1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Эта постоянная определяется из того условия, что соответствие между р и й нс должно зависеть от направления движения по оси координат. 'з) Второе соотношение (б) получается с точностью до постоянного вектора, который мы выбираем равным нулю, чтобы соотношение нз зависело от вращения системы координат (см.
предшествующую сноску). 62 Гл, и. ВОлны Веп1естВА и уРАВнение шРединГЯРА ч 4г Волновой пакет в медленно меняющемся поле Предшествующие результаты н, в частности, соотношения (5) справедливы и в случае, когда частицы движутся в медленно меняющемся поле, причем условие классического приближения сводится к требованию, чтобы изменения поля на расстояниях порядка длины волны частицы были пренебрежимо малы.
Законы распространения соответствуют законам геометрической оптики. В частности, пакет волн ограниченных размеров, аналогичный тем, которые рассматривались в предыдущем параграфе, следует вдоль луча со скоростью, равной групповой скорости пакета. Чтобы можно было отождествить движения волнового пакета и классической частицы, необходимо: а) чтобы лучи, соответствующие (круговой) частоте оз, были идентичны классическим траекториям частоты с энергией Е= иго; б) чтобы групповая скорость вдоль каждого луча была равна скорости соответствующей классической частицы, Траектории классической частицы определяются принципом наименьшего действия (1.12); если рассматривать траектории с заданной энергией Е, то функция Лагранжа, согласно уравнению (1.13), есть 𠆄 — Е, и принцип записывается в виде и'г м, Ы1з Ь ~ рг(Г=О. м~ Следовательно интеграл 11т, вычисляемый вдоль некоторой кривой, соединяющей точки М1 и Мз, имеет экстремальное значение, когда эта кривая есть траектория истинного движения частицы от М, к М,.
Импульс р"), вообще говоря, есть функция положения частицы Г и ее скорости и =с(г/111, т. е, функция точки положения на кривой и направления касательной к кривой в этой точке. В случае иерелятивистской частицы в области действия скалярного потенциала )г(г): Е= Р + 1г(г) и р=лгп, (6) причем импульсы и скорости параллельны (р 1! 11Г). Но принцип наименыпего действия имеет силу и в более общих случаях, например, для частицы, движущейся в магнитном поле. При заданной частоте ю лучи в геометрической оптике определяются другим вариационным принципом, принципом Ферма, н) Во избежаиие недоразумений отметим, что под импульсом р мы всюду подразумеваем вектор, компоиаиты которого суть производные функции Лаграижа по компонентам скоростей (зтот вектор сщс называют обобщаииым импульсом или канонически сопрпжаииым импульсом); под количествол движения мы понимаем произведение скорости иа массу, З К КВАНТОВАНИЕ УРОВНЕИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ который может быть выражен в следующей форме: м1 61Н— = 6 1 йй'=О, м, где й есть волновой вектор.
Интеграл уиь вычисленный вдоль данной кривой, соединяющей точки М! и Мь называется оптической длиной пути вдоль этой кривой. Принцип Ферма утверждает, что луч, соединяющий М! и Мм есть кривая, вдоль которой оптическая длина пути экстремальна. В общем случае волновой вектор й (перпендикулярный поверхностям равной фазы) зависит от положения на кривой и от направления касательной к кривой. В изотропной среде, когда фазовая скорость не зависит от направления, вектор й направлен по касательной к кривой, а его абсолютная величина й = 2И/Х зависит только от положения на кривой и не зависит от направления распространения. Однако принцип Ферма применяется и в случае неизотропных сред. Нетрудно видеть, что оба вариационных принципа совершенно аналогичны по форме.
Чтобы лучи, соответствующие частоте в, можно было сопоставить классическим траекториям с энергией Е (условие а)), достаточно, чтобы й и р были пропорциональны р = ай. Константа пропорциональности а может быть найдена из условия б). Групповая скорость О представляет собой градиент по й частоты в; следовательно ! а Ое = — пгадр Е= — пгадрЕ. 6 Ь Что касается скорости частицы, то она дается формулой О = пгабрЕ.
Эти две скоРости Равны, если а = в. Таким образом, мы вновь получаем соотношения (5). В случае нерелятивистской частицы в медленно меняющемся поле скалярного потенциала Р'(г) волна распространяется в изотропной среде, и длина волны (см. уравнение (6)) дается выражением 6= — = 6 А р ~2и (и — 1~ (р)) й 5. Квантование уровней энергии атомов Теория воли вещества позволяет просто получить условия квантования уровней энергии атомов. Рассмотрим, для определенности, задачу об атоме водорода. Пусть мы имеем эллиптическую орбиту с энергией Е, Соотноше- 64 гл. и, волны ввщаства и нвавннннн щнндингвна ния (5) позволяют определить вектор й в каждой точке орбиты.
При каждом обороте фаза волны увеличивается на ~> йон. Чтобы волновая картина была стационарной, необходимо, чтобы это изменение фазы было равно целому числу 2п. Это дает условие квантования (~ р с(г = Ь~~ й г)г = п)т (и целое ) О), что можно переписать, используя обозначения первой главы, в следующем виде: 1р,йг+ 1р йр=пй. Аналогичные рассуждения позволяют получить правила квантования Бора — Зоммерфельда во всех случаях периодических и многопериодическнх движений. Конечно все эти результаты имеют смысл только в приближении геометрической оптики, когда понятия длины волны и волнового вектора сохраняют свое значение.
В частности, нельзя утверждать, что условия квантования сохраняют свою форму в случае малых квантовых чисел. Установленным является только факт квантования энергии, обязанный своим происхождением условию существования стационарной волны. Для рассмотрения более общих случаев следует отказаться от приближенной теории, расширить область ее применения, как это делается в классической оптике при переходе от оптики геометрической к оптике волновой'в). Коль скоро мы постулировали существование волн вещества, следует найти уравнение, описывающее их распространение. Но прежде чем обратиться к этой проблеме, разберем вопрос об экспериментальных подтверждениях существования волн вещества.
й 6. Дифракция волн вещества Возможности экспериментальных наблюдений зависят, конечно, от длины волны, соответствующей изучаемому объекту. Когда мы имеем дело с макроскопическими предметами, длины волн столь малы, что всякие волновые эффекты практически иенаблюдаемы. Напротив, в случае объектов атомных размеров можно образовать пучки с длиной волны, сравнимой с длиной и) Отсюда и происходит название волновой механики. за.
диоракция волн внщнстнд волны рентгеновского излучения и, следовательно, осуществить опыты, аналогичные рентгеновской дифракцин на кристаллах 'и). Первые опыты по дифракции волн вещества были сделаны с помощью электронов (дигрракция электронов) Дэвисоном и Джермером (1927 г.), Г. П. Томсоном (1928 г.) и Руппом (1928 г.). Дэвисон и Джермер изучали отражение на монокристалле и наблюдали пятна Лауэ, Г.
П. Томсон и Рупп исследовали кольца Дебая — Шерера, получаемые при прохождении пучка через тонкую поликристаллическую мишень. В этих экспериментах первоначальный пучок получался в результате ускорения электронов в электростатическом потенциале. Если Е есть энергия электронов в электронвольтах, то длина волны де Бройля, измеряемая в ангстремах, равна В случае энергий от 1 до 100 кэв мы оказываемся в области обычной спектрографии кристаллов. Зная параметры кристаллической решетки, можно из наблюдаемой интерференционной картины получить экспериментальное значение длины волны электрона; это экспериментальное значение находится в прекрасном согласии с теоретическим значением де Бройля. Аналогичные опыты по дифракции на кристаллах производились с моноэнергетическими пучками атомов гелия и молекул водорода (Стерн, 1932 г.), что дало новое подтверждение соотношениям де Бройля.
В этих опытах длина волны соответствовала движению центров тяжести каждого атома или молекулы пучка. Те же наблюдения могут быть сделаны с использованием пучков медленных нейтронов, получаемых в ядерных реакторах. Все эти опыты показывают, что волновые свойства присущи не только электронам, а являются общим явлением, характерным для всех материальных объектов. и) Рассмотрим для определенности частнпу, участвующую в броуновском движении. Наиболее мелние частицы этого рода имеют диаметр порядка микрона и массу М м 1О™ г.
В термодинамически равновесном состоянии при обычных температурах их средняя кинетическая энергия ай АТ равна примерно 0,4 1О™ эра, что соответствует средней длине волны Х= — = =5 1О А. й 6 Р ч(амат При той же энергии атом гелия имеет длину волны Х вЂ” 0,9 А, нейтрон— л ян 1,8 А, а электрон — Х яэ 77 А. 3 Л, Мессиа 66 ГЛ. !Ь ВОЛНЫ ВЕШЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА й 7. Корпускулярная структура вещества Опираясь на аналогию между волнами вещества и классической волновой оптикой, можно задаться вопросом, нельзя ли полностью отказаться от понятии частицы вещества и заменить классическую теорию чисто Волновой теорией, где волна ф(Г, О играла бы роль, аналогичную роли электромагнитного поля в теории излучения, Тогда образы корпускул, порций энергии и локализованных импульсов будут заменены образом протяженной волны с непрерывным распределением энергии и импульса. Частицы классической механики будут представлены волновыми пакетами конечной протяженности, но в достаточной степени локализованными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
