1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Далее, единственной причиной неудач классической теории, по-видимому, является атомизм величины действия; классическая теория сохраняет свою силу в макроскопических масштабах или, в более широком смысле, в тех случаях, когда квантовые скачки могут считаться пренебрежимо малыми. Это второе утверждение лежит в основе принципа соответствия, сформулированного в конце главы.
Успехи старой квантовой теории, удивительные для теории со столь противоречивыми основаниями, хорошо иллюстрируют плодотворность этого фундаментального эвристического принципа. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ вЂ” (ав) а (А+ — [влз[). д 1 (а) Пусть, далее, А и ф являются соответственно векторным и скалирным потеициаламн этого поля: 1 дА и — ягабф — — — 1 аз=го1А. с д(' Показать, что уравнения движения следуют из функции Лагранжа ь — +а( — — ф). Вычислить обобщенный импульс и написать функцию Гамильтона. 5. Уравнении (а) аадачи 4 остаются справедливыми и в релятивистской области, если массу покои заменить срелятивистской массой» М ш [1 — . 1. Рассматрявается рассеяние монохроматических фотонов свободными электронамн (эффект Комптона).
Определить изменение длины волны, величину и направление импульса отдачи электрона в зависимости от угла рассеяния фотона, предполаган: а) что электрон первоначально покоится; б) что электрон первоначально имеет импульс Р в направлении исходного пучка фотонов. Какова в обоих случаях макснмальная величина импульса, передаваемого электрону? 2. Обсудить на примере эксперимента Юнга с янтерференцией от двух щелей волновой и корпускуляриый аспекты природы света.
Показать, что представление о траектории каждого фотона, проходящей через одну нз щелей, несостоятельно. 3. Гироскоп обладает магнитным моментом И, пропорциональным моменту импульса: И = М1. Исходя из выражения для магнитной энергии — (ь?р,вывести уравнения движения 1 в постоянном магнитном поле Зв и показать, что гироскоп совершает прецессионное движение с круговой частотой юс МЗК (частота Лармора). 4. В нерелятнвистском пределе классические уравнения движения влек- трона в электромагнитном поле суть нлдлчи и ннрлжнения 53 — (сэ/с'))-И.
Проверить, что формализм Лагранжа и Гамильтона остается справедливым, причем уравнения получаются из функпци Лагранжа ь — тсэ ч/! — — +( — — ~р). с' лс Показать, что функция Гамильтона в этом случае имеет вид Н (лээсч+ (р — — А) сэ1 + е~р, где р есть обобщенный импульс, т. е. вектор с компонентами р„р„, р.
е Заметим, что р = Мв+ — А и Н = Мсэ+ ейц Н н рс образуют 4-вектор с в пространстве-времени, аналогично ф н А. Имеет место соотношение (Н вЂ” г<р) э — (рс — гА) э — тэсэ 6. Материальная точка с массой лг вынуждена перемещаться по оси х под действием возвращающей силы — Кх, пропорциональной расстоянию от начала координат (гармонический осциллятор).
Применить к этой динамической системе правило квантования Бора — Зоммерфельда: вычислить энергию, период колебаний и амплитуду квантованных траекторий. 7. Проквантовать круговые электронные орбиты водородного атома, применяя правило Бора — Зоммерфельда. Определить энергию, период и радиус основной орбиты (глсэ = 0,51 Мэе; йс/г' — 137) и найти и этом частном случае релятивистскую поправку. Проверить, что в пределе больших квантовых чисел частоты Бора стремится к частотам, предсказываемым классической электродииамикой (принцип соответствия). ГЛАВА П ВОЛНЬ$ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА й 1.
Исторический обзор и общий план последующих глав Основание квантовой механики приходится на период между 1923 и 1927 годами. Почти одновременно были предложены две ее эквивалентные формулировки: матричная механика и волновая механика. Исходным пунктом матричной механики ') явился критический анализ положений старой квантовой теории. Точка зрения Гейзенберга может быть выражена следующим образом, Во всякой физической теории следует отличать понятия и величины, физически наблюдаемые от физически ненаблюдаемых; первые по необходимости должны фигурировать в теории, вторые же без ущерба для теории могут быть модифицированы или вовсе опущены. При построении удовлетворительной теории микроскопических явлений следует по возможности исходить только из наблюдаемых величин.
В старой квантовой теории некритически использовались многие понятия, не имеющие реальной экспериментальной основы; это и явилось причиной ее неудач. Примером экспериментально не обоснованного понятия является электронная орбита. Зададимся вопросом, можно ли иа опыте проследить за движением электрона по боровской орбите атома водорода? Я) При наблюдении движения мы должны фиксировать последовательные положения электрона в пространстве, причем ошибка в измерении каждого положения должна, естественно, быть значительно меньше среднего радиуса а исследуемой орбиты.
Подобные измерения можно было бы провести с помощью рентгеновских лучей достаточно малой длины волны й ~ а. Однако столкновение каждого рентгеновского кванта с электроном, согласно теории эффекта Комптона, сопровождается передачей импульса порядка й/Х (»/т/а), что существенно возмущает движение наблюдаемого электрона. Читатель без труда ') йу. Неаепбега, Ее!(зсй. 1. Рйуа.
33, 879 (1925); М. Вогп, Р. уогпап, Хе))асю 1. Рйуа. 34, 858 (1925); М. Вогп, йг, Неззепбегй, Р. уогоап, 2е!!зсй. 1. Ркуз. 35, 557 (1926); Р. А. М. Игас, Ргос. йоу. 8ос, А 109, б42 (1925). ') Ограничения возможностей наблюдения, которые мы имеем в виду, не связаны с совершенством измерительной техники; вти границы ставит сама природа вещей. 4 1 историчвскии ОБ30Р и ОБший плАн последующего 55 проверит (см. задачу 1), что возмущение тем значительнее, чем меньше квантовое число, характеризующее орбиту; например, если электрон находится на основной орбите (и = !), то средняя энергия, передаваемая при столкновении, равна по меньшей мере энергии ионизации атома.
Это неконтролируемое возмущение состояния наблюдаемой системы измерительным устройством ставит предел точности, которую можно надеяться получить прн измерении орбиты электрона. Ггри малых квантовых числах любое, даже достаточно грубое изглерение параметров орбиты обречено на неудачу. Но поскольку не существует эксперимента, позволяющего доказать, что электрон в атоме водорода действительно перемещается по определенной орбите, ничто не мешает иам отказаться от самого понятия орбиты электрона, Иначе говоря, из того факта, что атом находится в некотором состоянии с точно фиксированной энергией, не следует с необходимостью, что его электрон в каждый момент времени обладает строго определенными положением и импульсом з).
Матричная механика Гейзенберга, Бориа и Иордана не включает понятия электронной орбиты. Рассматривая только наблюдаемые на опыте величины, такие как частоты и интенсивности излучения атомов, теория каждой физической величине сопоставляет некоторую матрицу. В отличие от алгебры обычных величин матричная алгебра в общем случае некоммутатнвна 4), именно это существенное обстоятельство отличает новую матричную механику от механики классической. Уравнения движения динамических переменных квантовой системы являются матричными уравнениями. Следуя принципу соответствия, мы принимаем, что эти уравнения формально совпадак г с уравнениями (содержащими обычные величины), которые описывают соответствующую классическую систему. Волиовая механика Шредингера ') внешне выглядит совершенно иной теорией. Истоки ес восходят к работам Луи дс Бройля а), посвященным материальным волнам (волнам ') Этот вывод следует сравнить с результатами обсуждения опыта Франка н Герца в конце первой главы, где было показано, что существование непрерывной траектории бомбардвру1ощего электрона несовместимо с квантованием энергетических уровней атома мишени.
Признание суще" твования дискретных квантовых уровней знергии атома ведет к отказу от понятии траектории электрона. 4) Определение матриц и изложение их основных свойств содержится в гл. ЧП и ЧШ, где мы увидим, что существует тесная связь между матрицами и линейными операторамн, о которых пойдет речь ниже ($ 11). з) Е, Ясйгог((пяег, Апп. б. РЬуз. 79, 361, 489 (1925); 80, 437 (1926); 81.
109 (1926). ') Е. г(е Вгояле, Мащге 112, 540 (1923); Диссертация (1924); Аппа1ез бе Рьуыйпе 2 (1925). 56 ГЛ, П ВОЛНЫ ВЕ!ЦЕСГВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА вещества), Пытаясь установить основные принципы единой тео. рии вещества и излучения, де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм выражает фундаментальное свойство всех микроскопических объектов и, следовательно, вещество, подобно излучению, также обнаруживает и волновые, и корпускулярные свойства. Установив соответствие между динамическими переменными корпускулы и величинами, характеризующими ассоциированную с корпускулой волну, он сумел с помощью полуколичественных рассуждений получить правила квантования Бора — Зоммерфельда.
Предположение де Бройля о волновой природе частиц вещества получило непосредственное подтверждение через несколько лет в результате открытия явлений днфракции частиц, аналогичных соответствующим явлениям волновой оптики. Между тем Шредингер, развивая и обобщая понятие волн вещества, открыл уравнение распространения волновой функции, представляющей данную квантовую систему. Это фундаментальное уравнение может быть выведено путем применения простого правила соответствия из функции Гамильтона соответствующей классической системы.
Уравнение Шредингера лежит в основе волновой механики, Как показал Шредингер г), волновая механика и матричная механика эквивалентны. Они дают две частные формулировки одной единой теории, которая может быть представлена в самом общем виде. Разработка общего формализма квантовой теории была осуществлена Дираком з). В результате возникла квантовая нерелятивистская теория материальных частиц. Она была дополнена квантовой теорией электромагнитного поля э), что привело к построению единого согласованного теоретического метода, позволяющего исследовать все задачи, касающиеся физики систем материальных частиц в нерелятивистском приближении и их взаимодействия с электромагнитным полем.
Добавим, что внутренняя непротиворечивость теории и глубокое понимание физического смысла ее формализма были достигнуты только после работ Бориа, Гейзенберга и Бора'о), Основное ') Е. Ясйтбн!пйет, Апп. д. РЬуэ. 79, 734 (1926). э) Р. А. М. Виас, ТЬе Рг)пс!р!еэ о! Яцвп!шп МесЬвп)сз, Ох!огб С)вгепбоп Ргезз, 1 изд. 1930, 4 изд. 1958. Русский перевод: П. А.
М, Дирак, Принципы квантовой механики, пер. с 4-го нздвння, Фнзмвтгиз, 1960. э) Р. А. М, 0(гас, Ргос. Яоу. 3ос. А 114, 243, 710 (!927); Р. уотаап, ЯГ, Раий, 2енэсЬ. !. РЬуз. 46, 151 (1928). 'э) М. Воти, лепясь. !. РЬуэ. 38, 803 (1926); йг. Неыепйетй, ХеНэсь. !. РЬуэ. 43, 172 (!927); Ф. Войт, Ыв(путч)зэ. НЬ 245 (1928); !7, 483 (1929); 18, 73 (1930). Глубокое освещение физической интерпретации теории можно нвйтн в книгах: йу. Не!эепЬетя, 01е рьуэ!Ьв!ысьеп РГ1пт)р(еп бег Опзп(еп!Ьеот(е, Мзппье!щ, 1958; Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
