанная выше теорема остается т'ч с верной, Понятия волновой поверхности н лучей остаются в сале, но лучи более не ортогональны волновым поверхностям; эта ситуация аналогнчна геометрической оптике в аннзотропных средах. отсюда следует, что частицы жидкости подчиняются уравнению движения 222 гл, гь кллссическог пщтвлижннин и метод вкв ское приближение таким образом совпадает с приближением геометрической оптики: здесь в качестве следствия уравнения Шредингера мы вновь получаем тот постулат, на котором была основана теория волн вещества.
Оптическая аналогия оказывается чрезвычайно полезной при проверке условий справедливости классического приближения. Пусть приведенная длина волны Х является заданной функцией точки г й ь— ь 2т (Š— У (г)) Тогда уравнение (22) можно записать в форме й ~)+, бА~ (22') Классическое приближение требует, чтобы условие Х вЂ” чс. 1 з ЛА А (24) выполнялось во всем пространстве; точнее говоря, области, в которых данное условие не выполняется, должны быть настолько малы, чтобы уравнение (22) можно из) было заменить приближенным урав- нением (()о)з д Хт (25) почти всюду. Последнее уравнение есть уравнение волновых поверхно- стей геометрической оптики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
