1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Рис. 23. Семейство трзекторяй (с заданной энергией Е), сняззнных с еалнояой пояерхностью (5,) я приближении геометрической оптики: (75)т = = Ь'/хт. Если У = О но всем пространстве, то Х является постоянной, и честное решение уравнения (25) может быть энписэно е энде 5 = рг + сопы, где р — зэдэнный еектор длины й)Х (семейс~ьо функций этого тнпэ образует полный интегрзл уравнения ь частных производных первого порядка (23)). В этом случзе нолиоеые понерхностн суть плоскости, перпендикупярные р, з лучи— прямые, параллельные р.
В общем случае, конечно, налнозые поиерхиостн и лучи криеолинейны. При заданной энергии Е уравнение волновой поверхности 8(х, у, г) = 8ь определяет одно н только одно решение уразнення (23). Его можно построить следующим образом. Понерхности (5ь) сопоставляется диухпэраметрическое семейство траекторий классической чзстнцы, соответствующих энергии Е, которые ортогонзльны (8э) и всем другим волновым панерхностям (рис. 23). Чтобы изйти энэчеипе 5 на каждой из этих поверхностей, рассмотрим одну нэ траекторий (Т), Каждая точка на (Т) определяется крняолииейной координатой з; начало отсчета з = О совпадает с точкой пересечения (Т) н (8э). 9 К КЛАССИЧЕСКИИ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 223 Согласно уравнению (25) Б 8(з) 3»+ ) — с(з. рй Таким образом, 3 оказывается определенной во всем пространстве, ио тогда и задание А на поверхности (3,) определяет функцию А во всем пространстве единственным образом.
Уравнение (23) связывает только значения А(з), взятые вдоль одной траектории, оно может быть записано в виде: — — (А') + А' ° АЭ = О. А Д и'з Функции Х и Аз вполне определены вдоль рассматриваемой траектории, поэтому это уравнение однозначно определяет функцию А(з) при любых з, если задано значение А(0) на пересечении траектории (Т) и поверхности (Юз). Зная решения А и 5 в классическом приближении, можно оценить возмущеиие, вносимое присутствием члена Х'ЛА/А в точном уравнении (22).
Это возмущение зависит ие только от «оптических» свойств среды, в которой распространяется волна, ио также и от формы рассматриваемого решения волнового уравнения. Классическое приближение применимо, вообще говоря, если чпоперечиые» размеры волны всюду велики по сравнению с Х и если ( Егаб Х ) ~ ! (29 во всяком случае в тех областях пространства, где плотность А' существенно отлична от нуля. Эти условия получаются путем следующих полуколичественных рассуждений. Как указывает оптическая аналогия, кривизна световых лучей, т. е. траекторий частнц, должна быть мала в масштабах длины волны.
Но радиус кривизны Й связан со скоростью частиц в и поперечноа составляющей силы — (Егаб У)А соотношением — ~(йгаб У)А ) )( Необходимо поэтому, чтобы Х Х((йгаб !') ) лзХ~ шот = — ) (угад У) ) <!. Учитывая выражение для Х нак функции потенциала У, это условие можно записать так: ) (угад Х)А ( С ! Таким образом, кривизна волновых поверхностей должна быть мала по сравнению с !/Х (кроме, может быть, некоторых ограниченных областей пространства вблизи фокальных поверхностей). Это в общем случае достигается если и траектории обладают тем же свойством прн надлежащем выборе поверхности (8з). Аналогичным образом относительное изменение А на каждой волновой поверхности должно быть пренебрежимо малым на расстояниях порядка Х; иначе говоря, «поперечные размеры» волны должны быть большими 224 ГЛ, У!. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И МЕТОД ВКБ по сравиеиию с Х.
Если зги условия выполиеиы, то функция А(з) вдоль траектории (Т) вриближеиио даетси соотношением А (з) ги А (0) ~ —, l Х (з) 'Ч Х(о) что после небольшого вычисления дает Чтобы зто выражение было малб, иужио, чтобы оХ/г(з яХ г(зХуозз были зиаяительпо меньше 1; практически второе условие выполнено всегда, когда выполиеио первое, т. е. когда составляющая игам Х вдоль траектории !(Егабх)1 ! <1. 2 5. Кулоиовское рассеяние.
Формула Резерфорда В качестве приложения рассмотрим кратко классическую теорию кулоновского рассеяния и условия ее применимости. Это задача о рассеянии частиц с массой пт кулоновским Лез потенциалом )г= —, где г — расстояние частицы от силог вого центра С; этой частицей может быть, например, протон с зарядом е, который движется в кулоновском поле ядра с зарядом Яе (отталкивающий потенциал).
Теория применима также и в том случае, когда заряды имеют противоположные знаки (притягивающий потенциал). Поэтому мы будем рассматривать постоянную Лез как алгебраическую величину, обладающую некоторым знаком. Пусть Š— энергия частицы: ро "'"о, Е= — = —; 2ш 2 задается также направление движения падающей частицы и прицельный параметр (прицельное расстояние) Ь, что фиксирует начальные условия движения. Положим 1 Лез а= — —. 2 Е (27у Известно, что траектория является ветвью гиперболы (рис.
24) с фокусом С, полуосью ОА = (а! и фокальным расстоянием ОС = 1/йз + Ь'. Угол отклонения дается соотношением Ь = ) ц ) с(й 2 (28у (знак Отклонения зависит от знака потенциала, но абсолютное значение угла зависит только от абсолютного значения потенциала). 4 з. кклоновскои-нлссвянип. оопмклл оезипеонпл 225 (тзз)2 (29) и'ь) О 4 мп'— 2 16Ез юл'— е 2 Нам остается обосновать применение классического приближения. Заметим, что характерной длиной задачи здесь является '(а(.
Кроме того, длина волны частицы й й (( 2п)-~й з) Эта формула, которой мы обязаны Резерфорду, имела большое историческое значение, так как на ней была основана интерпретация его знаменитык опытов по рассеянию а-частиц. 3 А, Мессия На практике важное значение имеет величина с(п/аьз, называемая дифференциальным эффективным сечением. Предположим, что силовой центр бомбардируется пучком частиц одной энергии Е и одного направления движения; мы желаем знать число частиц, рассеиваемых в некотором телесном угле (Й, аз+ аьз).
Тогда дп/дьз, по определению, есть число частиц, рассеиваемых в этом направлении на единицу телесного угла в единицу времени, когда распределение частиц в первоначальном пучке равномерно, а поток постоянен во времени и равен единице, т. е. если через всякую поверхность, далекую от С и перпендикулнрную направлению движения, проходит одна частица в единицу времени и на единицу поверхности.
Выберем первоначальное на- б) правление пучка в качестве полярной оси и обозначим через О и <р Рис. 24, траектория (жирная сферические углы направления дви- линия) частицы в кулоновском поле: и) отталкивающий пожения рассеянной частицы; при этом теицнал; б) притягивающий О есть введенный выше угол откло- потенциал. пения, связанный с прицельным параметром соотношением (28). Элемент телесного угла в направлении (О, ф) равен с(ьз = з(п О ЫОс(ф.
Число с(п частиц, рассеиваемых в единицу времени в этом телесном угле, равно числу падающих частиц, пересекающих в единицу времени поверхность Ь дЬ с(ф, т. е. поскольку первоначальный падающий поток равен 1 с(п = Ь г(Ь йр = Ь вЂ” с(О с(ф = — — с(ьл. бб б бб бе м.е ав Заменяя в этом уравнении величины Ь и дЬ/с(О их выражениями, вычисленными с помощью соотношения (28), получаем формулу Резер4орда ') 226 ГЛ. Ч1. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ по порядку величины равна своему первоначальному значению Хс= й/лтпо. Отношение двух величин имеет порядок Х 6~ Можно ожидать, что классическое приближение справедливо, когда (30) у»1, (3! ) Выясним, в какой мере выполняется условие (26).
Имеем ЛХ 1 а' 1 пгад Х)=— сГ 1; бг у З/г (г — 2а)з (Огас) Х( тем больше, чем меньше г. Поскольку классическая траектория тем ближе подходит к рассеивающему центру, чем больше угол отклонения, мы делаем вывод, что классическое приближение оправдано для малых углов отклонения (т. е. для больших прицельных параметров), но отказывается служить при больших углах отклонения. Чтобы получить количественную оценку, рассмотрим выражение для максимума (дгадХ( (т. е.
его значения на вершине гиперболической траектории) как функции 0; вычисление дает , е (игас)Х1,„= —, г'(О) =(ив Р(6) 6 ""2 1 — (а!кн о) Мп— 2 (здесь з)пп а = — (а!/а). Когда 8 увеличивается от 0 до и, функция г (О) увеличивается от 0 до + со. Пусть угол О, определяет. ся равенством Г (О,) = у. Классическое приближение справедливо при 8 с. О, и неприменимо при 0 ) О,. Заметим, что О, тем ближе к л, чем больше у, в согласии с ~рубой оценкой, сделанной выше. Р а з д е л 11. М ЕТОД В К Б ', ') В 6. Основная идея метода Как и всякий квазиклассический метод, метод ВКБ основан на разложении всех величин по степеням постоянной й и пренебрежении членами более высокого порядка.
Таким образом, ') Более подробное изложение метода см. в работах Й. Е. Еандег, Рьуз. Неч. 51, 669 (1937); аг. Н. Гиггу, Рьуз. Кеч. 71, 360 (1947). См. также Ф. М. Морс и Г, Фензбах, Методы теоретической физики, г!Л, 1960, т. 11, стр. 90 н далее, Ф х вешания вкв в одном изменении 3 7. Решения ВКБ в одном измерении Наиболее интересные применения метода ВКБ дают одномерные задачи.
Поэтому мы ограничимся рассмотрением одномерных задач и будем искать стационарные решения уравнения Шредингера, ие зависящего от времени (уравнения (22) — (23)). Метод, развитый здесь, может, вообще говоря, служить и для решения уравнения Шредингера в трех измерениях, ибо в большинстве случаев оно сводится к решению волновых уравнений в одном измерении путем разделения угловых и радиальных переменных (см. гл. 1Х). Пусть у(х) есть волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера, у" + —, (Š— У (х)) у = О. Полагая г — л у=а ", в=5+ — 1пА (5 и 1пА — четные функции Ь), получаем эквивалентную си- стему уравнений 2 з А" 5' — 2т (Š— К) = й' А 2А'5'+ А5" = О. (35) (36) уравнение Шредингера заменяется (по крайней мере, в некоторых областях пространства) своим классическим пределом, Однако область применимости метода ВКБ шире, чем область применимости классического приближения как такового, ибо указанное разложение может проводиться и в тех областях пространства, где классическое приближение не имеет смысла (области Е ( У, куда доступ классическим частицам запрещен).
Для того чтобы включить в рассмотрение и эти области, следует несколько изменить определения функций А и 5 из $ 4, полагая Ч' (г) = ехр ( — „Чг (г)), (32) В'(г) = 5 (г)+ —. Т(г), (33) А (г) = ехр Т (г). (34) Потребуем, чтобы 5 и Т были четными функциями Л, что однозначно определяет А и 5. Уравнения (17) — (18) и (22) — (23) остаются в силе, но величины А и 5 более не являются обязательно вещественными. Приближение ВКБ состоит в разложении (Р(г) по степеням л и пренебрежении в уравнении Шредингера членами порядка лз и выше. 228 Гл.
Ач. клАссическОе пРиБлижение и метОд зкв Уравнение непрерывности (36) интегрируется и дает (37) Подставляя это выражение для А в уравнение (35), получаем уравнение Я' =2гп(Š— У)+6~~4 (~' ) 2, 1. (38) Это дифференциальное уравнение третьего порядка строго эквивалентно уравнению Шредингера, из которого мы исходили. Приближение ВКБ состоит в разложении 8 в ряд по степеням йз Е=Ео+ й'5~+ (39) подстановки этого разложения в уравнение (38) и сохранении только членов нулевого порядка Я" м5,"=2~(Š— У(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
