1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 53
Текст из файла (страница 53)
книги, питированные в сноске )/.з). АлГеБРА проекторов 259 Чтобы Ю'; было подпространстом д'; (т. е. чтобы каждый вектор подпространства Ют был вектором подпространства Юз) необходимо и достаточно, чтобы Р;Р1 — — РР ь!тобы д'з и эт были ортогональны, необходимо и достаточно выполнение равенства РР =0.
(40) В этом случае говорят, что проекторы оргогональиы. Что касается сумлтьг проекторов, то здесь мы имеем важную теорему: Пусть Рь Рь Р», ... операторы проектирования на подпростраиства д'» в ь й», соответственно. Чтобы их сумма Р; + + Р, + Р» + ... также была оператором проектирования, необходимо и достаточно чтобы эти операторы были попарно ортогональны. Подпростраиство, на которое осуществляется проекция, есть в этом случае прямая сумма, или объединение подпространств Юь эь э», ...
(т. е. множество векторов, получаемое линейной суперпозицией векторов, принадлежащих каждому из этих подпространств). Условие ортогональности, очевидно, достаточно. Чтобы доказать его необходимость, достаточно доказать его для случая сумм двух операторов 8 = Р~ + Р, Оператор Я, очевидно, эрмитов. Чтобы выполнилось условие о» = о, необходимо, чтобы Р~Р~ + Р,Р, = О. Умножная это уравнение на Рз сначала слева, а потом справа, получаем Р,.Р + Р,.Р Р, лРРг + Р Р, = О, отнуда Оператор Р, из уравнения (37) является примером суммы ортогональных проекторов. Операторы проектирования 1лт)(т(, фигурирующие в этой сумме, являются элементарными проекторами.
Ясно, что пространство Еь на которое осуществляется проектирование, является объединением пространств, на которые проектируют отдельные операторы, входящие в сумму. Будучи объединением )Ч одномерных пространств, пространствоК имеет М измерений, а оператор Р, является суммой 1Ч элементарных ортогональных проекторов. Если У ~ 1, то Р, представляется в этой форме бесчисленным числом способов. Действительно, обозначим символом (и) последовательность (1), (2), ..., (1Ч) из 1у ортонормированных векторов, принадлежащих Юь Последовательность (и) образует базисную систему векторов в д'~ в том смысле, что каждый вектор из 8'1 может быть линейно выражен через эти М векторов; условимся считать тождественными базисные системы, векторы ГЛ СП МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 260 которых отличаются только фазовыми множителями или порядком расположения в последовательности, При этом очевидно, что и Р, = 2 1п)(п1 и существует столько выражений для Рь сколько существует различных базисных систем.
Эти рассуждения без труда обобщаются на случай, когда подпространства Я, на которое осуществляется проектирование, обладает бесконечным числом измерений. В теории пространства Гильберта доказывается, чта всегда можно сделать выбор в Ю (и бесчисленным числом способов) базисной системы (и) —= = — 11), 12), ..., 1п), ..., содержащей бесконечную счетную последовательность ортонормнрованных векторов, Проектор Р на Я может быть представлен в виде ряда из элементарных ортагональных проекторов Р = ~ 1 и) (п 1. Однако в 5 можно построить и базисную систему, содержащую кет-векторы, зависящие от непрерывного индекса. Предположим, например, что существует множество (бесконечное континуальное) векторов 1~) с бесконечной нормой, зависящих ат непрерывно изменяющегося индекса и удовлетворяющих условиям «ортонормированности» (38), и предположим также, что надпространство 5 образовано множеством векторов с конечной нормой, образованных путем линейной суперпозиции кет-векторов 1~) из некоторой области Яь ст), В этом случае Р можно также представить в виде (39): Ь ~ 1») и» (» 1.
В этой форме Р все еще можно рассматривать как сумму ортогональных проекторов. Разделим. область интегрирования Дь $,) на некоторое число частичных областей. Тогда Р есть сумма проекторов, полученных при интегрировании 1$)в$($1 по каждой из этих частичных областей. Эти подобласти могут быть выбраны сколь угодно малыми. Обозначим символом ЬР оператор, полученный интегрированием по бесконечно малому интервалу (6, $+д";): А+АТ Э и.
нхвлюдхвмыв, с дискгвтным спвктвом ЗЕ1 тогда Р есть сумма бесконечно большого числа операторов ЬР. Мы будем называть операторы типа ЬР дифференциальными проекторами; пространство проекции, соответствующее оператору этого типа, имеет бесконечное число измерений. $ 12. Наблюдаемые, обладающие только дискретным спектром Пусть А — эрмитов оператор. В этом параграфе мы рассмотрим проблему собственных значений, органнчиваясь случаем, когда собственные векторы принадлежат пространству Гильберта. Собственные значения образуют дискретную последовательность аь ам ..., а„.... Пусть д'„есть подпространство, принадлежащее собственному значению а„, Є— проектор на это подпространство. Если собственное значение а невы- рождено, то Ю„ имеет одно измерение и Р, †элементарн проектор.
В противном случае всегда можно сделать выбор (и бесчисленным числом способов) базисной системы в 8'„: 1 а1), )а2), ..., (аг), ..., так, что Р„= ~ ~пг)(иг1 Г (41) Подпространства, принадлежащие различным собственным значениям и„, а„', ортогональны, следовательно ЄЄ= 0 (и ~ и'). (42) Суммируя проекторы, принадлежащие всем собственным значениям дискретного спектра, получаем проектор РА ==~ Х 1 л л (43) Рд —= ~, Р„=1.
п (44) Иногда левую часть этого равенства называют разложением единицы по отношению к собственным значениям оператора А. Ясно, что это разложение единственно, т. е. что всякий кет-вектор ~ и) единственным образом может быть представлен в виде суммы собственных кет-векторов ~ и„), каждый из которых подпространство проекции которого Юл есть объединение всех АГ,; 8'л есть пространство векторов, образованных линейной суперпозицией собственных кет-векторов А, принадлежащих пространству Гильберта. Если А — наблюдаемая, имеющая только дискретный спектр, то Юж по определению, совпадает с полным пространством Ю, иначе говоря Гл.
юь млтемАтическии АппАРАт принадлежит одному определенному собственному значению. Чтобы написать эту сумму, достаточно применить к !и) каждый член равенства (44): ! и)=- ~ Р„! и). (45) (46) Умножая почленно уравнение (44) на А, получим, принимая во внимание (46): А = х, а„Р„, (47) л Из этого равенства следует, что наблюдаемая А полностью определяется заданием ее собственных значений и соответствующих надпространств. Выражение (47) для оператора А показывает, кроме того, что оператор А коммутирует со всеми проекторами Р„. Соотношения (44), (45), (47) характерны для наблюдаемых, обладающих только дискретным спектром, при этом число собственных значений может быть как конечным, так и бесконечным.
Мы не будем исследовать здесь вопроса о сходимости соответствующих рядов, эта сходимость всегда имеется. Особенно удобные выражения получаются, если всюду вместо Р„подставить выражение (41). Так, левая часть уравнения (44) выражается в виде суммы элементарных проекторов и мы получаем соотношение зал~ннутости Рл — = ~л' ! Пг) (пг ! = 1.
л, г (48) Вместе с соотношениями ортонормированности (пг !и'г') = Ь„, бгг (49) это условие выражает тот факт, что множество кет-векторов ! пг) образует полную ортонормированную систему. Применяя оператор из (48) к некоторому вектору, получаем разложение !и)= ~ !пг)(пг !и) л,г (50) в ряд по собственным векторам !пг). Коэффициенты разложения равны скалярным произведениям (пг!и) (ср. уравнения Согласно определению Р„вектор Р.!и) либо равен нулю, либо есть собственный кет-вектор А, принадлежащий собственному значению а, причем это имеет место для любого кет-вектора !и); поэтому имеем (А — а„) Р„= О.
$!Х НАБЛЮДАЕМЫЕ В ОБШЕМ СЛУЧАЕ 263 (Ъ', (14 — ! 5) ) . Кроме того (и~и)=(и! РА ~и)= Х (и ~пг)(пг1и) = ~„!(пг!и) 1~. (51) л, г л,г Норма ~ и) равна сумме квадратов модулей коэффициентов разложения: это есть равенство Парсеваля (ср. уравнение (!>.16)). Наблюдаемая А может быть представлена в виде ряда ортогональных элементарных проекторов. Производя те же операции, которые привели к уравнению (47), получаем А = АРА — — 2 ( пг) а„(пг ~.
(52) л,г $ 13. Наблюдаемые в общем случае и обобщенное соотношение замкнутости Эрмитов оператор А является наблюдаемой, если векторное пространство д'А с ограниченной нормой, образованное суперпозицией собственных векторов А, совпадает с полным пространством Гильберта !з или, что то же самое, если оператор РА проектирования на гзл равен единице.
Когда спектр полностью дискретен, оператор Р, может быть представлен в виде разложения по элементарным ортогональным проекторам, полученным с помощью собственных векторов А, и условие того, что А есть наблюдаемая, удобно записывать в форме соотношения замкнутости (48). Распространение этого соотношения на общий случай требует введения дифференциальных проекторов — онн в случае непрерывного спектра играют ту же роль, что элементарные проекторы при дискретном спектре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
