1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Измерительный аппарат действует в некотором смысле как «идеальный фильтр». Волповая функция до измерения есть функция Ч'= 2„ с„ф„, Имеется вероятность ~с;(з найти в результате измерения величину а;; действие операции измерения сводится к «пропусканию» без изменения единственного члена слз~ в разложении Ч' по собственным функциям оператора А. В более общем случае, когда собственные значения наблюдаемой А и, в частности, значение ьи вырождеиы, волновая функция до измерения (по предположению нормированная иа единицу) может быть представлена в форме (ср. уравнение 420)): (51) ГЛ.
Ч. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ !эв Вероятность получить при измерении величину а; равна (Ч((, Ч(() = ~„[с"([». В случае идеального измерения волновая Г функция после измерения есть собственная функция оператора А, принадлежащая собственному значению ап зто линейная комбинация функций ф(О (г — переменный индекс).
Информация, содержащаяся в факте Обнаружения значения аь недостаточна для определения указанной линейной комбинации, причем неопределенность тем больше, чем больше кратность вырождения собственного значения. При идеальном измерении измерительный прибор действует как «идеальный фильтр», «пропускающий» без искажения только часть разложения (5!) функции Ч', относящуюся к собственному значению аь т. е. функцию с(мф(И ( Если измерение неидеально, то «прохождение» этих членов сопровождается некоторым искажением; это искажение в принципе может быть вычислено н зависит от конкретного устройства измерительного прибора.
Далее в этой главе мы будем предполагать, что все измерения, о которых идет речь, являются идеальными. Это сильно упрощает рассуждения. Такое предположение не ограничивает общности и не приводит к фундаментальным изменениям физического истолкования теории. й !4. Коммутирующие наблюдаемые и совместные переменные Рассмотрим две наблюдаемые А и В. Предположим, что спектр их собственных значений полностью дискретный, хотя те свойства, которые мы изучим, справедливы и в общем случае. Пусть эти наблюдаемые имеют одну общую собственную функцию Ч'о' АЧ"о = аЧ'о, ВЧ(о = ЬЧ(о. Физический смысл этих двух уравнений следующий. Если физическая система в данный момент времени находится в состоянии Ч'о, то точное измерение величин,я» и Я с достоверностью приведет к значениям а и Ь, соответственно. Необходимым усло. вием того, что эти уравнения удовлетворяются одновременно, является равенство (А — ВА) Ч'о — = [А, В] Ч'о = О, (52) т, е.
коммутатор А и В имеет собственной функцией Ч'о, принадлежащую собственному значени(о О, % и. коммттиттющив ихвлюдхемыв В качестве примера величин, для которых это условие не выполняется, могут служить наблюдаемые х и р„так как их коммутатор является отличной от нуля постоянной. Именно (см. уравнение (П. 10)): (х, р„]= — Гй~х, — 1= гл~ О; (53) где ~р(а; Ь ) — собственная функция В, принадлежащая собственному значению Ь . Можно всегда сделать так, чтобы все функции, входящие в эту сумму, принадлежали различным собственным значениям (см.
уравнение (20)). Покажем, что ф = — (А — а)~р(а; Ь )=О. Поскольку А и В коммутируют Вф =(А — а)Вф(а; Ь )=(А — а)Ь <р(а; Ь )=Ь ф . Иными словами, функции ф являются собственными функциями В, и ввиду того что собственные значения различны, эти функции линейно независимы. Однако имеем ~ ф =(А — а) ф,=О. действительно, мы хорошо знаем, что эти две величины никогда не могут быть одновременно точно измерены. С другой стороны, уравнение (52) автоматически выполняется, когда наблюдаемые А н В коммутируют.
В этом случае мы имеем важную теорему: Если двв наблюдаемые коммутируют, то они обладают общей полной ортонормированной системой собственных функций, и наоборот. Физически это означает, что динамические переменные, представляемые этими двумя наблюдаемыми, могут быть одновременно точно измерены: зто совместные переменные.
В частности, можно одновременно произвести идеальное измерение переменных .м. и йт и в этом случае волновая функция после измерения будет обшей собственной функцией А и В. Доказательство прямой теоремы таково. Предполагаем, что наблюдаемые А и В коммутируют (А, В] =О. Пусть ф, есть собственная функция А, принадлежащая собственному значению а. Функция ф, может быть разложена по системе ортонормированных собственных функций наблюдаемой В, т. е. может быть представлена в форме ф,= ~. ~р(а; Ь ), аоО ГЛ.К ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ По доказанному эти функции можно представить в форме >(><'>= Х <р<г>(а, ь ); (54~ где <р<'><'а; Ь ) являются общими собственными функциями А и В.
Совокупность функций <р<'>(а,; Ь ), соответствующих одной гаре собственных значений а„,Ь , может не быть линейно независимой, однако всегда можно тем или иным способом (например, с помощью процесса ортогонализации Шмидта) выбрать последовательность Ортонормированных функций (<'>(а„; Ь ), соответствующих той же паре собственных значений, причем функции <р<">(а„; Ь„) будут линейными комбинациями этих новых функций: <р"> (а„; Ь„) = ~ с,л>(<'>(а„; Ь ). Ю (55) Множество (у) всех функций >< образует ортонормнрованную систему собственных функций, общих для А и В. При этом полученная система полная, так как всякая волновая функция Чг может быть разложена в ряд по функциям у, Чтобы построить такое разложение следует разложить Ч' в ряд по функциям полной системы [<(><'>), затем вместо функций <[><„'> подставить их выражения через ><<'>(а„;Ь ), полученные с помощью уравнений (54) и (55), что и требовалось доказать.
Обратно, если А и В обладают общей полной ортонормированной системой собственных функций ><<'>(ал; Ь ), то АВх<'>(а„; Ь„) =а Ь у<'>(а„, Ь ) =ВАу<'>(а„; Ь ), следовательно, [А, В)><<'>(а„; Ь ) =О. Действие коммутатора [А, В) на любые функции из системы (Д дает нуль. Но поскольку, по предположению, всякая волновая функция Ч' разлагается в ряд по функциям >(, имеем при любой Ч'. [А, В) Ч' = О. Следовательно, [А, В)= О. С помощью коммутирующих наблюдаемых А, В можно образовать новые наблюдаемые виды > (А, В), где Дх, у) — произ- Это возможно только в том случае, если каждая из функций ф .
равна нулю. Следовательно, функции <р(а; Ь ) одновременно являются собственными функциями А и В. Рассмотрим теперь полную ортонормированную систему (<(><„'>) собственных функций А А<(><'> = а ф<">. л л л' % м. пОлные нАБОРы кОммутнРюОших нАБлюдАемых 201 вольно выбранная функция. По определению действие наблюдаемой )(А,В) на собственную функцию у(а; Ь), общую для операторов А и В, дает 1 (Л, В) у (а; Ь) =1 (а, Ь) Х(а; Ь). Действие новой наблюдаемой на произвольную функцию Ч' получается путем разложения Ч' в ряд по у и применения оператора 1(А, В) к каждому члену разложения, если, конечно, получающийся ряд сходится; в противном случае функция 1(Л, В) Ч' не существует. Из самого определения 1(А, В) очевидно, что эта наблюдаемая обладает общей с А и В полной ортонормированной системой собственных функций, а именно системой (т).
Отсюда следует, что 1(А, В) коммутирует с А и В. Все эти результаты очевидно обобщаются на случай произвольного числа В попарно коммутирующих наблюдаемых. Если В наблюдаемых все попарно коммутируют, то они обладают (по крайней мере) одной обшей полной ортонормированной системой собственных функций, и наоборот. Кроме того, любая (вещественная) функция этих наблюдаемых есть наблюдаемая, которая коммутирует с каждой из них и обладает общей с ними системой собственных функций. $ 15. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых Рассмотрим наблюдаемую А. Из ее собственных функций можно образовать полную ортонормированную систему собственных функций; будем называть эту систему функций базисной системой наблюдаемой А.
Базисная система, вообще говоря, не единственна. Степень произвола при ее выборе обсуждалась в $ 9. Условимся считать тождественными две системы, составляющие функции которых отличаются только фазой и (в случае непрерывного спектра) нормировкой. При этом условии базисная система наблюдаемой А единственна, если все собственные значения невырождены.
Чтобы исследовать другой случай, примем сначала, что собственное значение а дважды вырождено, и пусть фь фр суть две собственные ортонормированные функции, принадлежащие этому собственному значению. Нетрудно проверить, что функции ~р, = ф, соза+ ф,з(па, ~рз = — ф, з( и а + фз соз а также будут ортонормированными, принадлежащими тому же собственному значению. Базисная система наблюдаемой А может быть образована как из функций (фь фз), так и из функций (рн~рз). Следовательно, базисная система А не является единственной.
воз ГЛ. М ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ Пусть теперь имеется еще одна наблюдаемая В, коммутирующая с А. Может случиться, что общая базисная система А и В, существование которой мы доказали в $ !4, будет единственной. Тогда говорят, что наблюдаемые А и В образуют полный набор коммутирующих набл!одаемых. Если А и В не обладают единственной общей базисной системой, мы вынуждены добавить к ним третью наблюдаемую С, коммутирующую с первыми двумя и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
