1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В действительности эта вероятность не интересна, поскольку спектр значений координаты непрерывен. Иам важно знать вероят- ность Р(д')Ьд', найти частицу в интервале (д',д' + Ьд'), т. е. Р(д') Ьа'= ~ 'ч'"+ д" ч(ф(пч)(*, где суммирование распространено на все те и, при которых пч ааходится в интервале (д',д'+Ьд'). Поскольку Ьд' является малой постоянной, члены этой суммы числом Ьд'/Ч все примерно равны ч(ф(д') ('. Следовательно, в пределе Ч вЂ” 0 имеем Р (д') Ьд' =1 ф (д')!' Ьд'. Заметим, что разложение (45) может быть записано еще и в виде + ф"- ~~~, ф(пч) —" ° ч=~~~ Ч (д')Р~(д') ч ~lч ' ГЛ.
Ч, ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ где сумма по О' обозначает суммирование по дискретной последовательности значений О' = пч, а , если д — Ч( Ч ~~ Ч. в противном случае. При Ч -э-О данный ряд переходит в интеграл от произведения ф(д') на предел фупкнип п„(О'), но этот предел как раз равен б(д' — д). Мы приходим, следовательно, к формуле (32). Аналогичный подход в случае измерения импульса состоит в том, что мы первоначально ограничиваем область изменения координаты д интервалом ( — Е/2, +Е/2), где Е на завершающем этапе рассуждений будем стремить к бесконечности.
Для того чтобы оператор р = — (й с(/с(д был эрмитовым в этой конечной области, следует наложить на функции ф(д) из функционального пространства, где действует оператор, некоторые граничные условия. Условие эрмитовости записывается в виде + Е/2 +Д)2 ,д пф г ал * д „+ы Ф;,~ г(ч ') ( —; ~„) ф г(г/— = —,.
ф*ф~ =О -Ы2 -Цз для любых функций ез(у) и зр(д), т. е. ф (Е/2) Ф* (- Е/2) равно постоянной, не зависящей от ф и аз. Другими словами, требуется, чтобы для всякой функции чр (и) ф (Ц2) = е'"ф ( — Ц2), где еаа — некоторый фиксированный фазовый множитель. Условимся принимать его равным единице, что дает условие периодичности ф(Ц2) = ф( — Ц2). В этих условиях задача о собственных значениях оператора †(йп/с(д решается без труда. Спектр собственных значений оказывается дискретным: р„= Е л (и=О, ~1, ~-2, ..., ~ос).
2нл Собственному значению р„соответствует нормированная на единицу собственная функция ' 1 — „Р„Ч и„==е" ". „/Г Функции и взаимно ортогональны, кроме того, они образуют полную систему, так как согласно теории рядов Фурье всякая а!2.
КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕРЫ вз квадратично интегрируемая функция ср(д) в интервале ( — Е/2, +Ц2) может быть представлена в виде ряда +и ф (Ч) = х' с„и„; (46) при этом +ыг С =(и ф(д))= . ~ Е Аиисф( )( тй. -Ы2 Мы можем, следовательно, применить теорию Ц 5, б и находим, что вероятность найти р = р„равна (с,~г. В пределе ь-Рос промежуток е = 2ИЛ(Е, разделяющий соседние собственные значения, стремится к нулю, и спектр собственных значений импульса р„= пе становится непрерывным.
Исследование перехода к пределу проводится совершенно аналогично тому, как это было сделано для 27. При е-РО, при условии, что р' = пе остается постоянным, е '~*с„стремится к образу Фурье чг(р')== ~ е " ф(с7)Щ ~/2~й Мы оставляем читателю возможность самому найти после предельного перехода статистическое распределение результатов измерения импульса н показать, что представление ф(д) в виде ряда Фурье (4б) переходит в интегральное представление Фурье + ф(с))= ~ ср(р')и(р', с7)сгр', сс где и(р', с7) есть предельная форма е-ии, т.
е. —,, Р'2 (р. ~) — „— „„. 5 12. Комментарии и примеры Мы показали, что статистическое распределение результатов измерения динамической переменной полностью определяется заданием волновой функции физической системы. Этот результат был получен в самом общем виде. Каждой динамиче. ской переменной сопоставляется наблюдаемая А, т. е. эрмитоа (самосопряженный) оператор, обладающий полной ортонормированной системой собственных функций. Отправляясь от есте* ственного и формально очень простого постулата, касающегося 7 А, Миссии 194 ГЛ. У.ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МБХАИИКИ средних значений, мы показали, что единственно возможными результатами измерений являются собственные значения наблюдаемой А, а искомый закон распределения вероятностей непосредственно выражается через квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям.
Среди наиболее часто встречающихся динамических переменных, помимо пространственных координат и импульса, следует упомянуть энергию, представляемую гамильтонианом Шредингера, и момент импульса. Спектр энергии может быть в зависимости от физической ситуации дискретным (см. $ П1. 5), непрерывным (см. $ П1. 3) нли смешанным (см. $ П1.
6). Проблема собственных значений гамильтониана Н имеет важное значение в квантовой теории не только в связи с определением энергии, но и потому, что она играет определяющую роль при решении уравнения Шредингера. Если Н не зависит от времени, а это единственный случай, когда понятие энергии имеет действительный смысл, волновая функция Ч'(1) в момент времени 1 получается из волновой функции Ч'((о) в начальный момент 1о с помощью преобразования Ч' (1) = е " Ч"(1о).
Мы можем вычислить выражение в правой части равенства, используя разложение Чг ( (о ) в ряде по собственным функциям Н (частный случай уравнения (41) ); нетрудно установить, что ! л! Ч!(1) = — э Нг " Ч'(1о) = — — ', НЧ!(1) т. е. что Ч'(1) удовлетворяет уравнению Шредингера, а также начальному условию при 1 = 1,.
Предположим, в целях упрощения записи, что спектр Н является полностью дискретным и невырожденным; пусть Е„(л = = 1, 2, ...) собственные значения оператора Н, а ф„ — собственные функции, принадлежащие Е„. Разложение Ч'(1о) запишется в виде Ч'(1о)= Х с„ф„, с =(фо Ч" (1а)) Тогда функция АР(1) представляется рядом Ч'(~) = ~„с„е ' ф„.
(47) Заметим, что модуль коэффициента при ф, в этом разложении ие зависит от й Отсюда получается важное свойство: статисти- З и ппглльныг изчгпгния 195 ческое распределение энергии физической системы (гамильтоииаи которой ие зависит от времеви) постоянно во времени. Момент импдльса частицы в классической механике выражается вектором [гр]. В квантовой теории ему сопоставляется векторный оператор (48) 1 ° ф (г, О, ф) = г (г, О) е " где г" (г, О) — некоторая функция г и О.
Чтобы собственная функция была однозначной, необходимо, чтобы оиа была периодичиой по Ф с периодом 2п, т. е. 1,' = тй (т — целое). (50) Следовательно, спектр собственных значений компоненты момента импульса частицы является полностью дискретным. Этот результат без труда распространяется иа компоненту полного момента импульса системы частиц в согласии с эксперимеитальиыми даииыми по пространственному квантованию. Раздел 1У.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ $ 13. Операция измерения и редукция волиового пакета. Идеальные измерения Статистические распределения, полученные в предшествующих разделах, могут быть подвергнуты непосредственной эксперимеитальиой проверке. Так, распределение, сопоставляемое иекоторой динамической переменной лй, есть распределение результатов, полученных при измерении Ф иа очень большом числе Л' тождественных систем, независимых друг от друга и находящихся в момент измерения в одном и том же динами- 1 = — — 1й [г7], Выпишем явно одну из его компоиеит д д х 1 = — 1Й(х — — д — ~. ду дх(' Выберем Ог в качестве полярной оси и обозначим через (г, О, Ф) сферические координаты частицы; нетрудно проверить, что д/снр = хд~дд — дд/дх.
Следовательио, 1, = — 1й —. д (49) в~у ' Задача нахождения собственных значений упрощается, если искать волиовуюфуикцию в сферических координатах: 1 Яг, О, <р) = — 1 — ЕГ(г, О, <р) = 1'ф(г, О, Ф). Тогда иаходим ГЛ У ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОИ МЕХАНИКИ ческом состоянии.
Каждая система в этот момент времени 'о) представляется одной и той же функцией Ч' (определяемой с точностью до постоянного множителя), которой соответствует вполне определенное теоретическое распределение. Это распределение можно сравнить с экспериментальным. Для полноты физического истолкования теории остается уточнить: 1) каким образом предшествующие измерения системы поз.
воляют установить ее динамическое состояние и, в частности, как убедиться в том, что все А' систем, упомянутые выше, действительно находятся в динамическом состоянии, представляемом Ч', 2) что происходит с каждой из систем ансамбля после осуществления измерения. Эти два вопроса тесно связаны между собой. Рассмотрим сначала второй из них. После окончания измерениям) система может вновь рассматриваться как независимый объект, полностью отделенный от измерительного прибора, вновь становится возможным описание физической системы с помощью ее волновой функции. Волновая функция системы после измерения несомненно отличается от той волновой функции, которая описывала систему в момент времени непосредственно перед измерением, кроме, может быть, того случая, когда волновая функция перед измерением была собственной функцией наблюдаемой А, сопоставленной измеряемой физической величине. Это (не каузальное) изменение волновой функции при осуществлении измерения часто называют редукцией волнового пакета.
Мы знаем, что некаузальное изменение волновой функции возникает вследствие неконтролируемого возмущения эволюции системы при взаимодействии с измерительным прибором, причем основной эффект возмущения состоит в том, что значение переменной, дополнительной к измеряемой переменной, становится тем менее определенным, чем точнее было проведено из« мерение. Важно отличать это неконтролируемое возмущение от всех других модификаций физической системы в процессе измерения, которгне в принципе могут быть точно вычислены. Часто бывает, например, что сама измеряемая величина изменяется в про- 'е) Момент времени, о котором идеть речь, это момент начала измерения.
Как только измерение началось, система находится во взаимодействии с измерительным прибором н описание ее эволюции с помопСью только волновой функции системы становится невозможным. и) Детальное исследование самого механизма измерения находится вне рамок данной книги. См, в этой связи литературу, цитируемую в гл. Гч', сноска 'а. $13. ИДЕАЛЬНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ !97 цессе измерения. Примером такой ситуации могут служить два способа измерения импульса, которые были разобраны в гл. 1Ч. Модификация измеряемой величины зависит, конечно, от устройства используемого измерительного прибора. Так, при измерении импульса при комптоновском рассеянии, рассмотренном па стр. 148, разность р' — р тем меньше, чем меньше частота ч фотона, и стремится к нулю при ч-»О. Нельзя поэтому дать общего рецепта, касающегося модификации динамического состояния системы в процессе измерения, ибо эта модификация зависит каждый раз от конкретных условий опыта.
Однако можно представить себе идеальные условия опыта, при которых все упомянутые выше контролируемые модификации строго компенсированы и проявляются только неконтролируемые модификации, характерные для квантовых явлений. Мы примем, что такие идеальные измерения действительно еозможиы или что их можно рассматривать как идеальные предельные случаи реальных измерений (например, измерения положения частицы в пределе бесконечно малой длительности измерения, обсуждавшиеся в гл.
1Ч, или измерения импульса при рассеянии Комптона, когда Р-э.0). Рассмотрим теперь идеальное измерение величины,Ф и предположим сначала, что найденное в результате измерения значение а; есть невырожденное собственное значение. Согласио предположению мы достоверно знаем, что по окончании измерения ЗФ = аь т. е. что волновая функция системы (с точностью до произвольной постоянной) ф — собствеииая функция, принадлежащая собственному значению аь Произвольная постоянная не имеет никакого физического смысла, ибо какими бы ии были предшествующие наблюдения системы, статистическое распределение результатов этих наблюдений не зависит от выбора постоянной. Таким образом, волновая функция системы после измерения точно известна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
