1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ограничимся формулировкой результатов. Каждому собственному значению принадлежит в зависимости от характера вырождения либо конечное, либо бесконечное (счетное или континуальное) множество линейно независимых собственных функций. Эти функции можно снаб- Гл. Ч,ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОИ МЕХАНИКИ дить либо индексом, принимающим конечное число значений, либо одним или несколькими индексами, принимающими бесконечное число дискретных значений, либо одним или несколькими индексами, изменяющимися непрерывно, либо даже некоторым числом дискретных индексов и некоторым числом непрерывных. Предположим для определенности, что необходимо использовать один дискретный индекс г и один индекс р, меняющийся непрерывно. Всегда можно сделать так, чтобы собственные функции лрья(ч,р) были ортонормированными в обобщенном смысле: «р<'(ч, р), ~р~"ч(ч', р'))=Ь.нб(р — р') 6(ч — ч ). (33) Вудучи присеединены к ортонормированным собственным функциям дискретного спектра у~о, они вместе образуют ортонормированную систему собственных функций эрмитового опера-тора А; всякая собственная функция оператора А может быть представлена как линейная комбинация функций этой системы.
Предположим, что некоторая волновая функция Ч" предста- вима в виде ряда по этим функциям, т. е. Ч'=~~' с<'ирвин+' ~ уел(ч, р)<ри~(ч, р)дч йр. (34) л,г 'Коэффициенты при каждой функции в этом разложении получаются при умножении (скалярном) обеих частей равенства слева на соответствующую собственную функцию; учитывая соотношения ортонормированности, получаем си~ = (<р<„'>, Ч'), у"'( р) =«рел(, р), Ч').
(35а) (356) <Ч' Ч')=~~с'„'~'+~ ~1уи>(ч р)('йчйр. (36) Если такое представление возможно для всех волновых функций (т. е. для всех квадратично интегрируемых функций), то говорят, что система (~р) является полной Ортонормированной системой функций. Существует простой способ выразить тот факт, что ортонормированная система является полной: следует записать разложение (34) для функции Ж й~) б Ь чз) б (чя ча) С помощью тех же соотношений получаем обобщенное равенство Парсеваля % В УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ 187 Коэффициенты такого разложения получатся, если в выражениях (Зб) — (36) вместо функции Ч'(д)= Ч'(д),уь дк) подставить 8(д — о').
Тогда получается так называемое соотношение замкнутости = ~~', ф,',п)()1)ф)о(д)+ ~~' ~ ф"'(У, р; д'))рел(У, р; д) )Ь)(р. (37) л, l Присоединяя его к соотношениям ортонормированности: (ф)О ф)~')) — б б (ф~„'), фел)(у, р))=0, (фп)(у, р), фо')(у', р'))=б,нб(р — р') б( — у'), (38а) (38б) (38 в). получаем совокупность условий, необходимых и достаточных для того, чтобы система (ф) была ортонормированной и полной. Разложение (34) с правильными значениями коэффициентов. (35) получается, если записать Ч) (д) = ~ б (д — у') Ж (у') с(т, (39) а затем вместо б-функции подставить разложение (37).
Заметим, что полная ортонормированная система, если она существует, не является единственной. Действительно, можно. как и в случае полностью дискретного спектра: !'. Произвольно изменять фазу каждой из собственных. функций. 2'. Выбирать бесконечным числом различных способов совокупность ортонормированных функций, принадлежащих одному вырожденному собственному значению. 3'. Кроме того, существует произвол в нормировке собственных функций непрерывного спектра. Действительно можно заменить каждый непрерывный индекс у на индекс р =— ))(у), где )А(у) есть произвольная непрерывная дифференцируемая монотонная функция У.
Условие нормировки (38в) при этом заменяется аналогичным условием, в которое входит индекс и; оно будет удовлетворено, если в качестве новой. собственной функции взять функцию — 'ь ч")()А р) )))=~+! фсо( р' у). 188 ГЛ.Щ ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ й 10. Статистическое распределение результатов измерения в общем случае Предположим, что А — наблюдаемая. Ввиду того, что разложение (34) существует для любой квадратично интегрируемой функции Ч", можно (при условии сходимости) определить действие на функцию Ч' оператора вида г(А), Для сокращения обозначений будем предполагать, что спектр А не имеет вырождения. Тогда Ч' = ~ саар„+ ~ у (т) гр (т) г(т.
л (40) Можно показать, что необходимым и достаточным условием сходимости разложения в правой части является сходнмость ряда ~~~ ) с„)' и интеграла ~ ) у(т)!ага. л В общем случае г (А) Ч' = ~ с„г' (а„) ф„+ ~ у (т) г (а,) гр (т) с(т; л ') Рассмотрим оператор !тгг(х, действующий на квадратичио интегрируемые функции ф(х), определенные ва полуоси (О, г со). Этот оператор эрмитов, если его применять к функциям, обращающимся в нуль при х = О.
Действительно, при этом условии имеем тем не менее, оператор не имеет собственных функций, Единственно воэмож- ными собствеивыми функциями являются функции вида е™ (й — собствен- ное Значение), но эти функции не обращаются в нуль при х = О. Не все эрмитовы операторы обладают полной ортонормированной системой собственных функцийэ). Однако эрмитовы операторы, представляющие физические величины, такой системой обладают: по этой причине мы будем называть такие операторы наблюдаемыми.
Доказательство того факта, что некоторый эрмнтов оператор есть наблюдаемая, является обычно сложной математической задачей. Она была решена в ряде случаев для таких операторов как операторы положения и импульса, гамильтониан системы в одном измерении, оператор момента импульса и т. д. Это свойство столь тесно связано с фи. зической интерпретацией указанных операторов„что в случае его невыполнения потребовалась бы ревизия основ формализма теории.
Мы будем предполагать, что оно всегда выполняется. % иь овшии случАи 189 это определение имеет смысл, если ~',1с (У(Р(ал)!' и ~1у(у)Р1Р(ал))згЬ ЕЦ Ч = ~~ Слэ "ЧРл + ~ У (У) Е ~'ЧР (Ч) СЬ л (41) сходится всегда. Чтобы определить характеристическую функцию распределения А, применим соотношение (ч", ечдч) =~~ 1 с„~зец"' + ~)у(у) ~лец" иу, л полученное при использовании разложений (40)и (41) и условий ортонормированности. Характеристическая функция 1($) принимает форму (,~ цлч~) 1(9)= ' ) =~ ш„вт' + ~в(у)ец" Иу, (Чг зр) л где ~ лл)л ~ т(у) (л ~л (~р ъу) Ы (У) (~р у) (42) Из вида характеристической функции (сноска л) следует, что: 1'. единственными значениями, которые может принимать величина Ф, являются собственные значения сопоставленного этой величине оператора А; 2'.
вероятность того, что'лЗ принимает значение а„, равна юл; 3'. вероятность того, что .Ф принимает значение из непрерывного спектра, заключенное в интервале [а(у), а(у+ с(у)], равна ы(у) й~. Сумма всех этих вероятностей ~~ в„+ ~ в(у) дт равна единице (равенство Парсеваля). Находим также, что среднее значение А, если оно сушествует, выражается формулой (Ч'. АЧ')/(Ч", Ч') в согласии с основным постулатом. В случае вырожденного спектра получаются те же результаты, но следует несколько изменить определение величин ш„ и а(У). Так, при замене разложения (40) на разложение (34), сходятся.
В частности, действие оператора ечл всегда опре- делено, так как выражение ГЛ.Ц ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОН МЕХАНИКИ шо ыы должны Взять Х~ м'Г г (ч, ч) ~ лр)укг(, р)(' ю( )= (43) $ 11. Другие методы исследования непрерывного спектра Большим преимуществом развитого выше подхода к проблеме непрерывного спектра является его формальная простота. Это преимущество компенсирует недостаток математической строгости, возникающий при использовании Ь-функции. Впрочем, все операции, производимые с Ь-функцией, могут быть строго обоснованы на основе теории обобщенных функций (см. Дополнение А). Тем не менее, следует иметь в виду, что трудности, возникающие при трактовке непрерывного спектра собственных зиа.
чений, могут быть преодолены и на основе классических математических приемов. Вместо того, чтобы основываться на проблеме собственных значений и вводить там, где это необходимо, собственные функции, не принадлежащие пространству Гиль- берта, можно, следуя Нейману, рассматривать задачу строго, не выходя за пределы пространства Гильберта.
Метод состоит в использовании так называемого разложения единицы в пространстве Гильберта, причем показывается, что каждой наблюдаемой волновой механики соответствует свое разложение единицы. Это рассмотрение строго эквивалентно по своим результатам приведенному вышв. Мы упоминаем о нем только для полноты изложенияв). Другой способ рассмотрения проблем, относящихся к непрерывному спектру, состоит в замене задачи на собственные зна. чения (9) другой задачей, в которой последовательность соб. ') Читатель, интересующийся математическими аспектами квантовой теории, найдет нх исчерпывающее изложение в книге И. фон Неймана (см, сноску ')). (чг, ч") (44) В этих выражениях в явном виде присутствует некоторая система собственных функций оператора А. Сушествует большой произвол в выборе такой системы функций.
Очевидно, однако, что закон распределения вероятностей и его характеристическая функция не зависят от этого выбора. Это свойство легко проверить непосредственно на выражениях (43) и (44) (задача 5). % Н. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 191 ствеииых значений всюду дискретиа, причем первоиачальиая задача получается как предельный случай при соответствую- п(ей модификации условий. Хотя подобная процедура ие может претендовать иа строгостгь оиа имеет достоинство простоты и интуитивной ясиости. Рассмотрим на основании этого метода операторы д и — (ЬН/г(д. Читатель может сравнить ход рассуж- деиий и результаты с содержанием $8.
Чтобы подойти к проблеме измерения положения в пространстве, разде- лим интервал ( — ао, +со) на равные сегменты длины Ч и заменим волновые функции ф(д) приближенными волновыми функциями ф~(д), постоянными на каждом сегменте и определяемыми соотношением фк(д) =ф(п, Ч), где и, обозначает наибольшее целое число, содержащееся в д/ч, иначе го- воря; д — Ч < пчп ( д. Аналогичным образом заменим оператор д операто- ром д~ умножение на п,ч.
В пределе, когда Ч-ьО, имеем д~-ьд и ф~(д) -ь ф(д). * Множество функций зрк образует пространство Гильберта, в котором оператор д~ вполне определен и обладает дискретным спектром собственных значений пч (и = О, ~1, И-2, ~3, ..., ~со). Каждому собствеаному значе- яню пЧ принадлежит собственная функция и., нормированная на единицу ', если пч(д < (п+ 1) Ч, ля= 0 в противном случае.
Собственные функции ортонормированы: (ип, и„,) Ь„„,. Кроме того, они образуют полную систему, ибо всякая функции фх может быть представлена разложением в ряд по л,: +ч ф~ = ~', Чьф (пЧ) л (45) Следовательно, можно применить теорию Я 5, 6 с тем результатом, что ве- роятность измерить значение дх= пч равна Ч(ф(пч) )з. В пределе Ч-ьО про- межутки между соседнимн собственными значениями стремятся к нулю, спектр становится непрерывным. Измерение отличной от нуля координаты д' = пч соответствует бесконечно большому значению и; однако вероятность обнаружить это точное значение координаты пропорциональна Ч н следова- тельно стремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
