1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Обозначим символом (ф'>) множество, образованное всеми этими )Т4 ГЛ Ч. ФОРМЛЛИЗМ ВОЛНОВОИ МЕХЛНИКИ А<р<') = а <р<'), Р Р Р ' (<р<л) <р<л)) (13) Возникает вопрос о возможности представления произвольной волновой функции ф из пространства Гильберта в виде функционального ряда по функциям системы (<р<')). Это, очевидно, возможно, если ф есть собственная функция оператора А, н в этом случае единственно отличными от нуля членами ряда будут члены, соответствующие функциям, принадлежащим тому же собственному значению. Если это возможно для произвольной функции <1>, говорят, что (<р<')) есть полная система.
Р Укажем без доказательства з) некоторые свойства разло>кений в ряд по ортонормированным системам функций. Пусть иь иь ..., и„, ... последовательность ортонормиро. ванных функций. 1) Если )р разлагается в ряд по этим функциям )1>= Х слил, то коэффициенты разложения определяются формулой Сл=(ил, ф) и удовлетворяют равенству 1<арсеваля ~.~с.Р=(ф, ф). 2) Обратно, если числовой ряд 2 1с„)з сходится к числу <)<, л то разложение ~ слил сходится (в смысле среднего квадратич- л ного) к функции ))) с нормой <)<.
3) Если функциональные ряды 2 с ил и ~ <(,и, сходятся со- л л ответственно к )р и <р, то ряд 2 с)„с„сходится к скалярному л произведению <р на ф (<р, ф) = Х с(,с,. л 4) Какой бы ни была квадратично интегрируемая функция ф, ряд Ф=Хи.(и. ф) функциями. Всякая функция из этого множества удовлетворяет соотношениям: (12) э Р рхзложвнив волновои фрикции в Ряд 1ув сходится всегда; разность ф — ф ортогональна ко всем функциям и„, а норма ее равна <ф ф> — (ф, ф), Таким образом, всегда <ф, ф> ) <Ф, ч/>; если реализуется равенство, то ф = ф.
Все эти свойства сохраняются при нумерации функции и несколькими дискретными индексами. Следовательно, они выполняются и для системы (ф~'1). В частности, если система (ф//1) полна, то любая волновая функция Ч' может быть представлейа рядом (! 4) коэффициенты которого равны си — (ф//) Ч/) н удовлетворяют равенству Парсеваля !15) Е ! С('> !2 = <г1/, Ч/>. Р /' (16) Кроме того скалярное произведение двух волновых функций 'Рь Ч", может быть представлено в виде (Чн Ч,)= Х(Чи ф/1)(ф~,/, Ч,). р, Г (17) Если не преследовать целей математической строгости, то уравнения (15) и (16) легко получаются, если подставить (14) в правые части этих уравнений и воспользоваться соотношениями ортонормированности (13).
Равенство (17) получается аналогичным образом. Бросается в глаза аналогия с обычным комплексным векторным пространством. Полная ортонормнроваиная система функций играет роль базисной системы ортогональных друг другу векторов единичной длины. Функция Ч' есть вектор в этом пространстве (с бесконечным числом измерений), коэффициенты (си/, Ч') суть компоненты по направлениям базисных векторов Р (уравнение (15) ), а норма этого вектора равна сумме квадратов модулей составляющих (уравнение (16)).
Скалярное произведение Ч/з на Ч// равно сумме произведений каждой компоненты Ч/з на величину, комплексно сопряжепну/о соответствующей компоненте Ч/ь 176 ГЛ. У. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОП МЕХАННКИ $ 7. Статистическое распределение результатов измерений величины, оператор которой обладает полной системой собственных функций с конечной нормой Возможность представить всякую волновую функцию Ч" разложением типа (14) существенно облегчает изучение всех проблем, кзсающихся оператора А. Предположим, что оператор А обладает полной системой ортонормированных собственных функций (примером может служить гамильтониан гармонического осциллятора, рассмотренный далее в гл.
Х11). Выбор такой системы несомненно не является единственным, всегда можно изменить фззы функций или, например, заменить ортонормированные функции, принадлежащие одному собственному значению, ортонормированными линейными комбинациями этих функций. Однако результаты, которые будут получены ниже, не зависят от конкретного выбора системы. А рг<ог( функция АЧ" не обязана быть квадратично интегрируемой. Однако, согласно (14), АЧ" = ~ с<НА<ра< = ~ а с<а<р<'>.
Р Р Р Р Р Р Р Этот ряд сходится (ф 6, свойства 1) и 2)) в том и только в том случае, если сходится ряд 2 а'!с<"!', и тогда сумма число- Р Р ного ряда равна норме АЧ'. Мы получаем критерий принадлежности АЧГ пространству Гильберта. Аналогичные выводы можно сделать относительно функции АРЧ". В самом общем случае, исходя из функции с(х) и основываясь на разложении (14) при условии его сходимости, можно определить оператор с(А) как функцию оператора А. Его действие на функцию Ч" определяется равенством с (А) Ч" = Х г (а ) С'"~~р~'1. Оператор вполне определен, если данный функциональный ряд сходится, т, е. определен для всех тех функций Ч', для которых сходится числовой ряд Читатель легко проверит, что определенная таким образом функция Р(А)ЧР не зависит от конкретного выбора системы (<р<г<) В частности, оператор с<ЕА, где $ некоторый заданный параметр, определен для всех функций, принадлежащих пространству $1.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Гильберта. Действительно, Цл(р ~л Иа (г) (г( 1 Р, l Р Р причем критерий сходимости функционального ряда сводится к сходимости числового ряда Х, ~ с(ю ~т, что всегда имеет место, Р г если Ч' принадлежит пространству Гильберта.
Теперь мы уже можем определить статистическое распреде- ление величины л(ь для любого динамического состояния физи- ческой системы. Действительно, характеристическая функция 1(й) этого распределения а), знание которой позволяет пол- ностью описать распределение, есть, по определению, среднее значение величины ец" в этом состоянии. Воспользовавшись по- стулатом б) из й 3, мы определим это среднее значение выра- жением (18) (ТАЧг) ( Й) (у пг) (которое всегда имеет смысл, даже если среднее значение А не определено). Пусть теперь Чг есть волновая функция, представляющая рассматриваемое динамическое состояние.
Пользуясь разложениями (!4) и (18), а также выражением (17) для скалярного произведения, находим ) 6) =Хю,е"и, хде интеграл следует понимать в смысле Стильтьеса. е) С точностью до постоянного множителя 1($) является образом Фурье искомого распределения. Пусть Х вЂ” случайная величина, принимающая все значения в интервале ( — ло, +ло), а Р(х) — вероятность обиаружить Х в иитервале (х, х + пх). Тогда характеристическая функция 1(й) статистического распределения втой случайной величииы есть среднее значение ехр ЦХ: + 1 ($) ~ енжР (х) п(х.
Э Если же Х может принимать только некоторые дискретные значения хь ..., х, ... с вероятностями ы(, ..., ы„..., то 1(1) ~ ы„е л В более общей форме: если Р(х) есть вероятность того, что Х ( х, то имеем + 1($) ~ е~чх ((Р (х), 178 ГЛ.Ю ФОРМЛЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МВХЛНИКИ где мы ввели обозначение ~р~р~~ ~ ~(<~рк~ Ч)~ Г 1 Р—,ц~ 1Р) — (1у ч~) Полученное выражение для характеристической функции распределения приводит нас к заключению, что: 1. Величина,яр может принимать только значения аь ам ... ..., ар, ..., т. е. собственные значения сопоставленного ей оператора. 2. Вероятность того, что яр примет значение а„есть го . Нетрудно установить, что ~гор — — 1 (равенство Парсеваля) р н что среднее значение Ф дается выражением (А) = ~ гора р при условии сходимости этого ряда и что в общем случае среднее значение функции 1(А), если оно существует, выражается формулой (1 (А)) = 2 го 1 (а ).
(19) В частности, для того чтобы .Ф с достоверностью принимало какое-либо заданное значение, необходимо и достаточно, чтобы 'Р являлась собственной функцией, принадлежащей этому собственному значению, в согласии с выводами $4. Полученные результаты можно представить в форме, которая делает еще более наглядным тот факт, что они не зависят от выбора системы функций (~р~'~), Действительно, функция Ч', определенная равенством Цà — ~ (р! О ((рю Ч7) очевидно не зависит от этого выбора (см. задачу 4).
Тогда разложение (14) может быть представлено в форме Ч =Х',Чг,, (20) Иначе говоря, можно (и это уже единственным образом) представить Чг в виде суперпознцнн собственных функций оператора А, принадлежащих различным собственным знзчениям. Тогда вероятность гор найти знзчение ар равна отношению норм Ч"р и Ч": (ч'р, ч'р) юр= <т',т) . (21) 5 э. Введение э Функции дпРхкА 179 Раздел Н1.
СТАТИСТИКА ИЗМЕРЕНИЙ В ОБШЕМ СЛУЧАЕ $8. Трудности описания непрерывного спектра. Введение Ь-функции Дирака Все полученные нами результаты теряют свою силу, если система функций (~Р') не является полной. Мы видели, что это «! далеко не исключительный случай. Однако обсуждение в 9 4 указывает на возможный путь расширения области применимости развитой теории. На этом пути мы по-прежнему будем исходить из уравнения на собственные значения (9), не накладывая однако на решения строгого требования принадлежности к пространству Гильберта, Но для этого нам потребуется распространить на решения, не имеющие конечной нормы, понятия ортогональиости и нормировки.
Рассмотрим два примера, относящиеся к одномерным системэм: определение статистических распределений по положению и по импульсу. В этом случае статистические распределения известны, что поможет провести формальное расширение результатов предыдущего параграфа. Координата д может принимать все возможные значения в интервале ( — оо, + оо), причем вероятность найти д в интервале (д',9'+ г(д') равна Р (гг') г)г)' = ) ф (П')!' в19', (22) где ф(д) есть волновая функция (по предположению нормированная на единицу), представляющая динамическое состояние физической системы. С другой стороны, импульс р, представляемый оператором — (э г(/дд, может принимать все возможные значения в интервале ( — оо, + со), и вероятность найти р в интервале (р', р' + г(р') равна П(Р')г( '=~ Р(Р')3'г(Р', (23) где ~Р(р) — подходящим образом нормированный образ Фурье волновой функции ф(п).
В обоих случаях спектр возможных значений рассматриваемых величин является непрерывным. В этом и состоит основное отличие от ситуации, изученной выше, когда мы имели дискретный спектр и возможность представить всякую волновую функцию ф в виде ряда (см. уравнения (14) или (20)), каждый член которого соответствует одному из возможных знэчений из этого спектра. Естественным обобщением на случай непрерывного спектра является представление волновой функции не в форме ряда, а в форме интеграла.
С формальной точки зрения в случае полностью дискретного спектра ход рассуждений был таков. ГЛ. Ч. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОИ МЕХАНИКИ 180 Эрмитов оператор А обладает рядом дискретных собственных значений, которые мы ради простоты будем считать невы- рожденными. Каждому собственному значению ал соответствуег собственная функция ф„(определяемая с точностью до фазы), причем Афл = плфл (ф„, ф„,) = бл„,. (24) (25) Поскольку ортонормированная система (ф,) полна, всякая функция (по предположению нормированная на единицу) может быть представлена рядом ф= Х с„ф„, (26) где, вследствие условий ортонормированности (25), (ф„, ф) = ~ сл, (ф„, ф„,) = сл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
