1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Здесь волна (34) оказывается разделенной на два волновых пакета, которые вновь интерферируют после прохождения различных оптических путей. Наблюдение интерференционной картины возможно, если разность оптических путей меньше протяженности волны (34) в пространстве"). Следовательно, пространственная протяженность волны существенна для самой постановки опыта, а поэтому понятие момента испускания фотона теряет всякий смысл. Принцип причинности в его обычном понимании применим к системе атом + фотон до тех пор, пока она еще не провзаимодействовала с измерительным прибором.
В течение этого периода времени возможно описание динамического состояния системы с помощью волновой функции, подчиняющейся уравнению Шредингера. При этом фотон представляется пакетом расходящихся волн (34), фронт которого, г= с1 удаляется от атома со скоростью с. Однако это причинное описание перестает быть справедливым как только система атом+ фотон вступает во взаимодействие с инструментом наблюдения. Здесь уже нельзя говорить об изолированной системе, так как ансамбль система+ инструмент наблюдения составляет единую сущность; свойства, приписываемые системе, в действительности являются и) Среднее время жизни аозбужденного состояния атома при испускании видимого света порндка 1О-' сек.
Поэтому длина ет испускаемого цуга волн порядка 3 ж Интерференцноиную картину удавалось наблюдать при разности оптических путей порядка метра. Это подтверждает наши амаодм относительно-.нространстаенной протяженности цуга волн и неопределенности понятия момента испускания.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНКНИЯ свойствами ансамбля. Поэтому не может существовать строгой причинной связи между состояниями системы до н после измерения. Это положение дел резко отличается от классической ситуации, где все динамические переменные системы строго определены в любой момент, а их эволюция во времени строго детерминирована. Динамические переменные квантовой системы определяются только с учетом соотношений неопределенности между парами дополнительных переменных, так что их временная эволюция детерминирована только частично.
Сколь бы шокирующим не выглядело это ограничение принципа причинности. оно не входит в противоречие ни с одним опытным фактом, ибо временная эволюция совокупности динамических переменных системы может экспериментально наблюдаться только в рамках приближения, соответствующего соотношениям неопределенности.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1. Показать, что гамильтониан частицы в электромагнитном поле (уравнение (Н. 25)) является эрмитовым оператором н что вследствие этого норма некоторого решения Ч' уравнении Шредингера сохраняется во времени. Показать, что в этом случае можно написать уравнение непрерывности типа (11), если при определении потока выбрать выражение, вытекающее из принципа соответствии с классической механикой, а именно Х-((е~у*( — "7 ' А) Ч~~ где А — векторный потенциал электромагнитного полн. 2. Частица с массой ш перемешаетсн в поле действия потенциала У(х), который при х-» ~ао асимптотически (быстрее 1/)х() стремится к У» н У . з""" -""-"' '"'"' '+-1" тз-» уа " г"'"'*~'" '""""" " о) асимптотическое поведение которых выражается формуламн: х -М х и е +Ле при к-« — ао, Я и 5е+ м к и прн х -«+ ао, Сложив решении этого типа, образуем волновой пакет (нормированный на единицу), описывающий частицу, движущуюся в направлении возрастании х.
Показать, что по прошествии достаточного интервала времени этот пакет окажется разделенным иа пакет проходящих волн и пакет отраженных, причем вероятности найти частицу в первом и втором пакетах равны соответственно (йа/й ))3(з и )11)з. ГЛ. !Ч. СООТНОШЕНИЯ ИЕОНРЕДЕЛЕННОСТИ 3. Волна, сопоставляемая частице, движущейся вдоль оси х, выражается формулой ф (х) (2мзз) Гдехр ~урох — — ). Вычислить волновую фуикпию ор(р) в импульсном пространстве. Проверитц что как ф(х), так и по(р) нормированы на единицу.
Вычислить средние значения х и хо, используя последовательно выражения (13) и (21), и сравнить результаты. Вычислить средние р, ро и ехр((рХ/Д) (Х вЂ” заданная вещественная постоянная), применяя последовательно выражения (14) и (20) и сравнить результаты. 4. Показаты что волновой пакет, для которого Ьх Год = й/2 (миннмнзирующнй волновой пакет) имеет вид Г г (х — х)з1 (2п» ) ' ехр Д- Рох — 4во причем (х) = хо, (р) = ро, Ьх = $, Ьр = Ь/2в. 3. Пусть (х) и (р) средние значения х и канонически сопряженного импульса р для системы в динамическом состоянии ф(х). Показать, что в дина- 1 мическои состоянии ехр (- — (р)х) ф(х+(х)) оба средние значения рав- 3 ны нулю. 6. Показать, что прн измерении положения частицы в 3 13, б главную роль играет квантовая природа измерительного прибора (пучок света + ми- кроскоп) и что соотношения неопределенности оказались бы нарушенными, если бы свет не был квантован.
Показать на этом примере, что постоянная 3, входящая в соотношения неопределенности для электрона, не превышает по- стоянной, входящей в определение кванта света. 7. Прн измерении импульса методом отклонения в магнитном поле ($ !4, а) показать, что можно до некоторой степени уменьшить продолжи- тельность нзмерення т = ито/еээ, ие меняя его точности, но точность опре- деления самого времени измерения йя остается неизменной. Обсудить на этом примере соотношение неопределенности время-энергия.
Выяснить те же вопросы для длительности 1/йо' измерения импульса в процессе столкнове- ния с фотоном ($ ! 4, б), 8. Измерение импульса в 4 14, б может быть осуществлено прн замене фотона любой другой частицей. Это измерение основано на определении им. пульса, передаваемого этой частице электроном при столкновении.
Обсудить соотношения неопределенности координата-импульс в этом случае в нереля- тивистском криблнженин. Показать, что неопределенность, возникающая при измерении координаты электрона, зависит от постоянной 3, фигурирующей в соотношенних неопределенности для используемой частицы. 9. Квантовая частица проходит через диафрагму с отверстием о(, снаб- женную обтюратором с рабочим временем т.
Показать, что между частицей и прибором (диафрагма + обтюратор) происходит обмен импульсом порядка 3/о( н энергией аорядка Д/т ЗАДАЧИ И УПРАЖИЕПИЯ 161 1О. При измерении положения электрона с помошью микроскопа (5 13,6) мы стремимся определить и его импульс путем точного измерения импульса, передаваемого микроскопу в процессе измерения. Показать, что точность измерения импульса может быть повышена только за счет соответствующего уменьшения точности измерения положения частицы, согласно соотношениям неопределенности.
11. В эксперименте Юнга используется пучок моноэнергетнческих частиц, исследуется интерференционная картина на экране, а в качестве детектора применяется камера Вильсона. Это возможно только, если камера Вильсона находится достаточно далеко от экрана Юнга. Показать, что наблюдение «траектории» каждой частицы в камере Вильсона не позволяет определить отверстие, через которое прошла частица (см. сноску ')). 6 А, Мессиа ГЛАВА Ч ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ И ЕГО ИСТОЛКОВАНИЕ 5 1.
Введение В предыдущей главе мы изложили основы статистической интерпретации квантовой теории и с самой общей точки зрения рассмотрели внутреннюю логическую непротиворечивость теории, ее согласие с результатами опыта, а также новый специфический способ описания природных явлений.
Теперь, ограничиваясь более узкими рамками волновой механики систем частиц (в нерелятивистском приближении), мы дополним и уточним статистическую интерпретацию теории в согласии с общими принципами. Мы принимаем таким образом, что динамическое состояние физической системы полностью определяется заданием волновой функции. В отличие от классической теории динамические переменные системы не могут быть все точно определены в каждый момент времени, При измерении одной какой-либо динамической переменной результаты измерения следуют некоторому вероятностному закону, который полностью определяется волновой функцией системы. В гл.
1Ъ' (раздел 1) были сформулированы вероятностные законы, связанные с измерением координаты и импульса, а также были приведены общие формулы для средних значений функций координат в конфигурационном пространстве и функций координат в пространстве импульсов. Однако пока не были указаны правила, позволяющие получить статистическое распределение измерений в более общем случае, а именно, когда динамическая переменная является функцией как пространственных координат, так и компонент импульса. Это будет сделано в трех первых разделах данной главы, а основные постулаты изложены в разделе 1. Каждой динамической переменной,ях сопоставляется некоторый эрмитов оператор А, действующий в пространстве волновых функций; при этом среднее значение результатов измерения .Ф дается некоторым выражением, получаемым с помощью оператора А и обобщающим формулы гл.
1Ч (5 5). Постулируя эти правила для всех динамических переменных и для всех функций от этих переменных, мы приходим к искомому статистическому 5 х пРООТРАпстВО ВОлнОВых Фунхп!пч 163 распределени1о. Его явное выражение тесно связано с решением задачи на собственные значения для оператора А. В разделе П будут изучены свойства собственных значений и собственных функций оператора А в частном случае, когда спектр собственных значений является дискретным, а собственные функции квадратично интегрируемы. Затем вероятностный закон будет получен при помощи разложения волновой функции физической системы по полной системе собственных функций оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
