1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(40) Это приближенное уравнение интегрируется без затруднений. Следует различать два случая: 1. Случай Е ) У(х). Определим длину волны Х(х) = ЧI2л (Š— У (х)) (41) (42) (а н ~р — произвольные постоянные). 2. Случай Е с.' У(х) (область, запрещенная для классических частиц). Пусть 1(х) = й )12т (У (х) — Е) (43) Уравнение (40) удовлетворяется, если 5' — ~1311. Решение ВКБ представляет собой линейную комбинацию действительных экс* понент хах х лх1 у(х)= 1/1 ьуе г ' + Ье з ' .1. (44) Уравнение (40) удовлетворяется, если Я' = ~й)"х.
Решение ВКБ представляет собой линейную комбинацию осциллирующих функций % 0. услОВия пРименимОсти пРиВлиЖЕНИя Вкв 229 % 8. Условия применимости приближения ВКБ Теория приближения ВКБ довольно сложна. Ограничимся (без доказательства) указанием того, что разложение (39) по степеням ло в общем случае не сходится, а представляет собой так называемый асимптотический ряд, конечное число членов которого дает хорошее приближение для 5, если Ь достаточно мало. Чтобы найти критерий справедливости приближения ВКБ, можно вычислить второй член 205, разложения (39).
Поправка порядка ло выражается в умножении решения ВКБ на множи.тель е'"з. Поправка пренебрежимо мала, если 05~ << 1. Если подставить разложение (39) в уравнение (38) и приравнять друг другу члены порядка ло, то для 5, получим диф. ференциальное уравнение кто) ьг 3 /30'12 1 80" о озткуда получаем 0 Х' ! Х' - -*(-,--.'( —,'") (45) Когда же Е ( У, получаем то же выражение с заменой Х(х) на 1(х).
Условие 251 « 1 выполняется, если Х'(х) « 1 при Е ) У(х), 1'(х) « 1 при Е < У(х). (46) Можно связать критерий (46) и условие (26) справедливости классического приближения в общем случае. Этот критерий выражается также с помощью неравенства, включающего потенциал У(х) и его первую производную 1ь '! )~ Р— У) ~ь (4У) Когда Е > У, 5'= ~ Ь/Х.
Это после соответствующих вычисле- ний приводит к 230 гл. гк клхссичвсков пгивлижкнив и метод вкв 9 9. Граничные точки и формулы согласования Обычно при использовании приближения ВКБ условие (4У) выполняется повсюду кроме малых окрестностей точек Е = = )т(х), Это так назгяваемые граничные точки классического движения, где скорость движения частицы обращается в нуль и меняет знак (точки поворота). С математической точки зрения приближение ВКБ сводится к замене уравнения Шредингера у+ — =О м У )с2 уравнением (48) (как в области Е ) )т, так и в области Е ( (т, где Х= Д).
Действительно, нетрудно проверить, что выражения (42) и (44) представляют собой общие решения именно уравнения (48). Оно имеет особенность типа (х — а)-' в тех точках, где длина волны становится бесконечно большой, т. е. в каждой из граничных точек.
В окрестностях таких точек замена уравнения Шредингера на уравнение (48) очевидно неоправдана, Чтобы получить полное решение, вообще говоря, следует решить уравнение Шредингера в малых областях вблизи граничных точек и сшить эти решения с решениями (42) и (44), которые представляют волновую функцию в областях, где справедливо приближение ВКБ. На практике, однако, нет большой необходимости знать истинную форму решения в окрестности граничной точки, если мы умеем сшивать решения ВКБ по обе стороны окрестности. Проблема сшивания решений математически довольно трудна, подробна она рассматривается в указанной статье Лангера'); метод, предложенный Лангером, основан на замене уравнения Шредингера не уравнением (48), а другим уравнением (не имеющим особенностей в граничных точках), которое асимптотически переходит в уравнение (48) по обе стороны точки поворота.
Ограничимся тем, что укажем формулы согласования между решениями ВКБ экспоненциального и осцилляторного типов. Предположим ради определенности, что Е ) )т при х ~ а и Е -' (т при х а (барьер слева). Общее решение является линейной комбинацией двух решений у1 и ум аснмптотические $ К ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ И ФОРМУЛЫ СОГЛАСОВАНИЯ ЗЗ1 формы которых даются выражениями: - -й-") х а '---(-)-") х х у, — т/Х з(п к (ак В У»-.УХ соз1 1 — — — 1 ~3) 4/ (49) при х((а, (50) при х»а. Условимся определять «число длин волн», содержащихся в х, заданном интервале (хь х»), интегралом (1/2Н) ~ ах/Х или х, (1/2И) ~ Ых11 соответственно справа и слева от граничной точки.
к, Условия справедливости формул согласования таковы: !) В граничной точке кинетическая энергия Š— у" стремится к нулю как х — а и остается в хорошем приближении пропорциональной х — а в области, простирающейся на одну, а еще лучше — на несколько «длин волн» по обе стороны точки поворота. 2) Каждая из «граничных областей» сшивается с «асимптотическими областями»„простирающимися на много «длин волн», в которых выполняется приближение ВКБ.
При использовании формул (49) и (50) требуется известная Осторожность. Дело в том, что решение Ау~ + Вут как таковое в области х(( а имеет аснмптотическую форму Ауь так как «экспоиенциально растущий» член всегда превосходит «экспоненциально убывающий», каким бы малым по сравнению с В ни был коэффициент А, если только он не равен тождественно нулю.
Поэтому задание асимптотической формы будет иметь смысл, только если она действительно «экспоненциально убывающая» (тип уз); если коэффициенты А и В известны только приближенно н )А)«)В(, то никакое даже приближенное Определение асимптотической формы решения становится невозможным. Предположим, что мы знаем решение ВКБ в асимптотической области (х « а) и желаем найти то осцилляторное реше- язв ГЛ. ЧЬ КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД БКБ иие, с которым оно ошивается.
Это можно сделать только если указанное асимптотическое решение экспоненциально затухает при х « а, т. е. имеет форму а — ВГА ехр ~ — ~ — ) к тогда в окрестности граничной точки решение, очевидно, будет иметь внд Вум а его поведение в области х » а будет выражаться формулой (50). Результат можно записать в форме а к 1 — ~ Ги.1 ГГ их я~ — ~1 ехр ~ — ~ — ~ — к ~/Х соз ~~ — — — ~, (51~ 2 ( Х 4,~ к а причем стрелка указывает направление согласования. Предположим, напротив, что мы задаемся решением ВКЬ в «осцилляторной областик (х » а).
Оно должно иметь форму (42), что можно записать в виде к С~Х соз 1 — — — +ф (С и ф — комплексные постоянные). Согласно формулаьк (49) — (50) это есть асимптотическая форма решения с коэффициентами А С зйп ф, В С соз ф. Следует учитывать, что постоянные А и В указанной асимптотической формой определяются только приближенно. По этой причине, если (19 ф~ << 1, любое определение асимптотической формы данного решения в области х « а становится невозможным; в противном случае она дается формулой (49), Результат запишем в виде к а )/Х соз ~ — — — + ф -азйпф т/( ехр 1 —; (52~ 1~4 Х 4 / а к стрелка здесь также указывает направление согласования.
В случае барьера справа, т. е. если Е) 1/ при а ~х и В < 'к' при а ~ х, формулы согласования (51) и (52) остаютсн в силе, если в интегралах и неравенствах переставить х и а.„ направление стрелок сохраняется. а Ю. ПРОХОЖДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ЕАРЪЕРА й 1О. Прохождение потенциального барьера В качестве иллюстрации применим метод ВКБ к вычислению коэффициента прохождения частицей потенциального барьера, изображенного на рис. 25.
В области х ~ а (область 1) р(х) = $~ь —— сопз1, при х ) а потенциал $~(х) представляет собой положительную функцию, убывающую монотонно от значения У = У(а) до 1/(ао) = О. Пусть Š— энергия частицы, Ь ()а) — точка на оси х, где Е = Р'(Ь). Точка разрыва а и граничная точка Ь делят ось х на три области!, П и 1П. Предполагаем, что метод ВКБ применим в областях П и 1П. Чтобы найти коэффициент прохождения, следует построить пас.
Еб. Оотаацаааьана барьер решение уравнения щредингера, р (х). асимптотическая форма которого в области П1 выражается только прошедшей волной (распространяющейся в направлении возрастающих х), В этой об.ласти решение ВКБ имеет форму (42). Условие, налагаемое на форму асимптотического решения, фиксирует его (с точностью до постоянного множителя) в виде к — .Гах .и уш= А/Х ехр~! ~ — — ! — 1ь (х",ь Ь) 1,)Х (фаза Н14 добавлена для удобства последующих вычислений) Согласно формулам согласования (49) — (50) это решение продолжается в область П решением ь к Хти — — — ! ф ЕХр ЗЬ вЂ” ~= — ! А1! ЕкЕХр — ~ — ] (аСХ~Ь) ) г! к Ф в этом выражении ь ~, % 1Р-~-.Г- к! 1 1 234 Гл, ть клАссическОе пРивлижеиие и метОД Вкв Положим ( ) Ь й «/2т (Š— )'») «12~« )К~ — Е) Ь В области 1 точное решение уравнения Шредингера имеет вид у, = А з1 п [й (х — а) + 6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
