1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(27) откуда делается вывод, что вероятность того, что А принимает значение а„, равна квадрату модуля коэффициента при ф„ в раз ложении (26), т. е. ~с ~з. Действуя по аналогии, обозначим с помощью и(р', с) собственную функцию оператора р = — 1Ы/Щ принадлежащую собственному значению р'. ич а и' Продолжая формальную аналогию, представим волновую функцию лр(д) в виде интеграла по формуле +ел ф(д) = ~ с(р')и(р', д)Ир'.
Здесь ~с(р') ~з~(р' должно быть вероятностью того, что р находится в интервале (р', р'+ Ыр'). Поэтому необходимо, чтобы ~с(р') ~з = ~ф(р') ~з, т. е. чтобы с(р') было равным ф(р') с точностью до фззового множителя. Поскольку собственная функция сама по себе определяется только с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, можно всегда выбрать его так, чтобы аналог уравнения (26) принял Используя те же соотношения, для характеристической функции находим (ф, ец"ф)= Х с„'с„,е~'"'(ф„, ф„,)= Х !с„~'е'~", (28) о в. ввндниин о онпкции динлкл )в) форму ф (д) = ~ ~р (р') и (р', с)) игр'. (26') Коэффициент оо(р'), принадлежащий собственному значению р', по формуле, обобщающей соотношение (27), должен быть равен (Р(Р')=(и(Р', 9), ф(9)), что при подстаиовке, вместо ф(д), интегрального представления (26') дает .
+ О ф(р')= ~ ф(рл)(и,о и;)г(рн (29) ОО Здесь мы используем сокращенное обозначение и, для функ»' ции, являющейся собственной функцией, принадлежащей собствеииому значению р'. Соотношение (29) должно выполняться для любой волновой функции ~р(р') в пространстве импульсов (едииствеииое огравичеиие иа эту функцию состоит в том, что оиа должна быть квадратичио интегрируемой); это свойство (иво ил„) обобщает соотношение ортоиормироваииости (25). Не существует регулярных функций от р' и р", которые могли бы удовлетворять соотношению (29). Однако, если ие очень заботиться о математической строгостит), можно, следуя Дираку, ввести «сиигуляриую функцию» 6(х), определяемую следующим свойством: ~ ) (х) Ь (х — хо) с(х = о 1 (хо), если хо лежит внутри интервала (а, Ь), (30) О, если хо лежит вие интервала (а, Ь) для всякой функции )(х), непрерывной в точке х = хо.
Уравнение (29) удовлетворяется, если (и „и, ) = Ь (р' — р"), (25') т) Мы уже нарушили требования математической строгости, когда написали уравнение (29), Правильная форма уравнения имеет вид ф(р') =(и ., ~ ф(р") нр Йр"). Чтобы получить отсюда уравнение (29), следует поменять порядок интегрирования внутри скалярного произведения н интегрирования по р". Эта операция, конечно, не является математически строгой, так как скалярное произведение (и ь и .) расходится авз ГЛ.
У. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ что и является обобщением соотношений ортонормированпости (25) на случай непрерывного спектра. Можно представлять себе «функцию Дирака» 6 наглядно как предел функции, равной нулю всюду, кроме маленького интервала около точки х = О, где она имеет очень узкий и очень высокий максимум, причем тако1, что интеграл от функции по всей числовой оси равен !.
В пределе, когда ширина максимума стремится к нулю, получим 6(х)=~ ' ' и ~ 6(х) г(х= !. (3!) + со, если х=О Конечно, 6(х) не является функцией в обычном смысле, так как интеграл, если он существует, от функции, равной нулю всюду, кроме одной точки, должен бысть равен нулю. Мы це будем здесь обсуждать проблему математического обоснования использования 6-функции Дирака, Оно потребовало бы введения совершенно нового понятия обобщенных функций, причем обычные функции (точнее, локально интегрируемые функции) должны рассматриваться как частный случай обобщенных.
В математике говорят не о функции 6(х — хр), а об обобщенной функции 6, [!), определяемой как функционал от функции )(х), равный ((хр). Другими словами, Определение (30) должно быть заменено соотношением В виду того, что понятие обобщенной функции является новым и возможно незнакомым читателю, мы будем им пользоваться как можно реже и применять (некорректное) обозначение' 6(х — хр), которое, впрочем, имеет неоспоримые формальные преимушества. Основные правила вычислений с 6-функцией Дирака приведены в Дополнении А, где можно найти также общие сведения из теории обобщенных функций. Вернемся к проблеме измерения р.
Собственной функцией .а(р',О) уравнения (24) является функция се'РММ. Соотношение Ортонормированности (25) выполняется при с =(2НЬ)-чк таким Азбразом, имеем и(р'; л) = еюрчял ,Далее, используя уравнение (А.22), находим ча , <р"-рч р (и „и „) = — „~ е " йг!=-6(р' — р"). 6 а ввндннин з-оннкции динлкл (аз Собственные функции ию образуют полную систему, так как всякая квадратично интегрируемая функция тр(д) может быть представлена в форме з р'чы ф())= ~ ф(р) —,—,„с(р', т.
е. в виде интеграла Фурье. Коэффициент ф(р') этого «разложения по собственным функциям» равен скалярному произведению (и „ тр). Действительно, + ч + (,, ч! — (,; ( т(т! „зз") — ( т(т")(,„~)зе"= = ~ а(рм)б(р' — р")с(р«=Ч(р'). Итак, используя обобшеиные соотношения ортонормироваиности, мы получили известное свойство взаимности преобразования Фурье. Продолжая аналогию со случаем дискретного спектра, введем оператор е'тл.
Имеем е'!пи(р', и) =е!!ми(р', д), следовательно, ез(яф(д) = ~ ср(р') е!(ми (р', д)др', ч откуда получаем характеристическую функцию )(9)=(ф, ез(яф)= ~ !р" (р")с(рм ~ е!(а'тр(р')с(р'(и „, и,)= Ф щ'(ра)г(рм ~ еилф(р ) т(р'Ь(р' — р")= ~ (ср(р)(те!ел'др' Соответствуюшее статистическое распределение (см. сноскуа)у и есть искомое распределение (23).
Обсуждение измерения координаты может быть проведено по той же. схеме. Собственной функцией, принадлежащей собственному значению л' уравнения на собственные значения оператора д с правильной нормировкой, является б(Е' — Е). Действительно по уравнению (Ад9) еб (е' — ч) - ч'б (е' — ч) гл. п.оопмалнзм волновои механики 184 Совокупность функций б(Ч' — О), где о' молсет принимать все возможные значения от — са до )-со, образует ортонормироваиную систему, так как (см.
уравнение (А.2!)) + Ь (д — о') б (с — и") с(а = б (о' — о"), и эта система является полной, ибо всякая волновая функция ф(д) может быть представлена в интегральной форме + Ф(с) = ~ ф(с )й(ч' — а)бс (32) Легко проверить, что коэффициент ф(о') равен скалярному произведению (б(о' — с),ф(д)) . Аналогично находим, что квадрат модуля этого коэффициента„ т. е. )9(д'))т, действительно равен плотности вероятности того, что д = о' в согласии с уравнением (22). $9. Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие замкнутости Вернемся вновь к уравнению (9) на собственные значения Аф=аф. Здесь мы уже не будем предполагать, что собственные решения уравнения имеют ограниченную норму. Потребуем только, чтобы скалярные произведения этих решений на произвольную волновую функцию (т. е.
на любую функцию с ограниченной нормой) были ограничены. В самом общем случае множество собственных значений задачи может содержать: )'. Дискретный спектр значений а„, которые образуют либо конечное множество, либо бесконечное, но счетное множество и могут быть перенумерованы дискретным целым индексом и. 2'. Непрерывный спектр значений а(т), которые нумеруются непрерывным индексом т, изменяющимся в некоторой области. Собственные функции дискретного спектра имеют конечную норму. Все свойства дискретного спектра были изучены в 9 5, и мы ие будем к этому возвращаться. Пусть ф(т; д1, ..., дл) — собственная функция непрерывного спектра, принадлежащая собственному значению а(т). Это непрерывная функция параметра т, норма которой, очевидно, не- ограничена («вектор бесконечной длины» в функциональном пространстве).
Однако будем предполагать, что собственный дифференциал 3 9. УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ 188 является функцией с ограниченной нормой, которая стремится к некоторой постоянной, когда бу стремится к нулю. Мы знаем, что собственные функции непрерывного спектра гамильтониана физической системы в одном измерении обладают этим свойством (ср. гл. !!1); нетрудно проверить, что собственные функ. ции операторов д и — 18 с(/Нд предшествующего параграфа также обладают этим свойством. Часто говорят, что функция нормируема, если она обладает ограниченной нормой. Мы будем применять этот термин также и к функциям с бесконечной нормой, если собственный дифференциал, образованный из этих функций, имеет конечную норму.
Таким образом, собственные функции непрерывного спектра нормируемы (в указанном смысле), хотя они и ие принадлежат пространству Гильберта. Пользуясь соотношением (8) (которое имеет смысл только для квадратично интегрируемых Ф и Ч'), но применяя его не к собственным функциям как таковым, а к собственным дифференциалам, можно получить основные свойства непрерывного спектра и сопоставить их тем, которые были получены в $5 для дискретного спектра; 1'. Всякое собственное значение а(у) вещественно. 2'.
Две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональпы друг другу. Это свойство ортогональности должно быть обобщением соотношения (П1. 42'). Неверно было бы писать (ф„ф,) =о, так как скалярное произведение (ф„ф,'), вообще говоря, расходится. Однако имеем я+ьч' (ю„— „', ( ь.~,")=О, м если у находится вне интервала (у', у'+ пу'). Доказательство не трудно, и мы предоставляем его читателю. Если собственные значения непрерывного спектра невырождены, всегда можно нормировать функции так, чтобы (ф,, ф,,) =б(У вЂ” У'). Случай вырожденных собственных значений также не представляет существенных трудностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
