1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Два других коммутатора могут быть получены циклической перестановкой. Получаем [(ы (у[ 8'«1« [1у 1«[ тй(ы [1« 1ы[ 8~1у (60) Три компоненты момента импульса частицы не коммутируют друг с другом. Не существует полной ортонормированной системы собственных функций, общей для какой-нибудь пары компонент. Другими словами, две компоненты момента импульса в общем случае'з) не могут быть одновременно точно определены. Заметим, с другой стороны, что (правило (65)) [1., Я = 1й (1„1. + 1,1„); [ 1„ 1-„"[ = — 15 (1„1„ + 1„1,); Г1„1Д = О. 208 ГЛ.Ч.
ФОРМАЛИЗМ ВОЛИОВОИ МБХАИИКИ 9 19. Изменение статистического распределения во времени. Интегралы движения Запишем уравнение Шредингера вместе с комплексно сопряженным уравнением: И вЂ” = НАР, И вЂ” = — <НАР)". дЧ~ дч~* д1 ' дР Если Ч' нормирована на единицу в начальный момент времени, она остается нормированной и в последующие моменты времени, Среднее значение наблюдаемой А в каждый момент времени выражается скалярным произведением (А)=(Ч', АЧ")= ~ Ч'АЧ'йт. <72) <С, Н]=0, и от времени явно не зависящей, получаем результат — (С) =О, д дГ т. е. среднее значение наблюдаемой С остается постоянным во времени. Но если наблюдаемая С коммутнрует с гамильто- нианом Н, то функция ецс также коммутнрует с Н и поэтому (ецс) — 0 д При этом у~(А)=( зР, ЛЧ)+(Ч, А дг)+(Ч, д~ Чу Последний член в правой части (дА/дт) равен нулю, если А не зависит явно от времени.
Используя уравнение Шредингера, а также свойство эрмитовости гамильтониана, получаем — (А) = — —. (Н1Р, АЧ') + —, (Ч', АНЧ') + ( — ) = = —.,' (Ч, <А, Н)Ч)+(ф. Отсюда следует общее уравнение, определяющее изменение во времени среднего значения А: й — „", <А>=([А, Н1>+ Иф). Заменяя Л оператором ецл, получаем аналогичное уравнение для изменения во времени характеристической функции статистического распределения для А. В частности, для всякой наблюдаемой С, коммутирующей с гамильтонианом, % 20. энвггия. четность т. е.
характеристическая функция, а, следовательно, и статисти. ческое распределение наблюдаемой С остаются постояннымн во времени. По аналогии с классической аналитической механикой наблюдаемая С называется постоянной движения (или интегралом движения). В частности, если в начальный момент времени волновая функция была собственной функцией С, принадлежащей данному собственному значению с, то это свойство сохраняется во времени. Тогда говорят, что с является «хорошнм квантовым числом», Если, в частности, Н от времени явно не зависит и если динамическое состояние системы в момент времени 1а представляется собственной функцией, общей для операторов Н и С, то волновая функция остается постоянной во времени с точностью до фазового множителя; энергия и динамическая переменная С остаются вполне определенными и постоянными во времени. 5 20.
Примеры интегралов движения. Энергия. Четность Существует наблюдаемая, всегда коммутирующая с гамильтонианом — это сам гамильтониан. Поэтому энергия является постоянной движения для всех физических систем, гамильтониан которых от времени явно не зависит. Этот результат уже был доказан в 5 12. В качестве другой возможной постоянной движения укажем четность (ср.
с $ П1. 14). Четностью называется наблюдаемая Р, определяемая равенством Рф (Ч) = ф ( — ~) Нетрудно проверить, что Р— эрмитов оператор. Кроме того, Р'=1 и, следовательно, единственно возможными собственмыми значениями Р являются +1 и — 1; значению +1 соответствуют четные функции, а значению — 1 — функции нечетные, Если гамильтониан инвариантен относительно замены +и на — д, то (Р, Н] =О, Действительно, если Н( — И вЂ” „", д)=Н(И вЂ” „", — д), то для любой функции ф(д): РНф= Н(юй —, — д)ф( — п)=Н ( — 1й —, д) ф( — п)=НРф. При этих условиях, если волновая функция имела некоторую четность в заданный начальный момент времени, то она будет сохранять эту четность и в дальнейшем. 2(0 гл. ч.еогмллизм волновои меххники Это свойство без труда может быть распространено на системы многих частиц, когда операция четности соответствует инверсии пространства (гг — — г,), а наблюдаемая четности определяется равенством РЧг(гь «,„...) =Ч'( — г„— г,, ...), ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ а « - ч-- - ш-б к~, ч~ ч~~~, атч, ъ~.
только на свойствах а), б), в) скалярного произведения (4 2). (Достаточно учесть тот факт, что норма некоторой линейной комбинации д и ф по определению положительна или равна нулю.) Показать, что равенство выполняется тогда и толька тогда, когда функции ф и ф пропорциональны друг другу. 2. Рассматривается задача на собственные значения оператора р = = — йт Л/г(д, действующего на функции ф(Ч), определенные на интервале ( — са, +ос).
Проверить, что спектр оказывается непрерывным и собственные функции имеют бесконечную норму. Показать, что с помощью суперпозиции собственных функций, принадлежащих близким собственным значениям, можно построить функции с конечной аормой (собственные дифференциалы), для которых квадратичное отклонение Лр может быть сделано сколь угодно малым. Исследовать тот же вопрос для оператора «з нэ 2т 2ш с(пз ' 3.
Рассматривается оператор д, действующий иа функции ф(д) с конечной нормой на интервале ( — со, +со). а) Образовать последовательность непрерывных функций, зависящих от параметра кн таких, что их норма и среднее значение (д) остаются ие зависящими от Ч, а квадратичное отклонение Лд СтрЕМИтСя К НУЛЮ Прн и -ь 0 (СущсетауЕт МИОГО ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЕй ЭТОГО типа).
Убедиться, что эта последовательность ие сходится н функции, принадлежащей пространству Гильберта. б) Образовать аналогичным образом последовательность собственных дифференциалов (зто функции с конечной нормой, ио они не являются непрерывными), зависящую от параметра бф путем суперпозиции собственных «функций» 6(д — дч), соответствующих собственным значениям, расположенным в интервале бд, и проверить, что квадратичное отклонение Лд по отношению к этим собственным дифференциалам обладает тем же свойством. 4.
Проверить, что статистичесное распределение измерений некоторой данной величины определяется единственным образом, несмотря иа большой произвол в выборе полной ортоиормированиой системы собственных функций оператора, представляющего зту физическую величину (произвол в выборе фаз собственных функций, произвол в выборе собственных функций вырожденного собственного значения, произвол в нормировке функций непрерывного спектра). 5. Каким образом распространить уравнения (20) и (21) этой главы на случай непрерывного спектра? злдячм и игтважмш~ия 211 6. В полярных координатах (б О, ф) компонента 1, момента импульса частицы имеет вид — бб дгдйх Это наводит иа ыысль, что 1, и Ф образуют пару дополнительных переменных.
Однако, соотношение неопределенности М, Л~~ " й не имеет смысла. Объяснить почему. Показать, что когда Ы = О, угол ~р полностью неопределен. Разложить в ряд по собственным функпиям 1, волновой пакет + е-о се — всьзчяр Сравнить неопределенность по ф и неопределенность по 1, на этом примере и обсудить характер дополнительности указанных двух переменных.
ГЛАВА тг1 КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИ БЛ ИЖЕН И Е И МЕТОД ВКБ Раздел !. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ В 1. Общие соображения При переходе к пределу й- О законы квантовой механики должны переходить в законы механики классической. Принцип соответствия, игравший столь значительнуго роль при построснии новой теории, и был призван обеспечить выполнение этого основного условия. Классическая механика, следовательно, должна хорошо описывать физические явления во всех случаях, когда величиной кванта действия можно пренебречь.
Предметом данной главы является выяснение вопроса о том, при каких условиях и в какой мере это классическое приближение оказывается справедливым. Одним из проявлений конечной величины кванта действии является существование дискретного спектра собственных значений для некоторых наблюдаемых; интервалы между соседними собственными значениями оказываются порядка Ь '). Классическое приближение будет справедливым, если можно пренебречь величиной этих интервалов, что имеет место в случае достаточно больших квантовых чисел. Это условие, основанное на принципе соответствия, было использовано уже в старой квантовой теории при вычислении постоянной Ридберга и выводе правил квантования Бора — Зоммсрфельда (см.
$ 1.13 и $ 1.15). Однако указанное условие несомненно не является достаточным: некоторые чисто квантовые эффекты, та« кне, например, как соотношения неопределенности, никак не связаны с дискретной природой спектров. С более общей точки / гт хт шсэ ') Так, в атоме водорода Е = — — ( — ') —, ЕЕ= Š— Е 2 !,Ьс) и' ' "+! 2п+ ! — Е . При Е-мо расстояние от заданного уровня энергии Е = Е до (и ! !)3 л' 'и 2и+ 1 ближайшего соседнего оказывается равным ! з Е; при этом предельном (и+ !)з переходе итвз = сопз! к, следовательно, и -э оо как Ь ', поэтому АЕ -о( — ')+о(э), $ Ь ОБШИЕ СООБРАЖЕНИЯ зрения условия применимости классического приближения совпадают с условиями применимости геометрической оптики. Классическое приближение может быть сформулировано двумя различными способами.
Первый способ, интуитивно наиболее ясный, основан на приближенном описании динамического состояния каждой частицы в любой момент времени заданием ее положения и скорости. Если бы постоянная Ь была равна нулю, то это описание было бы вполне строгим, так как компоненты векторов положения и импульса частицы представлялись бы попарно коммутирующими наблюдаемыми. В действительности коммутаторы отличны от нуля [дь р~]=йбпч что ограничивает точность такого описания, ибо соотношения неопределенности делают невозможным одновременное определение координаты и импульса частицы.
Поскольку динамическое состояние системы представляется волновой функцией, самое лучшее, что можно сделать на этом пути — это построить минимизирующий волновой пакет, для которого Лд; Лр; = Ь/2. В классическом приближении мы приписываем каждой частице координату и импульс, равные средним значениям этих величин в соответствующем квантовом состоянии, полностью пренебрегая всеми флуктуациями около средних значений. Для получения удовлетворительных результатов необходимо: а) чтобы указанные средние значения в хорошем приближении следовали классическим законам движения; б) чтобы пространственная протяженность волнового пакета была мала по сравнению с характерной длиной рассматриваемой задачи и оставалась таковой с течением времени. Этот подход станет предметом обсуждения двух последующих параграфов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
