1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Строго говоря, вектор ным нулю, ибо он должен быть ортогонален сам себе, а следовательно, иметь нулевую норму. Множество векторов, ортогональных к Юь образует подпростраиство еГГ,ортогональное Рь — это подпространство, дополнительное к д'ь Подпространство д'1~ сводится к нулю, если подпространство д'1 совпадает с самим пространством Ю. Можно показать' ), что всякий вектор пространства Ю может быть единственным образом представлен как сумма вектора из Ю1 и вектора из дополнительного подпространства: 1 и) = ) и,) + ) их). Вектор 1и1), по определению, есть проекция 1и) на подпространство Рь Мы еще вернемся подробно к понятию проекции в разделе 11.
Во всех рассуждениях, касающихся скалярного произведения, молчаливо предполагалось, что векторы (и кет, и бра) обладают конечной нормой, в противном случае аксиома о норме теряет всякий смысл. Если это действительно так, то рассматриваемое пространство кет-векторов есть пространство Гиль- берта. В гл.
Ч мы видели, что векторы, способные представлять динамические состояния, действительно должны иметь конечную норму, но что рассмотрение проблемы непрерывного спектра в задачах на собственные значения требует введения собственных векторов с бесконечной нормой. Поэтому мы должны ввести в наше пространство ь также и векторы 1$) с бесконечной нормой, зависящие от одного (по крайней мере) непрерывного индекса, и распространить на эту категорию векторов понятие скалярного произведения. Мы принимаем, что 1$) имеет конечное скалярное произведение (и~$) со всяким вектором 1и) с конечной нормой и что это скалярное произведение линейно по отношению к 1$) и антилинейно по отношению к (и). Аналогично определяется скалярное произведение Д1и), причем принимается, что (~ 1и) = (и 1 К)". В противоположность этому скалярное произведение двух векторов типа )$) может и не сходиться.
В частности, норма 1$) расходится. Но мы предположим, что собственный 'диффе- ренциал 5 К ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 245 ~ й) не входит в пространство Р, но его собственные дифферен. циалы или, в более общем случае, линейные комбинации типа (2) принадлежат этому пространству и удовлетворяют всем требованиям, характеризующим векторы пространства Гильберта. й 5. Линейные операторы Определив пространство кет-векторов, можно перейти к определению линейных операторов, действующих в этом пространстве (см.
5 П.11). Предположим, что каждому кет-вектору ~ и) векторного пространства соответствует некоторый кет-вектор ~с): говорят, что ~с) получается в результате действия на ~и) некоторого оператора. Если, кроме того, это соответствие линейно, то оно определяет некоторый линейный оператор А. Пишут ! О) = А! и).
Такой оператор равен нулю, если вектор ~в) равен нулю при любом векторе ~ и). Чтобы оператор А был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы каким бы ни был вектор ~и), (и 1А ~ и) = О. Доказательство этого свойства не представляет серьезных трудностей, мы не будем иа ием останавливаться. Отсюда немедленно следует: Чтобы два оператора А и В были равны, необходимо и достаточно, чтобы, каким бы ни был вектор ~и), (и ~ А ~ и) = (и 1В ~ и).
(1 2) Основные операции алгебры операторов были уже указаны ($ П.11): умножение на постоянную, сумма и произведение. Сложение линейных операторов является операцией ассоциативной и коммутативной. Умножение ассоциативно, дистрибутивно по отношению к сумме, но — и в этом основное различие между обычной алгеброй и алгеброй линейных операторов— умножение не коммутативно. Напомним, что коммутатор двух линейных операторов А и В обозначается символом (А, В)= — А — ВА.
Основные свойства алгебры коммутаторов изучались в $ Ч.17 (уравнения (Ч.63 — 66)); они все остаются в силе и не будут вновь излагаться здесь. Заметим, что операция умножения кет-вектора на заданную постояннную с также выражает действие линейного оператора. Этот оператор с коммутирует со всеми линейными операторами, Гл. ои мхтемхтичвский лппАРАт какими бы они ни были: [А,с] = О. В частности, умножение на ! есть единичный оператор. Если соответствие между ~ и) и ~ о), определенное выше, ивляется взаимооднозначным, то оно определяет два линей.ных оператора А и В: !о)=А!и), !и)=В!о).
,Эти операторы, по определению, обратны друг другу. Говорят еше, что операторы А и В обратны друг другу, если они одновременно удовлетворяют уравнениям АВ=1, ВА=!. (14) Эти два определения эквивалентны. Оператор, обратный данному, существует не всегда, Когда он существует, его обычно выражают символом А — '. Пользуясь соотношениями (14), легко получить следующее свойство. Если операторы Р, 1;! имеют обратные операторы, то произведение Р() также имеет обратный оператор, причем (РЯ) ' =О 'Р (15) (отметим перестановку порядка сомножителей в правой части (15)). Если действие линейного оператора А в пространстве кетвекторов известно, то его действие в дуальном векторном пространстве однозначно определяется следуюшим образом.
При задании бра-вектора (т! скалярное произведение (х~(А )и)) есть несомненно линейная функция ~и), так как оператор А линеен. Пусть (Ч~ есть бра-вектор, определяемый этой функцией; тогда каждому бра-вектору (т! соответствует бра-вектор (т1~. Ясно, что это соответствие линейно (свойства скалярного произведения). Говорят, что (т1~ получается в результате действия А на (т,! и пишут (! 6) Следуя этому определению, получаем тождество ((х ! А) !и) — = (х!(А !и)). (17) Скобки в этих двух выражениях оказываются, таким образом, лишними и мы будем писать просто (Х)А)и) для обоих равных скалярных произведений. С помошью тождества (17) можно определить различные операции алгебры линейных операторов, действующих на бравекторы. В частности, для трех основных операций имеем: (а) умножение А на комплексную постоянную с: (сА) !и) = с (А ! и)), откуда (у ~ (сА) = с ((х ! А); $6.
твнзОРное пРОНЗВедБнив ВБктОРных пространств 24т (б) сумма операторов 5= А+ В: 5!и) = А | и) + В ~ и), откуда (Х! 3 = (Х ~ А + (Х ) В; (в) произведение операторов Р = АВ: Р~и)=А(В~и), откуда (т,!Р=((Х1А)В. При этом действует условие, что бра-векторы пишутся слева, а кет-векторы — справа от символа оператора, тогда алгебраические манипуляции с линейными операторами в обоих случаях производятся одинаково.
Некоторые операторы при использовании указанных выше обозначений оказываются особенно простыми в обращении: это операторы типа (и)(о~, действие которых на кет (в) дает кет, пропорциональный ~и), а именно кет ~и)(о~со) (множитель пропорциональности (о~тв)), а действие на любой бра с'.гн~ дает бра, пропорциональный (и~, а именно бра (го~и)(о!. Оператор (и)(о~ не имеет обратного. $ 6. Тензорное произведение ') двух векторных пространств Чтобы завершить это введение в векторную алгебру, остается определить часто используемую операцию образования тензорного произведения двух векторных пространств.
Смысл и интерес этой операции можно иллюстрировать следующим примером. Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух частиц. Произведение Ч",(г1)Ч'з(г,) волновой функции Ч",(г,), относящейся к первой частице, на волновую функцию Ч"з(гз), относящуюся ко второй частице, представляет некоторое частное состояние этой системы ($17.6). Самая общая волновая функция Ч'(гь гз) ие есть указанное произведение функций, но может быть всегда представлена как линейная комбинация волновых функций такого вида, Одним из многочисленных способов добиться этого является разложение Ч" в ряд по полной системе ортонормированных функций г,; поскольку коэффициенты такого ряда являются функциями гт, каждый член ряда имеет форму указанного выше произведения.
Таким образом, полное пространство волновых функций системы образовано линейными комбинациями произведений волновых функций, относящихся к каждой из отдельных систем Чг~(г,) и Ч'з(гт). Говорят, что пространство функций Ч" (гь гт) является тензорным произведением пространства функций Чг,(г~) и пространства функций Ч'з(гз). Произведения Чг~(г,)Ч"з(гт) играют особую роль при изучении полной системы. Действительно, динамические переменные ') Пронзвеленне этого тина часто называется кронекеровым произведением.
ГЛ ЧП. МАТЕМАТИЧЕСКИИ АППАРАТ частицы 1 представляются некоторыми наблюдаемыми А<, действующими на функцию Ч"(т(,т2), рассматриваемую как функция т(, динамические переменные частицы 2 представляются наблюдаемыми А2, действующими на ту же функцию, но рассматриваемую как функция г2. Ясно, что каждая наблюдаемая А< коммутирует с каждой наблюдаемой А2.
Когда Ч' имеет вид Ч"1(т<)Ч',(т2), действие наблюдаемых этого типа особенно просто; так, например, А<(Ч"(Ч2) равно произведению А<Ч"1 на Ч'2. Предшествующие замечания относятся к любым квантовым системам, допускающим разделение на две более простые системы.
На абстрактном математическом языке, которым мы пользуемся в этой главе, тензорное произведение может быть определено следующим образом. Пусть мы имеем два векторных пространства 8'1 и Ю2. Взяв один кет-вектор ~ и)<'1 из первого и один кет-вектор ~и)<21 из второго пространства, можно образовать произведение кет-векторов (и)<11) и)<21. Операция образования такого произведения коммутативна и мы используем обо.значение ( и<1(и(2() = — ) и)'п1и)' '.
(18) Кроме того, предположим, что эта операция дистрибутивна по отношению к сумме. Если (и)п' =Л~ с)а'+)2(и()<о то 1 и(1(и(2>) = л ~ о(1>и<21) + (2 ( (в<1>и<2(). Аналогично, если )(21 Л ( )(21 + ~ )(2) то ! и<'<и<21) = Л ) и<'(о<2>) + 12 (и<1(и«21). На кет-векторы (и<'(и<21) натянуто новое векторное пространство, пространство д'( ® Ю2, которое называется тензорным произведением векторных пространств д'<11 и э(21. Если размерности этих пространств равны соответственно Ж( и 122, то число измерений пространства-произведения равно А<1122. Однако операция образования тензорного произведения возможна и когда пространства обладают бесконечным числом измерений, как это показывает разобранный выше пример.
Каждому линейному оператору А('1 пространства <в'(1> соответствует линейный оператор пространства-произведения, который мы обозначим тем же символом. Если действие оператора А<'1 на любой кет (и)<11 известно А<н !и)в'=(о)'1', 4 1. сопРЯжВииыа ОпеРАтОРы и пРАВилА сопРЯжВИПЯ Я4е то действие этого оператора на кет-векторы 1и(пи(а)) пространства-произведения определяется формулой А(') 1и("и")) =1ьп)и(а)), (19) а его действие на произвольный кет-вектор пространства-произведения получается с помощью линейной суперпозиции. Аналогично каждый линейный оператор А(а) пространства Й(а) позволяет определить линейный оператор в пространстве-произведении, Каждый из операторов А(') коммутирует с каждым из операторов А(а) [А~ ), А~ИЗ=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
