1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образом, если Н не зависит явно от времени, то через каждую точку Р фазового пространства проходит одна и только одна траектория, представляющая возможное движение системы. В обычном случае /. представляет собой разность между кинетической энергией Т (являющейся квадратичной функцией 4)) и потенциальной энергией )Г; функция Н = Т + 4г есть полная энергия системы, представленная как функция 4/ и р.
Однако формализм Лагранжа и Гамильтона применим при описании самого широкого класса динамических систем (см. задачу 4). Во всех случаях можно рассматривать Н как полную энергию системы. Из уравнений Гамильтона следует, что Н вЂ” = г(Н/444 = дН/дг; это значит, что если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то полная энергия системы есть интеграл движения. Такие системы называются консервативными.
В качестве примера рассмотрим электрон в кулоновском поле протона (предполагаемого бесконечно тяжелым). Пусть г(х, у, г) есть радиус-вектор электрона в системе координат с началом В точке, где находится протон, о = 4/г/4(г' — скорость, р(ЄЄ, ре) — импульс электрона.
Функция Лагранжа есть ! з ее Е = — то'+ —. 2 г Обобщенный импульс электрона имеет компоненты р, = д/,/дп, Р„= д/./дпе, Р,= дЬ/до„которые равны составляющим его количества движения. Из функции Гамильтона Н= — —— Р' 24В Г получаем уравнения Гамильтона «г р 44Р, е' — — — = агаб — = — е— ГЛ. Ь ИСТОКИ КВАИТОВОИ ТЕОРИИ Пользуясь этими уравнениями, легко проверить, что момент импульса (количества движения) 1 = [гр1 является интегралом движения: И/Л = О (что является следствием центрально-симметричного характера потенциала — еЧг) и что траектория электрона лежит в плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной постоянному вектору 1. Аналогично можно получить уравнения движения, используя всякую другую систему координат.
Для траекторий, расположенных в плоскости ху (г = й=О), в полярных коордииа тах получаем (х = гсоз1р, у = гз(п1р) Ь= ~ [(г2+(гф)2)+ —,, р,=тг, р =л2гзф, Н вЂ” Р+ ЯИ3 2 Г2 Г откуда следуют уравнения Гамильтона: Рч Р,=О, (15) Ря « Р, 2 2 Р« — з,2 э РР равно абсолютной величине момента количества движения: это действительно интеграл движения. й 16. Правила квантования Бора — Зоммерфельда Старая квантовая теория по существу представляет собой общий метод вычисления квантованных величин, основанный на постулатах Бора и принципе соответствия. Процедура такова: предполагается, что системы материальных частиц подчиняются законам классической механики; постулируется, что из всех возможных решений уравнений движения должны быть отобраны только те, которые удовлетворяют некоторым правилам, вводимым а11 Ьос.
Происходит отбор некоторого дискретного семейства движений, причем согласно гипотезе только эти движения и могут реализоваться на практике. Каждому из возможных движений соответствует определенное значение энергии; дискретный ряд получаемых значений энергии представляет собой спектр квантованных энергетических уровней. Аналогично получают дискретный спектр разрешенных значений для любого другого интеграла движения. Определение «правил квантования» есть центральная проблема старой квантовой теории. Она решается по существу иа основе интуиции: сначала постулируются правила, а затем спектры квантованиых физических величин, следующие из этих й !З.
ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ БОРА — ЗОММВРФВЛЪДА 45 правил, сравниваются с экспериментальными значениями. Прн этом важную роль играет принцип соответствия. Существует очень простая ситуация, когда этот принцип позволяет без труда получить искомый результат: это случай, когда классическое движение является периодическим, причем частота есть функция одной только энергии чкл = тлл (Е) Именно эта ситуация реализуется в атоме водорода (см. уравнение (8)). Пусть Еь Ез, ..., Е, есть последовательность квантованных значений энергии. Можно считать, что энергия системы есть непрерывная функция Е(п) квантового числа а, так что дискретность значений энергии является следствием дискретности значений аргумента и. Повторяя рассуждения й !3, касающиеся вычисления постоянной Ридберга, можно получить соотношение соответствия между классической и квантовой частотами (см. уравнение (10)) 1 ле — — Ркл (Е), ) Ив кл откуда получается правило квантования в — = ЛЬ+ сопз1, г)Е тлл (Е) справедливое для больших значений п, Естественно распростра- нить это правило на все значения и и положить (и=1, 2, ..., Оо) (16) ппип (Е,„— есть минимальное.
значение энергии классической системы), В случае атома водорода это правило квантования вновь приводит к формуле Вальмера. Это правило применяется также и к периодическим системам с одной степенью свободы. В этом случае его можно выразить в форме, более удобной для обобщений. Пусть д есть координата положения такой системы, р — ее импульс, Н(д, р)— полная энергия. Фазовое пространство имеет два измерения, а периодическое движение представлено замкнутыми кривыми Н(д, р) = сопз1 в этом пространстве 'з).
Можно показать, 'л) Если д есть циклическая переменная (например, угловая переменная), иначе говоря, если значения ф отличаюпгиеси на целые значения некоторого периода О, представляют одинаковые конфигурации системы, то периодическое движение представляется в фазовом пространстве не замкнутой кривой, а кривой с периодом Ч. ГЛ Ь ИСТОКИ КВАИТОВОИ ТЕОРИИ 46 используя уравнения Гамильтона, что ЕРИК где символ $ означает интегрирование по полному периоду движения с энергией Е (интеграл $ р Нд называется интегралом действия).
Так мы получим правило квантования, эквивалентное правилу (16): $рдд=пй (и=1, 2, ..., ОО), Формула определяет как разрешенные траектории в фазовом пространстве, так и соответствующие квантоваииые значения энергии. Это правило известно как правило квантования Бора — ЗОАсиерфельда. Вильсон и Зоммерфельд обобщили это правило на случай многопериодических систем. Это системы с несколькими степенями свободы, движение которых может быть представлено при соответствующем выборе обобщенных коордииат дь дь ..., да и обобщенных импульсов рь рь ..., ра с помощью последовательности функций р~(д~), р~(дк), ..., ра(да); иначе говоря, траектории в фазовом пространстве таковы, что каждый импульс зависит только от соответствующей координаты. Каждая функция р,(д,) представляет периодическое движеиие с частотой т,; движение всей системы является комбинацией периодических движенвй с частотами ти тз...
тк. В этом случае правилами квантования служат Е соотиошеиий ~р,,(д,=п,й (г=|„2, ..., Е); (18) Е целых кваптовых чисел иь а„..., иа определяют квантовая» ные траектории системы и квантованиые значения различных интегралов движения, таких как энергия, момент количества движения и т. д. Энергия Е(лиль ..., ак), рассматриваемая как функция переменных пи ам ..., пж удовлетворяет условиям со. ответствия — йт, (г=1,2, ..., Д). дЕ даР Р .+ Г В качестве приложения кратко рассмотрим квантование атома водорода. После выбора плоскости электронной орбиты мы получаем задачу, уравнения которой в полярных координатах уже были выписаны (уравнения (15)).
Момент импульса 4 ~а. правила квантования вона — зоммнновльдл 47 и энергия являются интегралами движения. Бслн фиксировать соответствующие значения Е (= О) и Е ( О) этих двух величин, мы получим возможную траекторию классического двнжер чт ч хь'а/ж'. Компоненты импульса ре и р, являются функциями соответствующих им сопряженных координат. Действительно 1 г.х е' — (р'+ —,) — — = Е.
Поэтому можно применить правила квантования Бора — Зом- мерфельда: $р, г(хр=й, $р,г1г=йй, где 1 в азимутальное квантовое число н й — радиальное квантовое число являются целыми положительными числами (или нулями). Первое правило дает квснтованное значение момента импульса (количества движения) А=И. Второе же правило, после достаточно длинного, ио нетрудного вычисления, приводит к соотношению ~/'"'"' — 2пй = йй, ( — Е) откуда, вводя «главное квантовое число» п = 1 + й, получаем формулу Бальмера лы' Ел — чах х с тем же значением постоянной Ридберга, что и полученное ранее (уравнение (11)).
Квантованная энергия зависит только от суммы двух квантовых чисел 1 и )г. Это свойство, характерное для кулоновского потенциала, связано с тем обстоятельством, что азимутальная и радиальная частоты равны друг другу: уе = ч,. Энергии Е„ соответствуют п квантованных орбит, определяемых значениями 1 = 1, 2, ..., и (по причинам, которые мы не будем здесь обсуждать, значение 1 = 0 исключается); это эллипсы с эксцеитриситетом 1/1 — (х/их .
Значение ( = и соответствует круговой орбите") (см. рис. 6). 'ге же правила квантования можно применить к релятивистским уравнениям движения и получить таким образом реляти- ") Квантование круговых орбит позволило Бору уже в 1913 г, получить формулу Бальмера. Квантование эллиптических орбит было проведено Зоммерфельдом, который распространил теорию на релятивистский случай ,(см. ниже). Гл,т, ИСТОКИ КВАИТОВОИ ТЕОРИИ вистские поправки в теории атома водорода. Получающееся значение постоянной Ридберга находится в еше лучшем согласии с опытом (см. сноску га)). При этом происходит снятие «вырождения» уровня энергии: каждому значению н соответствуют и близких, но различных значений энергии, соответствующих различным значениям момента импульса (л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
