1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отметим, что, в отличие от суммы, произведение двух опера- торов не номмутатиэно. В этом состоит очень важное различие $!2. ВОлнОВОе уРАВнение для сВОБОднОЙ чАстицы 71 Если указанная разность равна нулю, говорят, что операторы коммутируют АВ = ВА. В качестве примера некоммутирующих операторов укажем оператор /(х), т.
е. оператор умножения на заданную функцию /(х), и оператор дифференцирования д/дх. Действительно, какой бы ни была функция Ч'. — /(х) Ч = — д(/'р)- — ~Ч'+/ — =(д +/ — д) Ч. Иначе говоря, 1д '/()1 д Я, ~=1. (9) и, в частности, (1О) Напротив, все операторы дифференцирования д/дх, д/ду, д/дг, д/д/ коммутируют между собой. Типичным примером линейного оператора, полученного пу- тем умножения и суммирования линейных операторов, является оператор Лапласа дй д2 д2 б = — б)у пгаб =Чт/= =— „+ — г-+ —;.т-, дх' ду который можно рассматривать как скалярное произведение са- мого на себя векторного оператора градиента у =(д/дх,д/ду, д/дг).
$ 12. Волновое уравнение для свободной частицы Теория волн вещества позволяет без затруднений написать волновое уравнение для свободной частицы в нерелятивнстском приближении. Действительно, волна Ч'(г;1) может быть представлена как суперпозиция Ч~1(т, 1) = ~ г(р1е'В" е~иллр между алгеброй линейных операторов и алгеброй чисел. Произведение АВ не обязательно тождественно произведению ВА; в первом случае оператор В первым действует на функцию Ч', затем оператор А действует на функцию (ВЧ') и дает окончательный результат; во втором случае операторы А и В пере- ставлены между собой.
Разность А — ВА двух произведений называется коммутатором операторов А и В; коммутатор обозначается символом (А, В) = — А — ВА. (8) 72 ГЛ. 11, ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА Н УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА плоских моиохроматическнх волн ехр [с(рг — Е1)1В), причем частота Еса связана с волновым вектором р/71 соотношением, связывающим энергию и импульс частицы Рс Е= —. 2т ' Образуя частные производные От обеих частей равенства (11) (здесь мы не обсуждаем математических вопросов сходимости соответствующих интегралов), получим последовательно: 1л —.
Ч' (с, 1) = $ ЕЕ (р) е' се'-Всне с(р, д д1 (~з) 'Р1Р(г 1) ~ рр (р) ес 1Р -есиА,(р  — й'1АЧ'(г, 1) ~ р'г'(р) е"1" В'1М с(р. (! 5) Согласно соотношению (12) подынтегральные выражения в уравнениях (13) и (15) пропорциональны друг другу, то же можно сказать и о самих интегралах. Поэтому сй —. Ч"(г, 1) — — — сАЧс(г, 1). д ас (16) (14) Это и есть уравнение Шредингера для свободной частицы; оно удовлетворяет условиям А) и Б), см. $10; нз самого вывода следует, что уравнение удовлетворяет требованиям принципа соответствия. Имеет место формальная аналогия с классической механикой: уравнение (16) представляет собой как бы квантовый аналог классического уравнения (12).
При этом энергия и импульс на квантовом языке представляются дифференциальными операторами, действующими на волновую функцию соглаоно правялам соответствия Е-+16 —, р-» —. Ч. д и дС ' (! 7) Таким образом, величина р'= р~ + р~+ р', представляется оператором Подобно соотношению (12) уравнение (16) не удовлетворяет, естественно, принципу относительности. В то же время теория де Бройля сама по себе не имеет подобного ограничения, Чтобы получить релятивистское уравнение для свободной частицы, разумно следовать той же схеме рассуждений, что и выше, но заменить уравнение (12) его релятивистским аналогом.
Прасс ЕВРА '~ с $ !з. чхстицА В овлхсти скхляэпого оотвипиллА тз наличия квадратного корня. Чтобы обойти эту трудность, можно использовать соотношение Е~= р~сз+ вас', (18) откуда получается уравнение д' И дп ~ 6 ЬЧ +!ос которое можно записать в виде (П+( й ) )Ч'(г,г)=0 (19) лз с помощью опеРатоРа ДаламбеРа Г! ~ — — — А. Между уравнениями. (18) н (19) существует то же формальное соответствие, что и между уравнениями (12) и (16), Уравнение (19), известное как уравнение 7~лейва — Гордона, играет важную роль в релятивистской квантовой теории. Поскольку это уравнение не удовлетворяет критерию Б), оно не может рассматриваться как волновое уравнение без соответствующего изменения интерпретации функции Ч'.
Вообще говоря, само утверждение, что волновая функция может представлять динамическое состояние одной и только одной частицы, имеет смысл только в нерелятивистском пределе, когда справедлив закон сохранения числа частиц. Поэтому в дальнейшем мы будем изучать именно нерелятивнстское волновое уравнение.
5 13. Частица в области действия скалярного потенциала Чтобы образовать волновое уравнение частицы при наличии потенциала У(г), начнем с «приближения геометрической оптики» и попробуем написать уравнение распространения для волнового пакета Ч!(г,1), следующее из теории де Бройля. Центр пакета перемещаетси как классическая частица, положение, импульс и энергию которой мы обозначим соответственно как г„„р„„и Е„. Эти величины связаны соотношением » Е„,= Н(г„„Р )= ~"'+ ~'(г ), (20) где Н(гкл, !окл) есть классическая функция Гамильтона.
Предпо ложим, что 1"(г) явно от времени не зависит (консервативная система), хотя это требование не является существенно необходимым в наших рассуждениях. Следовательно, Е„, есть интеграл движения, а г„, и р„являются вполне определенными функциями времени.
В условиях нашего приближения У(г) 74 ГЛ. Н. ВОЛНЫ ВЯШЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЯРА остается практически постоянным на расстояниях порядка размеров области протяженности волнового пакета; поэтому )г(г) 1 (г Г) 1 (г«л) 1 (г 1) (21) !й л! Ч'(г, Г) ж Елл''Р (г, Г), й Ч 7(г,т) =р„,(1)Ч (г, Г), (22) а взяв дивергенцию от последнего выражения, получаем — йз й!Р (г, !) ж рз Чл (г, !), (23) Комбинируя соотношения (21), (22) и (23) так, чтобы удовлетворить соотношению (20), находим йй — Ч'+ — ЛЧ" — Р'Ч! т~ Е«л — —" — )'(г«л)) Ч'ж О.
д й! Волновой пакет Ч" (г, !) удовлетворяет, по крайней мере приближенно, волновому уравнению искомого типа. Мы приходим к естественному выводу, что это уравнение можно принять как уравнение волны частицы при наличии потенциала. Постулнруем, что в самом' общем случае, даже когда не выполняются условия приближения «геометрической оптики>, волна Чг удовлетворяет уравнению (й —,„! Ч (г, !)=( — е О+ У (г)) Ч" (г, !). (24) Это — уравнение Шредингера для частицы, находящейся в Об- ласти действия потенциала )л(г). $ 14.
Заряженная частица в электромагнитном поле Предшествующие рассуждения могут быть повторены в более сложных ситуациях, когда, например, потенциал у" явно зависит от времени или когда частица с зарядом е движется в электромагнитном поле, описываемом векторным А(г„!) и скалярным !р(г,!) потенциалами. В последнем случае классическое соотношение (20) следует заменить (см. задачу 1.4) на Е= ~ (р — — А(г, !)) +е!р(г, !). (25) С другой стороны, если ограничиваться малыми интервалами времени, когда относительные изменения р,„пренебрежимо малы, то можно рассматривать Ч" (г,1) как суперпозицию плоских монохроматических волн типа (11), причем частоты близки к Е,(й, а волновые векторы близки к р„/й.
Поэтому можно считать, что 1 н. овшвв правило построения кплвнвния шпвдингвпл тб Изучение движения волнового пакета в приближении «геометрической оптики» заставляет нас принять в качестве волнового уравнения следующее: Это — уравнение Шредингера для заряженной частицы в электромагнитном поле "). Уравнения (24) и (26) суть обобщения уравнения (16) н в отношении этих уравнений можно сделать аналогичные замечания. Это линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка относительно времени (условия А) и Б)).
Онн получаются из классических соотношений (20) и (25) с помощью операции соответствия, определенной в (17). В 15. Общее правило построения уравнения Шредингера по принципу соответствия Обобщая операцию соответствия, можно сформулировать метод получения уравнения Шредингера, приложимый в самых общих случаях.
Рассмотрим классическую динамическую систему, уравнения движения которой получаются из функции Гамильтона Н(рь..., Чя, рь..., Ря, (). Эта функция зависит от координат дь ..., дя системы в пространстве конфигураций, от соответствующих импульсов рь ..., ря и от времени 1. Полная энергия системы есть Е= Н(ды ..., г)л', рь .. „рл', 1). (27) Этой классической системе мы ставим в соответствие квантовую систему, динамическое состояние которой представляется I й е зз ") В правой части уравнения (26) оператор ( — 7 — — А) есть скае г й е лярный квадрат векторного оператора — 7 — — А; результат действия е С этого оператора на Ч' есть сумма выражения ,д'Чг ей г дЧг д з е' — — Ьз — — — ( Ал — + — (Алчг)) + — А~Чг дхз (с (, дт дк ) се и двух других выражений, получаемых путем замены к на р и г, или ей / ей .
е' — й'Ьчг — 2 —,(А7Чг) + ~ — — дЬА+ — Аз) Чг (с ы с' Необходимо учитывать что составляющие оператора 7 и оператора А в общем случае не коммутируют. 76 ГЛ. П. ВОЛНЫ ВЕШЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА волновой функцией Чг(!7ь ..., дн, !), определенной в конфигура. ционном пространстве. Волновое уравнение получается путем замены в обеих частях соотношения (27) Š— Р(й —., р„— Р— — (г=1,2, ..., Я). (28) д а д ддг Подразумевается, что результат действия обеих частей равенства (27), рассматриваемых как операторы, на Ч' один и тот же.
Запись этого обстоятельства дает уравнение Шредингера квантовой системьи д д! 72 д а д = О(дь, ггр.'! —, д ° ° — д, !)Чг(!г!, ..., !7н; !). (29) й д г2 д ОпеРатоР Н~Ц, ..., !7л, —.—, ..., — —., !) называетсЯ ! дч! ' ' '' ! дал оператором Гамильтона или еамильтонианом рассматриваемой системы. Важно отметить, что сформулированное правило соответствия не определяет уравнение Шредингера единственным образом. Имеются две причины, приводящие к неоднозначностям. Первая причина состоит в том, что указанное выше правило не инвариантно по отношению к замене переменных в конфигурационном пространстве. Проиллюстрируем это обстоятельство на простом примере свободной частицы в пространстве 2 2 Рд + РР двух измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
