1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 21
Текст из файла (страница 21)
4 А, М2ССНа 0В гл. Пь кваитовыи систвмы в одном измврвиии Мы сталкиваемся с явлением типично волнового характера, с явлением резонанса. Для некоторых ограниченных областей изменения энергии (ширины 4з)/К/.) интенсивность волны во внутренней области порядка 1: эти резонансные энергии соответствуют условию фа =(а+1/2)и, т. е. область П содержит Рис 12. Резонансы отражений.
Изменение Аз и ф~ (см, уравнение (21)) в зависимости от энергии. Кривые соответствуют К1.=(Ь вЂ” о)ч/У1 — У~ 100. По оси абсцисс отложена переменная з)' (е — У~)/(У1:Уз) и+1/2 «полуволн». Вне этих резонансных областей интенсивность очень мала. Как и в случае задачи со скачком потенциала, мы можем сравнить движение волнового пакета типа (9) с движением классической частицы в том же потенциале. Приходя из +со с постоянной скоростью о~ = (ЬК/т)ть классическая частица испытывает резкое ускорение при х = О, пробегает область П со скоростью оз = (зд/лз) )/1 + т)з, отражается в точке х = — /., движется в противоположном направлении со скоростью оз в области П, затем со скоростью иг в области /. Время, кото- за комичная потницилльиля яма. онзонхисы 99 рое классическая частица проводит в области П, равно т = 2Ь/оз.
Центр волнового пакета движется аналогичным образом, по крайней мере в области очень болыпих х, где пакет не слишком сильно деформирован, так что понятие его центра сохраняет смысл. Все происходит так, как если бы ои осуществил то же самое движение за исключением того, что «время, проведенное в области П» равно ие таю а т = =(2/п~)смр/и/т1 =(2/и1!т)йчч/с!т). Мы не будем вдаваться в детали этого исследования, вполне аналогичного проведенному на стр. 89. Поведение различных величин, упоминавшихся выше, сведено в следующую таблицу: Между резонансами А' остается очень малой величиной, время прохождения области П т мало по сравнению с т„: волновой пакет практически не проникает в область П, волна почти полностью отражается от точки х = О.
Эта ситуация аналогична оптической, где резкое и значительное изменение показателя почти всегда вызывает полное отражение. Наоборот, в резонансе Ат = 1, волна полностью проникает в область П и остается там относительно долгий промежуток времени, значительно больший таю Согласно условию (12) полученная картина справедлива только для достаточно пространственно протяженных пакетов, больших чем размеры области П '((йф1/й)т~) = Ь в резонансе), и, следовательно, передний фронт волнового пакета достигает точки отражения х = †!.
значительно раньше того, как волна завершит прохождение точки скачка потенциала х = О. Этот эффект имеет чисто волновую природу — происходит интерференция между падающей и отраженной волнами в области П. в) е ) Уз. Спектр непрерывный и вырожденный. Отражение и прохождение волн. Эта ситуация аналогична случаю.
б) в задаче со скачком потенциала. Всякому значению е сответствуют две линейно независимые собственные функции: в интервале (Уз, оч) спектр собственных значений неирерывеи н все собственные значения дважды вырождены. Гл. Иь кВАнтОВые системы В Одном измеРении Как и в задаче со скачком потенциала построим собственную функцию в виде -я,х га х е ' +Ке ' х)а, -Ы пах Ре з +Яе ' а>х)Ь, -Из 3 Ь > х. (22) Условия непрерывности в точках а и Ь позволяют определить К, Я, Р и Б. Не входя в детали вычислений, приведем результаты для величин )г и 5. Исполь- зуем следующие обозначения: Ь= — й, К=ч/и,— и„ й1 йз т) = К' К' а=й Получаем как мы это уже делалн в случае скачка потенциала. Здесь мы тоже замечаем, что при равной энергии коэффициент прохождения не зависит от направления движения (г) и ь входят симметрично в выражение для Т).
Можно проверить и равенство )К)т+ — '(8(*=). Ф1 (24) Относительная величина отраженной и проходящей волн изменяется с энергией и можно обнаружить сущестнование явлений резонанса того же тина, что и в случае б). Они особенно ааметны когда Кь Ъ я, ь ~ т) К 1 (т. е. в = 1). В етом сзучае видно при исследовании уравнения (2З), что козффициент прохождения, рассматриваемый как функция т)з (т. е.
как функция энергии), остается очень малым (порядка 4т)ь) почти всюду, но обнаруживает серию резких максимумов, равных 4ЛЦ(т) + Ь) з. Ширина этих максимумов равна примерно 4(т) + ь)1К1,. Положения максимумов соответствуют энергиям, для которых в области П укладывается целое число л «полувеки», а именно $К1, пя (расстояние между максимумами около 2п)КЦ. $ (з) — д соз йК1 + 1(йз — з)й) з1п 2КС $ (т) + ь) соз $КЬ вЂ” 1($х + т)Ь) з!п ЕКЬ ' Я=е 2цй $ (ц+ Ь) соз ЕК(.
— 1 (5з + ВЬ) Ип $КЬ Эти выражения позволяют сравнить движение волнового пакета, образованного из волн типа (22) с близкими энергиями, с движением классической частицы той же энергии в том же потенциале. -М,х Начальный волновой пакет (образованный в области 1 из волне ' ) перемещается в области 1 с постоянной скоростью о~ = йй,(т и встречается с областью П; после столкновения он разделяется на пакет отраженных волн гз1х (образованный волнами )1е ' в области 1), перемещающийся со скоростью -~азх н1 к +аа, и пакет проходящих волн (образованный волнами Яе ' в области 111), перемещающийся со скоростью из к — оо. Таким образом, в отличие от классической частицы волновой пакет всегда только частично проходит в область 111, и можно определить коэффициент прохождения т йз )с(з 4тДйх (23) й~ $ (т)+ ь) созз$К( + Я~+ э)ь) з1п $Кй ' 4 1 тиннельный зсвект Можно продолжить это исследование, рассматривая фазы амплитуд г( и 5, определить «время прохождения» проходящей волны или «время отражения» отраженной волны и сравнить эти величины со временем пересечения области 1! классической частицей.
Качественно получается следующая картина; в резонансе волна остается концентрированной в области 11 в течение промежутна времени, значительно (в (Ч + ~)-~ раз) превосходящего классическое время, прежде чем разделиться на проходящую и отраженную волны; вие резонанса волна практически не проникает в область !1, она почти полностью отражается на границе областей ! и П причем почти мгновенно (см, задачу 1). 9 7. Прохождение прямоугольного потенциального барьера.
Туннельный аффект В качестве последнего примера рассмотрим прохождение прямоугольного потенциального барьера (рнс. 13) 0 х > 1. (область 1). (!(х)= (1~( > 0) 0 <х < 1. (область П), 0 х < 0 (область ПГ). В этом случае все положительные значения е являются собственными значениями, двукратно вырожденными. Следует рассмотреть две возможности: а может быть больше или меньше Уо.
В обоих случаях образуем решение, представляющее в области П1 волну, распространяющуюся в отрицательном направлении, т. е. решение Вида Е-гтвк+ !4Е1З1«х ддя Х > 1 и Яе-гтз' для х < О. Ее поведение в области П: вкспоненциальное: Ае""+Ве "', <о,( -«и,:х синусоидальное: Се'""+ Ре-га" если в ) уо Рис. 13. Прнмоугольный барьер (л= ч~е — (1 ). Ограничимся тем, что дадим результат вычисления коэффи. циента прохождения (рнс. 14): 4в (в — Уо) если е > Уо; 4в(е — Уо) + Уо гз1пгйь Т = ! я ~г = 4е (0« — в) если е< Уо.
4в(Уо — е) + Уо~ зь~н! Как и в предшествующих параграфах, можно сравнить дви- жение волнового пакета типа (9), образованного из написанных 102 ГЛ, Н!. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ выше волн, с движением классической частицы, приходящей из +со.
Наиболее показательное различие имеет место при е ( Ус. Классическая частица отражается от барьера, не имея возможности его преодолеть. Волновой пакет разделяется на отраженный пакет и пакет проходящий, причем интенсивность последнего никогда не обращается в нуль. При возрастании е от Т / // / г 3 4 г(//, Рис. 14. Изменение коэффициента прохождения в зависимости от энергии дия потенциального барьера, показанного на рис. 13.
Принято //з/.э=40. нуля до 1(о коэффициент прохождения монотонно растет от нуля до значения (1+ ((ь!.з(4)-!. Явление прохождения частицей потенциального барьера называется туннельным эффектом и играет важную роль в теории радиоактивного а-распада, Величина туннельного эффекта тем больше, чем меньше высота барьера и его ширина. Когда е ) 1/о, классическая частица замедляется в области ((, но тем не менее пересекает ее и продолжает свой путь в области /(! в направлении — оо. Волновой пакет всегда, хотя бы частично, отражается. Полное прохождение (Т = 1) имеет место только при некоторых значениях энергии, когда йх. равно целому числу и. При росте энергии коэффициент прохождения колеблется между этим максимальным значением и минимальным, равным 4е(е — (/з)((2е — ((о)а.
Эффект особенно заметен, когда барьер очень высок или очень широк и когда кинетическая энергия е — 1/о в области 11 мала. Можно отметить сходство с резонансными явлениями, обсуждавшимися в предше- ствующих параграфах (см, задачу 2). % з. своистВА ВРонскилиА 103 Раздел 11. ОБЩИЕ СВОИСТВА ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В 8. Свойства вроискиаиа Вернемся к уравнению у" + (и — У (х)) у = О. (25) Выведем несколько общих свойств этого уравнения на собственные значения. В дальнейшем будем требовать ограниченности вещественной функции (т'(х), допуская только конечное число разрывов первого рода на всем интервале ( †, +со).
Большое число интересующих нас свойств этого уравнения непосредственно вытекает из важной теоремы, касающейся определителя Вронского, составленного из двух решений уравнения; эту теорему мы будем в дальнейшем называть теоремой вронскиана. Определителем Вронского, или вронскианом двух функций у1 и уз называется выражение )г (У1 Уз) = У1уз Узу1 Это выражение антисимметрично по отношению к перестановке функций у1 и уз. Если вронскиан равен нулю в некоторой точке иа оси х, функции у~ и уз имеют в этой точке равные логарифмические производные; если вронскиан равен нулю на всем интервале ( †, +со), функции пропорциональны друг другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
