1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Нетрудно проверить, пользуясь самими определениями операторов А(') и А('), что действие коммутатора на всякий вектор 1и())и(а)) дает нуль: А(ПАП) ~ и) (а)) ~ (и (2)) А(2)А(п ~ (И И)) В пространстве-произведении можно определить соответствие между кет- и бра-векторами, действие линейных операторов на бра-векторы и т. д. Алгебраические правила, указанные выше, остаются справедливыми для всех алгебраических операций в пространстве-произведении. Доказательство этих результатов не составляет труда и будет здесь опущено. Р а алел 11. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ, ПРОЕКТОРЫ И НАБЛЮДАЕМЫЕ $7. Сопряженные Операторы н правила сопряжения Исходя из взаимооднозначного соответствия между сопряженными бра- и кет-векторами, можно получить аналогичное правило сопряжения между линейными операторами.
Пусть А — линейный оператор. Пусть ~о) есть кет-вектор, сопряженный бра-вектору (и(А. Вектор 1е) зависит от бравектора (и~ антилинейно, следовательно, это линейная функция ~ и). Такое линейное соответствие определяет линейный оператор, который называют оператором, эрмигово сопряженным А„или оператором, присоединенным к А, и обозначаюг символом Ат: ! О)=А ~и). Ясно, что Ае = О, если А = О, и наоборот, Поскольку АТ1и) есть кет-вектор, сопряженный бра-вектору <и(А, скалярное произведение этого кет-вектора на произволь- ГЛ. Юс МАТЕЫАТИЧССКИИ АППАРАТ Так как это равенство справедливо, какими бы ни были ~и) н )О, кет-вектор, сопряженный (1~Ат, равен А~О. Следовательно, оператор, эрмитово сопряженный оператору Ат, есть сам оператор А: (А ) =А.
(21) Аналогичным образом получаем следующие фундаментальные соотношения: (сА) = с'А~, (А + В) = А" + В~, (АВ) =В~А~. (22) (23) (24) Отметим перемену порядка сомножителей в правой части (24), дающей выражение для оператора, присоединенного к АВ, Далее, оператор, присоединенный к оператору (и)(о~, есть (! и)(о~) =~о)(и1. (25) Эрмитово сопряжение для операторов играет ту же роль, что и сопряжение между бра- и кет-векторами и комплексное сопряжение для чисел. Все эти операции сопряжения имеют большое значение в развиваемом формализме.
Обозначения Дирака позволяют производить их без труда в любом алгебраическом выражении. Достаточно следовать таким простым правилам: все числа заменяются на комплексно сопряженные, все бра на сопряженные кет и наоборот, все операторы — на врмитово сопряженные, а порядок символов в каждом члене меняется на противоположный (т. е. порядок бра-векторов, кет-векторов и операторов). Этн правила являются очевидным обобщением соотношений (20), (24) и (25). Дадим несколько примеров. Оператор, эрмитово сопряженный оператору АВ~и)(о~ С, есть оператор Ст ! о)(и ) В "Ат; бра-вектор, сопряженный кет-вектору АВ)и)(о~С~в), есть вектор (в~Ст(о)(и~ВтАт; величина, комплексно сопряженная (~)АВ)и)(о~С~в), есть (ш ! Ст ~ о)(и ~ ВтА т ~ О и т.
д. ный бра-вектор (~~ есть величина, комплексно сопряженная, скалярному произведению ~ О на (и~А (свойство (8)). Отсюда получаем чрезвычайно важное соотношение (~ ! А ! и) = (и! А ~ ~)'. (20) 25т Ф К ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ 8 8. Эрмитовы (самосопряжеиные) операторы, положительно определенные операторы, унитарные операторы По определению линейный оператор Н называется эрмитовым, если он является сопряженным самому себе Н= Н~.
Оператор 1 называется антиэрмитовым, если 1= — ! . Ф Из этих определений нетрудно получить следующие свойства операторов. Всякий линейный оператор может быть представлен (и единственным образом) в виде суммы двух операторов, одного эрмитового, а другого аитиэрмитового Нл + 7А~ (26р причем А+ Ат А — Ат Нл — — ° !л = 2 (27т Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вви(ественными коэффициентами есть эрмитов оператор. Произведение НК двух эрмитовых операторов Н и К не обязательно зрмитово, ибо, согласно (24), (НК) = КН. (28~ Оператор НК эрмитов только при условии, что Н и К коммутируют.
Впрочем, коммутатор [Н,К[ есть аитиэрмитов оператор, и разложение (26) произведения НК записывается в видеНК= + — [Н, К], Оператор [а)(а[ является зрмитовым оператором. С помощью двух различных кет-векторов можно образовать два эрмитовых оператора [а)(а[ и [Ь)(Ь[, но произведение этих двух Операторов [а)(а[Ь)(Ь[ пропорционально оператору [а)(Ь[, который не является эрмитовым; таким образом, это произведение не эрмитов оператор (кроме случая, когда [а) и [Ь) ортогональны друг другу, но в этом случае произведение равно нулю). Говорят, что эрмитов оператор Н является положительнгь определенным, если (и [Н[и)'=>О, каким бы ни был [и).
Оператор [а)(а[ есть положительно определенный эрмитоь оператор. ГЛ. ЧИ. МАТЕМАТИЧЕСКИН АППАРАТ Операторы этого типа обладают замечательнымн свойствами (см. задачи 7 и 8). В частности, если Н вЂ” положительно определенный эрмнтов оператор, имеет место обобщенное неравенство Шварца 1(и ! Н! о) ~т((и ! Н~ и)(о~ Н! о) при любых ~и) и ~о); равенство реализуется в том и только в том случае, когда Н~и) н Н~о) пропорциональны друг другу. Кроме того, из равенства (и ! Н ! и) = О необходимо следует Н~и) = О.
Оператор У называется унитарным, если он является обратным к своему сопряженному: (7»Н Произведение йу = У'ч' двух унитарных операторов (7, 'ч' есть унитарный оператор. Действительно (свойства (15) и (24) ), )т»Н» ф 9. Проблема собственных значений н наблюдаемые Пусть А — линейный оператор. Тогда, по определению, комплексное число а есть собственное значение А, а кет-вектор ~и) есть собственный кет-вектор, принадлежащий а, если А | и) = а! и). Аналогично (и'~ есть собственный бра-вектор, принадлежащий а', если (и'! А = а'(и'!. Если ~ и) — собственный кет-вектор А, то любой вектор типа с)и) также есть собственный кет-вектор, принадлежащий тому же собственному значению; если существует несколько линейно независимых векторов, относящихся к одному собственному значению, то всякая линейная комбинация этих кетвекторов также принадлежит тому же собственному значению.
Иными словами, множество собственных кет-векторов, принадлежащих одному данному собственному значению, образует векторное пространство; будем называть его подпррстранством, относящимся к собственному значению а. Если это подпространство одномерно, говорят, что собственное значение простое, или невырожденное. В противном случае имеет место вырож- Ф к пеовлвмх совстввнных значении н нхвлюдхвмыв ззз дение, причем порядок вырождения по определению равен числу измерений соответствующего подпространства; может случиться, что вырождение имеет и бесконечный порядок. Те же замечания относятся к собственным бра-векторам. Если А — произвольный линейный оператор, то никакой простой связи между проблемой собственных значений для кет-векторов н проблемой собственных значений для бра-векторов не существует.
Однако в практически важном случае эрмитового оператора А эти проблемы тесно связаны между собой. Если А эрмнтов оператор, то: 1) оба спектра собственных значений идентичны; 2) все собственные значения вещественны; 3) всякий бра-вектор, сопряженный собственному кет-вектору оператора А, является собственным бра-вектором, относящимся к тому же собственному значению, и наоборот; инымн словами, надпространство собственных- бра-векторов, относящееся к данному собственному значению, дуально подпространству собственных кет-векторов, относящемуся к тому же собственному значению. Доказательство свойства 2) с точностью до обозначений совпадает с приведенным в $ У.б. Если А = А" и А~и) = а~и), то (и~А ~и)=а(и!и) и, поскольку, (и!А ~ и)"=(и~А ~ и)=(и!А ~и), (и~А ~и) вещественно вместе с (и~и), поэтому а вещественно.
То же доказательство можно провести для собственного значения, относящегося к бра-вектору. Кроме того, поскольку всякое собственное значение вещественно, равенство А~и) = а~и) влечет за собой (и)А = а(и~ и обратно; отсюда без труда получаются свойства 1) и 3). Другим важным свойством собственных векторов, принад. лежащих различным собственным значениям, является свой.
ство их оргогональности. Доказательство не отличается от приведенного в $ Ч.б. Если ~и) и ~о) — собственные кет-векторы, принадлежащие различным собственным значениям а и Ь: А ! и) = а ! и), (а! А = Ь (и ~, то, умножая первое уравнение скалярно слева на (о~, а второе — справа на ~ и) и вычитая одно из другого, получим 0=(а — Ь)(а!и). ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
