1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Наконец, говорят, что последовательность А, В, С, ... наблюдаемых составляет полный набор коммутирующих наблюдаел!ых, если эти наблюдаемые все коммутируют между собой и если их общая базисная система определяется единственным образом. Каждому множеству собственных значений а, Ь, с, ... соответствует один и только один общий собственный вектор (определенный с точностью до постоянного множителя). Этот вектор может рассматриваться как функция собственных значений а, Ь, с, .... Его обычно обозначают символом ~аЬс ...) Раздел 1!1.
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ й 16. Общее понятие о конечных матрицах По определени!о матрица А типа МХУ есть совокупность М)т' элементов А „(т = 1, 2, ..., М; и = 1, 2, ..., 1у'), которые обычно располагают в виде прямоугольной таблицы с М строками и Ь1 столбцами Ап А!а... Аьу Аа! (А) = Ая! А есть элемент матрицы, расположенный на пересечении т-й строки и и-го столбца. Если М = М, то мы имеем квадратную матрицу, число ее строк и столбцов дает число измерений, или порядок матрицы. Если одно из двух целых чисел М или М равно 1, то элементы матрицы могут рассматриваться как компоненты вектора.
Мы будем называть правым вектором матрицу с одним столбцом (М = размерности вектора, 1У' = 1) и левым вектором — матрицу с одной строкой (М = 1, Ь1= размерности вектора). Тогда скаляр есть матрица с М = !!1 = 1. Из матрицы А типа М Х М можно получить новые матрицы с помощью некоторых операций сопряжения, именно: а) комплексно сопряженную матрицу А" — это матрица типа М Р',!11, элементы которой суть величины, комплексно сопряженные элементам матрицы А: (А')А,=А"„,; 5 (а Оьшее пОнятие О кОнечных А(АтРИПАх 269 б) транспонированную матрицу А — это матрица типа Л(;((' ,М, получаемая пепестановкой строк и столбцов: (А)м = А(«,. в) эрмитово сопряженную матрицу АТ вЂ” зто матрица типа Л( н',М, получаемая применением обеих указанных выше операций: (А ) = А(«.
Комплексно сопряженный правый вектор есть правый вектор. '(ранспонированный правый вентор н зрмитово сопряженный правый вектор суть левые векторы и наоборот. Комплексно сопряженная, транспонированная и зрмитово сопряженная квадратные матрицы порядка Л(' суть квадратные матрицы порядка Л('. Определяют следующие операции матричной алгебры: а) умножение матрицы А на постоянную с; произведение сА есть матрица того же типа, что и А: (сА) „= СА,„„; б) сумма 5 = А + В двух матриц одного типа; В есть матрица того же типа, что А и В; Вли = А~ив+ Вжа( в) произведение (справа) Р = АВ матрицы В типа Мэ )(', Л(в на матрицу А типа МА,((,'Л(А, причем число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В: Л(А = Мв —— К.
Это матрица типа МА р,' Л(в, элементы которой даются формулой к Р „= 2„А «В»„. » ( Имеют место следующие равенства (А+В)'=А*+В', (А+ В)=А+ В, (А+В) = А" + В~. (АВ)"=А*В", (АВ)=ВА, (АВ) =В~А~. Отметим изменение порядка сомножителей в правых частях двух последних равенств. Умножение слева Л(-мерного левого вектора на Л('-мерный правый вентор дает скаляр. Умножение слева Л(-мерного правого вектора на Ф-мерный левый вектор дает квадратную матрицу порядка Л(. Другой важной операцией является тензорное произведение двух матриц. С помощью матрицы А(" типа М(.'«(', Л(~ и матрицы А('> типа М» Р,' Ф, можно образовать матрицу А(ьп = Ан>® А('> типа М(М»,'и', Л((Л(ь М(М» строк этой матрицы обозначаются двумя индексами т, и т» (т( = 1, 2, ..., Мь те= 1, 2, ...
..., М«), М(Л(» столбцов матрицы обозначаются двумя индексами и( и п«(п = 1, 2, ..., Л((, и» вЂ” — 1, 2, ..., Л(«). При этом (и) Н> (»( А~",~н „Р„= АщенАщ,л, 270 ГЛ. Шь МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АЛПАРАТ й 17. Квадратные матрицы В этом параграфе мы дадим несколько определений и перечислим ряд свойств квадратных матриц. В квадратной матрице А порядка Лl мы различаем У диагональных элементов А . (и = 1, 2...,, М) и недиагональные элементы АА~ (я Ф 1). 1Дпур (нли след) матрицы А есть сумма ее диагональных элементов: 6рА= — ТгА= — ~ А„„. л (60) Детерминант или определитель матрицы А, де1 А, есть детерминант, образованный таблицей ее элементов.
Единичная матрица 7 есть матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все недиагональные элементы равны нулю 1„=6„. 1А =А(=А (61) при любой матрице А. Две диагональные матрицы всегда коммутируют. Чтобы матрица порядка У коммутировала со всеми диагональными матрицами порядка Л/ необходимо и достаточно, чтобы она была диагональной (задача 4). Шнур (илн след) произведения ряда матриц инвариантен относительно циклической перестановки сомножителей Зр АВС = Яр САВ. (62) Произведение единичной матрицы на постоянную есть, по определению, постоянная матрица. Диагональная матрица есть мат.
рнца, все недиагональные элементы которой равны нулю. Квадратная матрица является вещественной, симметричной или эрмитовой, если она равна своей комплексно сопряженной, своей транспонированной или своей зрмитово сопряженной, соответственно, Сумма и произведение двух матриц порядка У всегда определены — это также матрицы порядка 1ч'. Сумма ассоциативна и коммутативна. Произведение ассоциативно, дистрибутивно по отношению к сумме, но не обязательно коммутативно. Алгебра матриц порядка 1Ч есть некоммутативная алгебра. Чтобы матрица порядка Л1 коммутировала со всеми матрицами порядка )ч' необходимо и достаточно, чтобы она была постоянной (пропорциональной единичной) (задача 4). В частности, единичная матрица 7 такова, что % и.
квхдехтные мхтРицы 271 Детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов этих матриц с$е1 АВС = с$е1 А ° бе1 В с1е1С, (бЗ) Матрица В, по определению, является обратной к матрице А, если АВ=7 и ВА=Е (64) Впрочем, если выполняется одно из этих равенств, то другое выполняется также. Обратную матрицу обычно обозначают символом В=А Чтобы данная матрица А имела обратную необходимо и достаточно, чтобы детерминант матрицы был отличен от нуля: де1А Ф О.
Если де1А =О, то матрица называется сингулярной. Нетрудно проверить, что (А) =(А ), (А") '=(А '), (А ) =(А ') н что (РО) ~ =0 ~Р ~. Матрица 0 называется ортогональной, если транспонированная матрица 0 равна обратной 00=00=Е Матрица О называется унитарной, если эрмнтово сопряженная матрица с7т равна обратной (7и'=- и'и = Е Если мы умножим слева матрицу размерности Л' на правый Л'-мерный вектор, то получим правый Л7-мерный вектор. Если умножить справа матрицу размерности Л7 на левый Л'-мерный вектор, то получим левый Л7-мерный вектор. Особенно просто действие диагональной матрицы. Пусть Огпл = г(оАпл суть элементы такой матрицы, а и„— компоненты правого вектора и, тогда (Ои)„= о„и„. ГЛ.
Ун. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 272 Аналогично, если о,— компоненты левого вектора о. то (п0)„= о„а„. Если матрица сингулярна, то существует по крайней мере один правый вектор и такой, что Аи = О, и обратно. Из этого факта вытекает важная теорема: Пусть А и В две матрицы порядка Л(. Для того, чтобы существовал правый >т'-мерный вектор и, удовлетворяющий уравнеписо Аи=ХВи, необходимо и достаточно, чтобы постоянная Х являлась решением уравнения йе((А — ХВ) = О.
В частности, если А есть матрица порядка Л>, то для того, чтобы существовал правый вектор и, удовлетворяющий уравнению Аи=Хи, необходимо и достаточно, чтобы постоянная Х являлась решением уравнения де((А — ЛЕ) = О. Это алгебраическое уравнение порядка, не превосходящего Л> называется секулярным уравнением. Аналогичные результаты имеют место для левых векторов. Тензорное произведение двух матриц порядка Л'1 и Лгз есть матрица порядка Л'1>уь В частности, тензорное произведение единичных матриц Т11>, Ва> также представляет собой единичную матрицу В>~> размерности Л'>Л>т. В качестве примера рассмотрим матрицы порядка 4, получающиеся в результате тензорного умножения матриц порядка 2 иа матрицы порядка 2. В теории часто используются следующие матрицы второго порядка (матрицы Паули): Всякая матрица второго порядка может быть представлена как линейная комбинация этих четырех эрмитовых матриц.
Рассмотрим теперь матрицы Паули в другом двумерном пространстве; 4 >7. квадРАтные мАтРицы 273 Производя тензорное умножение матрицы типа (и) на матрицу типа (р), мы получим матрицу типа (4 Х 4). Дадим явное выражение нескольких матриц типа (Рп): О О О 1 О О 1 О О 1 О О 1 О О О О О О О О О ! О О О О О О О О) ΠΠΠ— 1 О О П ® !(з> ( )= Полученные матрицы можно рассматривать как матрицы, принадлежащие одному из пространств, скажем пространству (р), но тогда каждый злемеит матрицы есть матрица из другого пространства: зто выражено в средних частях равенств. Правые части равенства представляют матрицы в явном виде; если условиться отмечать строки (и столбцы) двумя иидексамн тпюе, причем первый относится к составляющим пространства р, а второй — к составляющим пространства (о), то строки (и столбцы) располагаются в порядке: 11, )2, 21, 22.
Линейно комбинируя тензорные произведения матриц, получают квадратные матрицы с двойными индексами А... „,„, (т„п! = 1, 2, ..., )т'>; тз, пз = 1, 2, ..., )!>з), размерности >ч'>>>>з. Как показывает рассмотренный пример, можно считать их матрицами типа (1), элементы которых суть матрицы типа (2). Суммируя диагональные элементы такой матрицы, получаем матрицу типа (2) в обычном смысле; по определению это частичный шпур в пространстве (1) исходной матрицы: А!, (Бр! А) Рн = 2. Алтн зп„. е=! (67) Зр А = Зрз (Зр! А) = Зр! (Брв А), (68) и если матрица А есть тензорное произведение А!'> >8>А!з>, то ЗР(А!'> >8> А!з>) (ЗР! А(>>) (ЯРз А(з,) (69) Аналогично можно определить частичный шпур в пространстве (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
