1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Войт, А1огп)с рЬуэ!сз впд 1пппвп Ьпоут)едяе, !Ч11еу, Ы. Ч., 1958 — русский перевод: Н. Вор. Атомная физика и человеческое познание, ИЛ, !961. В этих работах содержится изложение твк называемой $ !. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОВЗОР И ОВЩИИ ПЛАН ПОСЛЕДУЮЩЕГО 57 содержание этой книги посвящено изложению аппарата и приложений нерелятивистской квантовой механики. Проблемы релятивистской квантовой механики будут рассмотрены только в последней части; мы ограничимся в основном изложением релятивистской теории электрона Дирака и), ее основных применений и трудностей. Наиболее элегантным и во многих отношениях наиболее удовлетворительным способом изложения квантовой теории является тот, который основывается на общем формализме.
Однако при этом сущность физических явлений может оказаться скрытой за математическим аппаратом, имеющим абстрактный характер. Волновая механика с ее более привычными представлениями о волнах и уравнениях в частных производных лучше подходит для первого ознакомления с теорией. Кроме того, именно в этой форме квантовая теория чаще всего используется в приложениях. Поэтому мы приступим к квантовой теории с общего изложения волновой механики. Эту главу мы начнем обсуждением понятия о волнах вещества, затем получим уравнение Шредингера и обсудим его основные свойства; в частности будет показано, каким образом с помощью этого уравнения определяются уровни энергии стационарных состояний.
Чтобы научиться работать с уравнением Шредингера, мы посвятим гл. ГП изучению простых задач, касающихся квантовых систем в одном измерении, и докажем несколько теорем об этих системах. Это даст возможность подойти к общим проблемам истолкования квантовой теории; им будет посвящена гл. 1Ч. Глава !7 посвящена развитию формализма волновой механики н его статистической интерпретации, согласно принципам, сформулированным в гл. 1ьг. статистической интерпретации квантовой механики копенгагенской школы. Именно этой интерпретации мы будем придерживаться в данной книге. После резкой борьбы мнений и споров она была принята подавляющим большинством физиков.
Тем не менее, эта интерпретация насчитывала (и насчитывает до сих пор) немало непримиримых противников, среди которых надлежит отметить Эйнштейна, Шредингера и де Бройля. Речь идет о разногласиях, которые не могут быть разрешены на основании только результатов экспериментов. Разногласия касаются общих философско-мировоззренческих вопросов истолкования науки, а не физической науки как таковой. Освещение основных этапов дискуссии можно найти в книгах: А!Ьегг Е!пз(е!и, РЫ!оеорйег— 5с(еп1!з1, Р. А.
5срд1рр ед., Тпбог Рпй. Со., )Ч. у., 1949 апй 1951 (см. в особенности статьи Бора и Эйнштейна) и Е. йе Вгоя!!е, Ба Тйеог!е де 1а Мезоге еп Месап!Чое Опбп1а1о!ге, Оапняег — т!!1агз, Раг(з, 1957. См. также А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, том 3, «Наука», 1966. Фнзнческие и теоретико-познавательные основы квантовой механики рассмотрены в книге: В, А. Фок, Начала квантовой механики, «Наука», 1976 (см. в особенности гл. 1 этой книги). и) Р. А. М, В(гас, Ргос. коу. 5ос. АН7, 610 (!928); А118, 351 (1928). 38 гл, и.
волны вещества и хехвнвния пп вдингеех В гл. У1 рассмотрено квазиклассическое приближение в вол. новой механике. И только после того как будет представлена общая картина теории на языке волновой механики мы перейдем в гл. ЧП и ЧП1 к изложению формального аппарата квантовой теории. Р е з д е л 1. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА В 2. Введение Открытие двойственной — волновой и корпускулярной — природы света явилось одним из наиболее впечатляющих результатов введения квантов в физику. Предположим, что и вещество обладает аналогичными свойствами корпускулярно-волнового дуализма; подобно тому как электромагнитная волна ассоциируется с фотоном, допустим, что каждой материальной частице сопоставлена волна, круговая частота которой в связана с энергией частицы Е соотношением Эйнштейна Е = Вы.
Если принять эту точку зрения, то атом должен будет обладать свойствами резонирующей полости (резонатора) с дискретным рядом собственных частот; это позволит объяснить эффект квантования энергетических уровней атома. При этом открывается возможность построить единую теорию, в которой вещество и излучение будут выступать как разновидности объектов одйой природы, обладающих свойствами и волны, и корпускулы. Эти предположения, руководившие де Бройлем в его теории волн вещества, оказались, как мы увидим в дальнейшем, полностью оправданными. Основные свойства волн вешества получаются по аналогии с оптикой. Как и в случае фотонов, мы допускаем, что значение интенсивности ассоциированной волны в каждой точке пропорционально вероятности обнаружить частицу в этой точке.
Частица будет локализованной в пространстве тем лучше, чем меньшую область в пространстве занимает волна. Условия справедливости классической механики реализуются тогда, когда в течение всего времени область локализации волны можно рассматривать как точку и приписать частице определенную траек. торию движения. Аналогичная ситуация встречается в оптике, если длиной волны света' можно пренебречь по сравнению с другими характерными длинами: это приближение геометрической оптики, когда волновые свойства не проявляются. Приближение справедливо, когда оптические свойства среды, в которой распространяется свет, остаются практически постоянными на расстояниях порядка нескольких длин волн (~пгаб).~ к, 1).
Это приводит к заключению, что классическая теория частиц должна быть применима в случае отсутствия Э 3 ВОЛНОВОИ ПАКВТ. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ 59 внешних полей или медленно меняющихся полей, а также если мы не стремимся слишком точно локализовать частицу. Этн выводы находятся в согласии с общеизвестными результатами, касающимися движения атомных и субатомных частиц в квазистатических и квазиоднородных полях: траектории заряженных частиц в статических электрических и магнитных полях, отклонения парамагнитных атомов в опыте Штерна — Герлаха и т.
д. В этих предельных случаях теория волн вещества должна быть эквивалентной классической теории частиц (принцип соответствия). й 3. Свободный волновой пакет. Фазовая и групповая скорости Рассмотрим волновое движение в однородной и изотропной среде. Наиболее простым типом волны является плоская моно- хроматическая волна е'<АГ-"П, (1) которая представляет колебание с длиной волны Х = 2п/й, распространяющееся в направлении волнового вектора й с постоянной скоростью. Скорость, о которой идет речь, есть скорость перемещения плоскости равной фазы, нли фазовая скорость Ф / Частота в не зависит от направления й, но, вообще говоря, может зависеть от абсолютной величины этого вектора.
Поскольку всякая волна может рассматриваться как суперпозиция плоских монохроматических волн, знания «закона дисперсииэ ы(й) достаточно для исследования поведения любой волны с течением времени. Согласно нашей гипотезе каждая частота в соответствует вполне определенной энергии частицы Е = йГВ. (2) Естественно поэтому сопоставить волну (1) прямолинейному равномерному движению с энергией Е в направлении й. Изучение классического приближения позволит нам связать й с импульсом р частицы. Для этого следует сопоставить частице волну конечной протяженности. Волна (1), конечно, не удовлетворяет этому требованию, но ему можно удовлетворить, если воспользоваться суперпозицией волн с близкими волновыми векторами.
Это значит, что следует рассмотреть волновой пакет $(г,) ~((й)спи,-мпйй~ 60 гл. и. волны вещества и трхвненив шредингера Обозначим буквами А и а модуль и фазу амплитуды /, соответственно. По предположению А обладает заметной величиной только в некоторой области, окружающей й. Следует выяснить в какой мере и при каких условиях «движение» волнового пакета может быть сопоставлено движению классической частицы. Ради простоты рассмотрим вначале волновой пакет в одном измерении ф(х г)= ~ /(й)е'ы'"-ан пй' Положим ф = а'х — в'г'+ а, тогда ф(х, 1) есть интеграл от произведения функции А, имеющей резкий максимум в области Е1 шириной Лй, окружающей точку й' = я, и осциллирующей функции е'~.
Если осцилляции функции егя в области В достаточно многочисленны, то вклады различных частей области аннулируют друг друга, так что величина ф оказывается крайне малой. Наибольшие абсолютные значения ф получаются в том случае, когда фаза ф остается почти постоянной в области О, т. е.
дфЯй ж О (символ а/ай означает производную по й', когда й' = а). Следует потребовать, чтобы гев имела не более одной осцилляцни в области х): дй!а! <1. Поскольку аф ав аа — =х — г — + —, па дь «ь ' волна ф(х, г) практически локализована в области с размерами 1 Лх ж— ьь ' окружающей «центр волнового пакета», определенный условием (йр/~й) = О, т. е. Лв аа х=г — „ ««а«' Эта точка равномерно движется со скоростью (3) которая называется групповой скоростью волны ек» '1. Именно эта скорость ог, а не фазовая скорость ию должна быть отождествлена со скоростью частицы в классическом приближении предельной локализации пакета: — — в нерелятнвистском приближении).
де г р ар й 3. ВОлнОВОЙ пАкет. ФАЗОВАЯ и ГРУппОВАЯ скОРОсти б) Из условия о = ол и соотношения (2) находим 'з) соотношение де Бройля р = пя = л|)ь. (4) Это рассуждение без труда обобщается на волновой пакет в трех измерениях: центр пакета равномерно перемещается со скоростью Оа= йтас)ае, (3') причем групповая скорость должна быть отождествлена со скоростью частицы О= цгадрЕ. Последнее сотношение вместе с соотношением (2) позволяет найти связь1з) между динамическими переменными частицы и величинами, характеризующими ассоциированную ей волну: (5) Эти соотношения идентичны соотношениям (1.4), полученным для случая фотона.
В заключение рассмотрим полученные результаты с точки зрения принципа относительности. В нерелятивистском приближении энергия Е определяется только с точностью до некоторой постоянной; изменить начало отсчета энергии значит добавить к частоте ю(й) некоторую постоянную частоту шз (уравнение (2)), т. е. умножить функцию ф(Г, 1) иа фазовый фактор е "ь'. Это не меняет предшествующих результатов, касающихся движения волнового пакета, и соотношений (5), которые из них вытекают.
Однако полученные результаты ни в коей мере не зависят от нерелятивистского приближения. Принцип относительности позволяет определить точную энергию Е= )г'лгзс" + р'с' и соответствующую ей частоту ш. Энергия Е и импульс р являются компонентами одного 4-вектора (принимаем с = 1). То же самое можно сказать относительно частоты ю и волнового вектора й. Соотношения (5) удовлетворяют принципу относительности: оии означают, что 4-векторы (Е, р) и (ш,й) пропорциональны друг другу. и) Строго говоря, зтн два условия позволяют определить й как функцию р только с точностью до аддитивной постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
