1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Постоянные А и 6 определяются условиями непрерывности волновой функции и ее логарифмической производной в точке а, т. е. йс(дб= — —, Аз!пб= — 1«/1, е', ) а (53) при этом у, есть сумма падающей и отраженной волн. Поскольку 6 вещественна, падающая волна — — А ехр (1 [й(х — а)+ 6]1 2 дает поток — [ А ]' —.
Согласно уравнениям (53), 4 т ») А)»») ем .»1 ) + А»)« а е»»(1 ] с(в«6) е»« 4 4 Мпз 4 4Ы„ Так как поток в прошедшей волне у1п равен Ь1т, коэффициент прохождения есть 4ыа э» = 4 41(к~ — е) (е — «р) й 11. Уровни энергии в потенциальной яме В качестве второго примера рассмотрим потенциальную яму, представленную на рис.
26, н поставим задачу нахождения уровней энергии дискретного спектра. Каждой энергии Е соответствуют две граничные точки а и Ь классического движения. Онн делят ось х на три области: 1, П и П1. Будем искать решение ВКБ, экспоненциальио затухающее Чтобы указанный метод вычисления был допустим, требуется, чтобы потенциал У(х) достаточно медленно изменялся в областях П и !11, где использовалось приближение ВКБ (условие (47)), и чтобы в окрестности граничной точки с размерами в несколько «длин волн» потенциал )г(х) мог быть представлен линейной функцией х. Тем самым требуется, чтобы барьер имел «ширину» по меньшей мере в несколько «длин волн», т.е. чтобы т ~2п, а следовательно, чтобы коэффициент Т был очень малым ((1О «).
4. и. гновни энннгин в потенциальнои ямв в областях! и!П, т. е. а у~= — У( ехр 1, 3 к к Уп~= 2 Р~-3 г,) ь (х « а), (х )> Ь) (с и с' — постоянные). Согласно формуле согласования (50) и аналогичной формуле, соответствующей барьеру справа, эти функции имеют следугощие продолжения в область П: к у, (х) = с уХ соз ( ок м Х 4 е к „~*= л (( — '*--) Х 4/ к (а « х « Ь). Эти функции равны у,(х)=уь(х) =уп, если ь ь ката Р(*я к (к ь ~) а а где Л' — целое число ()О).
Требование (54) фиксирует дискретные уровни энергии спектра. В этом случае имеем с' = = ( — 1)кс, Таким образом, получаем (с точностью до произ- кьс) вольного постоянного множи- (г) ® Я) тели) выражения уь уи и у~и для соответствующей собственной функции в каждой ! из трех областей за исключением двух окрестностей точек 1 1 1 ! а и Ь. Е 1 Условия применимости ме3 тода требуют, чтобы гранича Ь х ные области около точек а и Ь, где потенциал )т(х) должен Рнс.
26. потенциальнаЯ нма г (к). представляться в хорошем приближении линейной функцией х, имели размеры порядка нескольких длин волн; поэтому метод применим только для очень больших квантовых чисел М » 1. В некоторых особых случаях, например, в случае гармонического осциллятора, метод дает точные значения всех уровней (54) 236 Гл.
Рь классическое пРиБлижение и метод ВКБ энергии, включая и основное состояние (см. задачу 6). Это следует считать случайным обстоятельством. Правило квантования (54) можно рассматривать как условие стационарности волны: интервал (а, Ь) должен содержать «полуцелое» (т. е. целое +1(2) число «полудлин» волн. Оно отличается от правила квантования Бора — Зоммерфельда только присутствием «полуцелых» квантовых чисел: с точностью дг» множителя 26 интеграл 1 есть интеграл действия ~> р с(д в соответствующем классическом фазовом пространстве.
Между прочим этот интеграл равен площади той части фазового пространства, где энергия меньше Е ю (Е) — = ~ ~ бр г(д . и кз Поэтому правила (54) можно записать в форме ю(Е) мм $ рйу= (У+ — ) й. (55у и-и Согласно формуле (55) „область фазового пространства ю(Е) при переходе с одного уровня энергии на следующий увеличивается на й. Отсюда мы получаем следующий важный результат, касающийся распределения уровней энергии: Объем области фазового пространства, соответствующей интервалу (Е, Е + бЕ) в единицах й равна числу связанных состояний квантовой системы, энергия которых лежит в указанном интервале.
Условия справедливости этого результата в действительности менее ограничительны, чем условия применимости метода ВКБ; практически он всегда имеет место «в пределе больших квантовых чисел». Обычно принимают (и доказывают в простейших случаях), что этот результат применим и для систем, число степеней свободы которых )с превышает единицу, если только и качестве единицы измерения объема фазового пространства взять йя.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К Гамнльтоннан гармонического осннллятора выражается формулой О = (рт+ глзызез)/2гп. Показать, что средние значення (е) н (р) колеблются по сннусондальному закону с частотой ы/2я около начала координат, а двсперснн ю, х (обозначення 4 3) колеблются с половннным пернодом оноло некоторого среднего апачення (положнтельного), которое следует определить, Прн каких условиях ы н Х остаются постояннымнг ЗАДАЧИ И УППАЖНЕГ!ИЯ 237 2.
Показать, что двнженне центра волнового пакета, представляющего заряженную частнцу в электромагннтном поле, строго совпадает с двнжением классяческой частицы в двух следующих случаях: а) постоянное электрнческое поле н б) постоянное магннтное поле. 3. Показать, что «расплывание» волнового пакета, представляющего заряженную частицу в постоянном электрнческом поле, пронсходнт по тому же закону, что н пакета свободной частнцы (ы = сопя(, 2 — квадратичная функция временн !). 4. С помощью волновой функция частицы ф(г) образуем функцию г 0 (Й, Р) —, ~ е 1Р' (Й вЂ” — ) ф (Й+ — ) йг, которую (согласно Внгнеру) можно ннтерпретнровать как плотность в фазовом пространстве класснческого статистического ансамбля, сопоставляемого этой волновой функции м). Показать, что: !) распределения по положению н по импульсу совпадают с соответствующими распределеннямн квантовой частицы в состоянии ф (г): ~ 0(Й, Р)г(Р=(ф(Й) Р, ~ 0(Й, Р) НЙ=(ф(Р)(', где р(Р) — волновая функция в пространстве импульсов; 2) если частица свободна, то эволюция ансамбля во временн строго совпадает с эволюцней статнстнческого ансамбля классических частнц той же массы; 3) найтн закон «расплывапня» волнового пакета свободной частнцы.
б. С помощью метода ВКБ вычнсляется коэффнцнент прохождения Т частнцы массы гл н энергни Е через барьер потенцнала )г(х), который медленно меняется в пространстве н иа двух концах ннтервала ( — о»,+ао) стремится к значениям, меньшнм Е. Предполагается, что имеются только две граничные точки а н Ь. Показать, что Т ( — 2~ — -1* — — г ). « 6. Вычнслнть с помощью метода ВКБ уровнн энергнн гармоннческого осцнллятора (гамнльтоннан задачи !). Обсудить условня применимости метода. !«) Однако в отлнчпе от плотности в фазовом пространстве класснческого статистического ансамбля величина Р(Й, Р) может прнннмать н отрнцательные значения. ГЛАВА ЧН ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ А.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 5 1. Принцип суперпозиции и представление динамических состояний векторами Изложение основ волновой механики в гл. 1Ч и Ч начина- лось с определения плотностей вероятности положения и им- пульса с помощью волновых функций Ч' и Ф, относящихся, со- ответственно, к пространству конфигураций и пространству им- пульсов.
Мы уже указывалн, что эти функции соответствуют эквивалентным представлениям. Параллелизм здесь может быть доведен до конца. Действительно, основные постулаты, касающиеся средних значений ($ '1<.З), могут быть с тем же успехом выражены с помощью операций, производимых в им- пульсном пространстве. Обобщение (1т'. 13) и (1У. 20) средних значений функций вида г(г) и 6(р) может быть проведено, исходя из соответствующих выражений (Ю.21) и (17.14), по- строенных с помощью функций Ф.
Вместо постулатов а), б) из 4 'т'. 3 можно принять эквивалентные постулаты: а') Всякой динамической переменной .ят = А (пь ..., пя; рь ..., ра) сопоставляется линейный оператор д д А((й —, ..., <А —; р„..., р,). др~ ' ''' др, б') Среднее значение, принимаемое этой динамической пе- ременной, когда система находится в динамическом состоянии, представляемом функцией Ф(рь ..., ра), дается выражением (А) <ф 4'в> <ф, Ф) где скобки в правой части обозначают скалярные произведения в пространстве импульсов: (Ф, АФ)= ~ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
