1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Вероятностные предсказания, о которых шла речь выше, относятся к ансамблю из очень большого числа Л' эквивалентных систем, не зависимых друг от друга, каждая из которых представляется одной и той же волновой функцией Ч". Если производить в каждой из этих систем измерение пространственного положения, то величина Р(т) дает вероятность распределения Л' результатов измерения в предельном случае, когда число Л' членов статистического ансамбля стремится к бесконечности. Если измеряется импульс, то величина П(р) при тех же условиях дает распределение результатов измерения импульса. Чтобы определить Р(г) и П(р), исходя из волновой функции, мы основывались на соображениях правдоподобности и внутренней логики определения. Но совершенно ие очевидно, что выражения (2) и (6) являются единственными, которые можно получить путем подобных рассуждений.
Распределения вероятности Р(г) и П(р) могут быть в принципе непосредственно сопоставлены с опытнымн данными. Выражения (2) и (6) получат окончательное подтверждение, если результат такого сопоставления окажется удовлетворительным. й 3. Сохранение нормы во времени Чтобы определения вероятностей, данные выше, были справедливы, необходимо, чтобы норма Ж волновой функции оставалась постоянной во времени. Но функции Ч' и Ч'" удовлетворяют соответственно уравнению Шредингера (11.33) и комплексно сопряженному уравнению, т. е. И вЂ” Ч' = НЧ' И вЂ”. Ч' = — (НЧ')'. д1 ' д~ Следовательно, и)Ч ~ 1 (дг Ч)+(а~ 1) 1=;в(Р (НЧ) (НЧ) Ч') (7) 123 % а сохРАнвнив нОРмы ВО ВРвмвни Интегрируя обе стороны равенства по всему конфигурационному пространству, получаем — = —,.„~ [Ч" (НЧ') — (НЧ')" Ч~] д~.
Норма будет оставаться постоянной во времени, если 1 Ч (НТ) дг = 1 (НЧг)' Ч' д . Это равенство должно выполняться каким бы ни было динамическое состояние частицы, т. е. для всякой функции Ч', квадратично интегрируемой в пространстве конфигураций. В математике операторы, удовлетворяющие соотношению (8) для всякой функции Ч" из функционального пространства, где определен оператор, называются зрмитовыми операторами. Основные свойства эрмитовых операторов будут изучены в глЛ. Проверим, что гамильтониан Шредингера действительно обладает свойством эрмитовости.
Ограничимся здесь случаем частицы, находящейся в области действия скалярного потенциала (случай заряженной частицы в электромагнитном поле является предметом задачи 1). Имеем л' Ням — — Л+ У(г). 2п$ Поскольку 7(г) есть величина действительная, уравнение (8) в данном случае принимает вид 1 [Ч'" (ЛЧ ) — (ЛАР)" АР[ с1г = О. Если бы интегрирование распространялось на некоторый конечный объем, ограниченный поверхностью 8, то по известной теореме Грина объемный интеграл был бы равен интегралу по поверхности где символом Щда обозначена внешняя нормальная производная.
В нашем случае интегрирование распространяется на все конфигурационное пространство, т. е. все элементы поверхности Я удаляются в бесконечность. В то же время, поскольку Ч' представляет динамическое состояние физической системы, она есть функция квадратично интегрируемая, следовательно, поверхностный интеграл стремится к нулю. Таким образом, если условие нормировки (8) выполняется в начальный момент времени, оно выполняется и во все последующие моменты времени.
Ввиду того, что уравнение Шредин- гл, !ч. СООтношвния ивопридвлвннОсти гера есть однородное уравнение, его решения определены только с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя. Условие нормировки в начальный момент времени фиксирует абсолютное значение этого множителя; фаза комплексного постоянного множителя остается произвольной. й 4. Понятие потока Свойство сохранения нормы легко интерпретировать, если ввести понятие потока. Правая часть уравнения (7) всегда может быть выражена в виде дивергенции некоторого вектора— вектора плотности потока вероятности или просто, вектора потока.
Ограничимся здесь случаем частицы, движущейся в поле скалярного потенциала (см. задачу 1) . Определим поток Х(г, 1) в точке г в момент времени 1 выражением Х (г„1) = Йе ~Чг* —, ЧЧ']. Нетрудно проверить, что б)ч Х = — „1Ч" (ОЧ) — (ХХЧ)'Ч). (10) Это позволяет переписать уравнение (7) в форме —,Р+ б(чХ=0 д (11) Уравнение типа (11) часто встречается в гидродинамике. Это есть уравнение сохранения для жидкости с плотностью Р и потоком Х в среде без поглощения, без источников и стоков. Мы приходим, таким образом, к аналогии между движением квантовой частицы и классической жидкостна).
Масса жидкости, содержащаяся в заданном объеме л', равна интегралу от плотности по этому объему, Из уравнения (11) вытекает тот общеизвестный факт, что производная по времени от массы жидкости, заключенной в д', равна — 1 б(чХг(г= — 1 Хс(3, ') Конечно эта аналогия не может быть распространена слишком далеко. Все, что можно получнть на основе этой аналотнн, сводится к закону сохра. пения, выражаемому, уравненном (11) (см. гэь Ч1), "г.
е. потоку вектора Х через замкнутую поверхность Я, ограничивающую объем. Полная масса жидкости во всем пространстве остается постоянной (сохранение нормы), так как поток через поверхность 8 стремится к нулю, когда объем д' включает все пространство. 1гй Ч З. СРЕДНИЕ ЗНаЧЕНИИ ФУНКЦИЙ ОТ е И ОТ Р В определении Х сохраняется некоторая степень произвола: уравнение (11) остается справедливым, если к вектору Х прибавить любой вектор с равной нулю дивергенцией. Однако определение (9) имеет преимущество простоты. Кроме того, оно может быть получено по принципу соответствия из классического определения потока.
Действительно, согласно принципу соответствия, оператор (Ь/(т) 7 представляет величину Р/т, т. е, скорость частицы; величина Х соответствует произведению скорости на плотность, т. е. потоку. В частности, если Ч' есть плоская волна А ехр((1/й) (рг — Е()], то Х(г, 1) =1А1'(Р/т) действительно равно произведению плотности вероятности на скорость. Свойство, выражаемое уравнением (11), есть нечто более глубокое, чем просто свойство сохранения нормы. Если функция Чт является стационарным решением уравнения Шредингера Ч" (г, 1) = чр (г) е то свойство сохранения нормы либо тривиально, либо не имеет смысла. Оно тривиально в случае связанного состояния, оно не имеет смысла в случае состояния несвязанного, нбо во втором случае функция ф не является квадратично интегрируемой.
Однако в обоих случаях уравнение (11) остается справедливым и, ввиду того, что плотность (чр(з не зависит от времени, принимает форму ВЧУХ=О. (12) Это свойство собственной функции ф особенно важно, так как оно не зависит от конкретной формы потенциала У(г), входящего в гамильтониан Шредингера з). й 5.
Средние значения функций от г и от р Убедившись в согласованности определений плотностей вероятности Р и П, применим их теперь к вычислению средних значений функций от г и от р. Зная распределение Р(г) результатов измерения положения в некоторый момент времени, можно определить среднее значение (математическое ожидание) для некоторой функции Р(г)= = Р(х,у, г) координат частицы. Физический смысл этого среднего значения совпадает с тем, который мы формулировали при определении Р(г): это среднее значение измерений Р(г), осуществленных на очень большом числе Л' эквивалентных систем, з) Это свойство играет в трехмерных задачах роль свойства сохранении вронскиана Яг(у*,у) в задачах одномерных (см.
П1, $ 11, в дальнейшем и Ш, 11). ГЛ. ГЧ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 126 независимых друг от друга и представляемых одной и той же волновой функцией Ч". Примем для этой величины обозначение (Р(г)). Очевидно, что (Р(г)) = ~ Р(г) Р(г) дг. Аналогично для среднего значения некоторой функции импульса С(р) = б (р„р„, р,) получим (а (р» = 1)и (р) О (р) (р, Используя определения плотностей вероятности, принятые в $ 2, получим выражения (при условии, что интегралы сходятся) (Р(г)) = ~ Ч" (г) Р(г) Ч'(г) дг, (О(р)>= $ Ф'(р) а(р>Ф(р> (р. (13) (14) Так, среднее значение координаты частицы есть (х) = ~ Ч" (г) хЧ'(г) гЬ, (15) а среднее значение составляющей р, импульса есть (р > = ~ Ф" (р) Р.Ф (р) 4 .
(16) Запишем выражение (!6) в другой форме, применяя свойства преобразования Фурье, изложенные в Дополнении А. Если функция р„Ф(р) квадратично интегрируема, что мы предположим выполняющимся всегда, ее образ Фурье есть (Л/1) дЧ'(г)/дх (теорема П1 $ А. 16). Применяя к функциям Ф и р,Ф свойство инвариантности скалярного произведения (теорема 1Ч $ А.!6), получаем (! 7) Мы видим формальную аналогию между правыми частями уравнений (16) и (17): переход от первого ко второму осуществляется заменой интегрирования по р интегрированием по г, подстановкой вместо Ф(р) ее обратного Фурье-образа Ч'(г), а вместо Ф'(р) — комплексно сопряженной величины и, наконец, заменой величины р„оператором (е11) д1дх, причем д/дх обозначает операцию взятия частной производной по х, применяемую к функции, стоящей справа от символа оператора. з а сРедние значения Функций От г и От Р Аналогично можно перейтн от уравнения (15) к выражению <х)= ~ Ф<р)(И д ) Ф(р)др.
(18) Эти результаты могут быть обобщены на функции более сложной формы. Так, из того факта, что р'„Ф(р) (по предположению квадратично интегрируемая) есть образ Фурье функции ( —,. —,„) ~()=-~' —,'„, а д 2 д'Чг (повторное применение теоремы П1 $ А.16), выводим (р„') = ~ Ф'р'„Ф г(р = — й' ~ Чг' —, дг.
(19) Вообще, если 6(р) есть полипом или функция, представляемая абсолютно сходящимся рядом по степеням р„р„, р„имеем (6 (р)) = ~ Ч'" (г) 6 (-, Ч,т Ч' (г) й' (20) при условии выполнения требований сходимости, которые легко формулировать. При выполнении тех же условий для среднего значения Р(г) находим (Р (г)) = ~ Ф'(р) Р(ИЧР) Ф(р) ар. (21) Получив достаточно результатов, чтобы начать общее обсуждение проблемы, которое является предметом этой главы, мы не будем более углублять здесь вопросы статистической интерпретации функции Ч', Ведь помимо статистики измерений положения и импульса и результатов, касающихся средних значений величин типа Р(г) и 6(р), задание Ч" должно определить статистику измерения любой измеримой физической величины. Эти вопросы будут рассматриваться в гл.
Ч. Здесь мы ограничимся некоторыми предварительными замечаниями, Величины (х) и (р„) действительны; это следует из нх определения. Поэтому правые части уравнений (15) и (17) также действительны. Иными словами, операторы х и (э/1) (д/дх) являются эрмитовыми операторами (это следует из самого определения эрмитовости в уравнении (8)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
