1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Статистические распределения результатов измерения, а следовательно, и неопределенности Ьаь Лр~ определяются значением волновой функции системы в данный момент времени. В противоположность этому энергия и время в соотношении (33) играют совершенно разные роли: энергия Е есть динамическая переменная системы, а время 1 есть параметр. Соотношение (33) связывает неопределенность ЬЕ значения, принимаемого этой динамической переменной с интервалом времени Л1, характеристическим для временной эволюции системы.

Начнем обсуждение этого вопроса с исследования поведения свободной частицы. Плоская монохроматическая волна е'им — "о представляет частицу со строго заданным импульсом яй и энергией яьь С помощью суперпозиции волн можно получить волновой пакет типа, представленного в уравнении (П.11). Для упрощения рассуждений рассмотрим волновой пакет в одном измерении и вообразим себе некоторый цуг волн, подобный прямоугольному сигналу, изображенному на рис.

17. Пусть Ьх обозначает его длину, а о — групповую скорость. Пакет перемещается со скоростью и вдоль осн х, однако момент прохождения таким пакетом заданной точки на оси х не может быть указан точно: неопределенность в определении этого момента оказывается порядка Лс = Лх/о. Кроме того, мы видели, что указанный волновой пакет характеризуется также размазанностью в пространстве импульсов, отчего возникает неопределенность ЬЕ в значении энергии частицы ЬЕж — Ьр= о. Лр. ве дя Из этих двух приближенных равенств находим, что Лг ° ЬЕ ж Лх ° Лр и, применяя соотношение неопределенности координата-импульс, получаем неравенство (33), которое ограничивает снизу величину произведения ширины энергетического спектра частицы ЬЕ и неточности Л1 измерения момента прохождения частицей некоторой точки на оси. $10.

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВРЕМЯ-ЭНЕРГИЯ 1Зв Подобный подход легко распространяется на случай волнового пакета в медленно меняющемся поле, но оказывается несостоятельным в более общих случаях. Чтобы получить соотношение типа (33), надо, вообще говоря, учитывать временную зависимость волновой функции, Наиболее простым является случай системы, обладающей вполне определенным значением энергии. Мы знаем (см.

гл. Н, й 1б), что волновая функция квантовой системы с заданной энергией Е = е1з имеет характерную зависимость от времени е-' ', Рассмотрим в качестве примера частицу, помещенную в некоторое силовое поле, Если квантовое состояние характеризуется определенным значением энергии Е = б1Е, то волновая функция запишется в виде ч'(г,г) = 1р(г)е-'". Отсюда следует, что распределение положений этой частицы Р(г) = ~1р(г) ~' не зависит от времени.

Легко видеть, что распределение по импульсам также обладает этим свойством. Следовательно, результат измерения положения или импульса не зависит от момента времени, когда производится измерение. Коротко это выражают, говоря, что физические свойства системы не зависят от времени или, что система находится в стационарном состоянии. Предположим теперь, что квантовое состояние частицы есть суперпозиция двух стационарных состояний с энергиями Е1 и Е,.

Волновая функция имеет вид 1р1 (г) е-'ени + 1)э (г) е-'ени а распределение Р (г, 1) = ~ ч11 (г) Г + ~ ф, (г) Р + 2 йе 1р1ч1 е' 'е -е ~ ц" осциллирует между двумя крайними значениями ()1р1) — )1р,))з в ()ф1)+~1р1() с периодом т= .. Распределение по 6 (1 Е1 — ЕР ~ импульсам имеет то же свойство. Таким образом, время т является характеристическим для эволюции физических свойств системы. Результаты измерений, точнее статистическое распределение результатов измерений, проведенных в два различных момента времени 11 и 6ь будут практически одинаковыми, если разность Л1 = ~11 — 11) мала по сравнению с т. Иными словами, чтобы свойства системы заметно изменились за интервал времени Ж, необходимо, чтобы произведение М и неопределенности в значении энергии ЬЕ = = ~(Е1 — Ез~ было по крайней мере равно величине порядка л: ЛГ ЛЕ > л.

Выраженный в такой форме этот результат остается справедливым, когда состояние системы есть произвольная суперпозиция произвольного числа стационарных состояний. ГЛ, Пл СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Следовательно, он имеет общее значение. Строгое доказательство будет дано позднее ($ 1ГП1.13). Важным приложением соотношения (ЗЗ) является соотношение среднее время жизни — ширина для радиоактивных и возбужденных систем (радиоактивные ядра, возбужденные состояния атомов, нестабильные элементарные частицы и т.

д,). Такие системы не являются стационарными и не обладают определенным значением энергии; они характеризуются спектром энергий с некоторой шириной ЛЕ. Среднее время жизни играет здесь роль характеристического интервала времени, рассмотренного выше. Чтобы заметить существенные изменения физических свойств системы, необходимо ждать указанный промежуток времени. Поэтому т ° ЬЕжй. Другое следствие неравенства (33) относится к измерению энергии как таковому.

Точность (дЕ измерения энергии связана со временем Ж, необходимым для измерения, соотношением (ЗЗ). Так, можно измерять, например, энергию возбуждения первого возбужденного уровня атома водорода, бомбарднруя атомы водорода пучком моноэнергетических электронов и измеряя энергию, теряемую электронами при соответствующих не- упругих столкновениях. Время измерения здесь по крайней мере равно времени столкновения, т. е. времени М прохождения пакета волн, представляющего электрон, через область нахождения атома водорода; ошибка измерения по крайней мере равна неопределенности ХЕ в энергии электронов падающего пучка; легко видеть, что г1г.ЛЕ ) й. $11.

Соотношения неопределенности для фотонов Соотношения неопределенности для систем материальных частиц следуют из двойственности физических проявлений этих частиц как волн и как корпускул. По той же причине соотношения неопределенности должны иметь место для фотонов. Однако при выводе этих последних соотношений следует учитывать, что число фотонов, содержащихся в физической системе, обычно не является хорошо определенной величиной и, строго говоря, эволюцию фотона во времени можно рассматривать только, если он свободен от всяких взаимодействий.

При этих ограничениях можно представлять свободный фотон как волновой пакет, составленный из плоских моиохроматических волн, распространяющихся со скоростью света е), ') Чтобы упростить изложение, мы пренебрегаем явлением полирнзации света. Дли учета его следует приписать фотону внутреннюю степень свободы. 5 11 НЕКОНТРОЛИРУЕМОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ 141 Освещая экран, снабженный диафрагмой, способной открываться на время Л1, можно получить проходящий световой сигнал, который в предельном случае будет содержать только один квант света.

Этот фотон может быть представлен волновым пакетом, ширина которого в направлениях трех осей координат (Лх, Лу, Лх) будет зависеть от размеров диафрагмы и промежутка времени ЛЕ Такой волновой пакет является некоторой суперпозицией монохроматических волн и имеет все свойства пакетов, рассмотренных выше. Составляющие импульса и энергия пакета отличны от нуля в некоторых конечных областях с размерами Лр,,Лр„, Лр, и ЛЕ. Все эти величины удовлетворяют соотношениями. Лх Лр,) й, Лу ° Лр„) й, Лх Лр,) й, Л1 ЛЕ) й. Эти неравенства позволяют сделать некоторые выводы относительно механизма взаимодействия фотона с веществом. Например, в процессе поглощения фотона атомом (фотоэлектрический эффект) произведение неопределенности ЛЕ величины энергии, передаваемой атому, н неопределенности Л1 момента передачи этой энергии по порядку величины в лучшем случае равно Ь.

Если же атом, находящийся в возбугкденном состоянии, испускает фотон, то момент перехода характеризуется неопределенностью, равной примерно среднему времени жизни этого возбужденного состояния. Фотон представляется волновым пакетом пространственной протяженности ст и, следовательно, дисперсия энергии ЛЕ должна быть такова, что т ЛЕ ж Ь.

Этот результат хорошо подтверждается на опыте. Его можно было бы получить, исходя из соотношения неопределенности среднее время жизни-ширина, обсуждавшегося выше, и заметив, что, согласно закону сохранения энергии дисперсия энергии испущенного фотона (конечное состояние) должна быть равна дисперсии энергии возбужденного атома (начальное состояние). Р Вздел 1Н.

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И МЕХАНИЗМ ИЗМЕРЕНИЯ й 12. Неконтролируемое возмущение в процессе измерения Ниже мы сосредоточим внимание на соотношениях неопределенности типа координата-импульс. Отклонения Лх, Лр, вхо. дящие в эти соотношения, относятся к измерениям, осуществленным при выполнении условий, которые были указаны выше при определении квантовых вероятностей. Их не следует смешивать с обычными ошибками измерений, источником которых является несовершенство самого измерительного устройства, ие позволяющее фиксировать измеряемые величины с идеальной 14г Гл. Ис сООтнОшения хеопгеделенности точностью.

Во всех предшествующих рассуждениях мы прене. брегалн ошибками этого рода. Рассмотрим тщательней, что представляет собой сама операция измерения, если принять сформулированную выше статистическую интерпретацию. Пусть мы имеем дело, например, с измерением координат, определяющих положение частицы квантавой системы, динамическое состояние которой представляется волновой функцией Ч" (в дальнейшем для краткости мы будем говорить, что система находится в состоянии Ч").

Характеристики

Список файлов книги