1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Как мы увидим далее, число атомов, остающихся в возбужденном состоянии — подобно числу нераспавшихся радиоактивных ядер— уменьшается по экспоненциальному закону, характеристическая постоянная которого равна вероятности перехода в единицу времени или, что по существу одно и то же, обратной величине среднего времени жизни возбужденного состояния, Так возникла проблема включения вновь открытых явлений квантования физических величин (ценой отказа от некоторых классических концепций) в некую согласованную теорию строения вещества, которая позволила бы вычислять точные значения квантованных величин, а также количественно описывать различные возможные переходы, например, вычислить среднее время жизни возбужденного состояния атома, которое было упомянуто выше.
Эта программа была полностью осуществлена только после создания квантовой механики в ее современной форме. Однако еще ранее Бор и его школа (Крамерс, Зоммерфельд) создали первый набросок квантовой теории, способной, в частности, правильно предсказывать спектральные термы водородоподобиых атомов. Несмотря на многие принципиальные трудности и ограниченность этой старой квантовой теории, полезно знать ее основные положения, чтобы лучше понять после- 3 и. пеинцип соответствия дующее развитие теории. Кроме того, в старом квантовой теории был впервые использован важный эвристический принцип, игравший большую роль в развитии квантовой механики, а именно — принцип соответствия. Ему будет уделено основное внимание в последующем изложении результатов старой квантовой теории.
Она была дополнена полуклассической теорией взаимодействия между светом и веществом, также основанной на принципе соответствия, но в данной книге мы не будем касаться этого вопроса !»). $ 12. Иринцип соответствия Принцип соответствия был сформулирован Бором только в 1923 г. "), но он явился руководящей идеей во всех его предшествующих работах, Этот принцип позволяет выяснить, в какой мере понятия и результаты классической механики могут помочь в'построении и интерпретации правильной теории.
Мы уже обсуждали ранее, при введении световых квантов, область применимости классической теории излучения. То, что тогда было сказано, справедливо по отношению ко всей классической теории в целом. Она корректно объясняет очень большой диапазон физических явлений как в макроскопической области, так и в некоторых случаях в области микроскопической; отметим среди последних движение электронов в постоянных электрических и магнитных полях, тепловое движение атомов н молекул в газе и т. д.
Главная трудность, с которой сталкивается классическая теория на микроскопическом уровне, состоит в характерных явлениях дискретности и разрывности значений физических величин. Можно поэтому считать установленным, что классическая теория «микроскопически корректна», т. е, она правильно описывает физические явления в том предельном случае, когда квантовые скачки могут считаться пренебрежимо малыми; во всех этих случаях предсказания истинной теории должны совпадать с результатами классической теории. Это очень важное ограничивающее условие, которому должна подчиняться кван. товая теория.
Можно более кратко сформулировать данное требование, сказав, что асимптотически в пределе болыиих квантовых чисел результаты квантовой и классической теории должны совпадать. ") См. 1,. пе Вгодие, (л рппс!ре г(е согге»ровд»все е! 1«з !и!«гас!!оп» еп!ге пг»1!еге «1 гауьппепгеп(, Ас!ча!Нь» 3«ып!Вдяче» «1 1печ»(г!е!!ев, Неппапп (!938). и) А!. Варяг, Х«!!»«Л.
1. РЛу». 13, 117 (1933). ГЛ ! ИСТОКИ КВЛНТОВОИ ТЕОРИИ 40 Для выполнения этого условия мы исходим из суи4ествования формальной аналогии между квантовой и классической теориями; это «соответствие» прослеживается вплоть до самых тонких деталей и может служить руководящей идеей при истолковании результатов новой теории. 5 13. Применение принципа соответствия при вычислении постоянной Ридберга Проверим, что выражение (7) для уровней энергии атома водорода согласуется с принципом соответствия, и покажем, что применение этого принципа позволяет однозначно получить численное значение постоянной Я, входящей в эту формулу, Согласно классической теории Резерфорда атом водорода состоит из одного электрона и одного протона, взаимодействующих по закону Кулона (потенцнал — е9г). В соответствии с законами Кеплера, которые мы предполагаем известными читателю, электрон движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится протон (мы предполагаем его бесконечно тяжелым).
Каждой орбите соответствует некоторое значение энергии Е ((0) и некоторая частота т, движения электрона по орбите. Эти величины зависят только от размеров большой оси эллипса и связаны между собой соотношением (8) где гп — масса электрона. При своем движении электрон испускает электромагнитное излучение в форме суперпозиция монохроматических волн с час. тотами т„, и кратными гармониками, причем число высших гармоник тем больше, чем больше эксцентриситет эллиптической орбиты. Это излучение происходит непрерывно и сопровождается непрерывным уменьшением энергии Е.
Эта картина должна быть сопоставлена со скачкообразным процессом потери энергии электроном, предсказываемым теорией Бора. При очень больших п расстояние между уровнями «Е 2«Ь . энергии пропорционально — = — ; для всех оптических переЛл кл ходов, когда относительное изменение квантового числа Лп/и очень малб, излучаемая частота, как и в классической теории, есть гармоника (порядка Лл — 1) некоторой основной частоты (9) В предельном случае больших и энергия Е„изменяется практически непрерывно путем многочисленных мелких скачков, так что спектр испускаемых частот (точнее, низкочастотная часть $!4.
ЛАГРАнжеВА н ГАмнльтОнОВл ФОРмы уилвнения 4! этого спектра, соответствующая наиболее малым квантам энергии) должен по принципу соответствия совпадать с классическим спектром. Иначе говоря, Рке Ркл (Е). (1О) Л +се Сравнение выражений (8) н (9) показывает, что это условие выполняется, если принять 2иэте4 Я=в (1 1) Экспериментальное значение 14 известно с большой точностью (-10-'). Теоретическое значение (11) согласуется с ннм с точностью до 1О-'. Это один из наиболее ярких успехов теории Бора ").
Этн рассуждения нетрудно распространить на случай водородоподобных атомов, состоящих из электрона и ядра заряда Ее, в частности, иона атома гелия (Я = 2). Достаточно во всех формулах заменить еэ на Яеэ. Теоретически полученные термы Не+ с той же удивительной точностью порядка 10-4 совпадают с наблюдаемыми экспериментально. й 14. Лагранжева и гамильтонова формы уравнений классической механики Имея в виду дальнейшее обсуждение формального соответствия между квантовой и классической теориями, полезно напомнить некоторые результаты классической аналитической механики.
В самом общем случае динамическое состояние классической системы определяется переменными положения, т. е. обобщенными кооРдинатами 4)ь 4)з, ..., 4)и, и пеРеменными скоРости, т. е. производными по времени обобщенных координат 4)н 4)э, ... ..., 4)л, число степеней свободы системы обозначим буквой Е "). Если мы имеем дело с системой из и частиц, то в качестве переменных положения можно выбрать 8п декартовых координат этих частиц, но все последующее справедливо и при другом вы- ~4) Чтобы претендовать на совпадение с экспериментальным значением столь высокой точности, необходимо учесть, что масса протона М иа самом деле имеет конечное значение.
Для этого следует в формуле (11) заменить массу т на приведенную массу лт' = лзМ/(и +М). Учитывая эту поправку ( 5.10-'), получаем, что теоретическое значение й несколько меиыие экспериментального. Это различие имеет релятивистскую природу, что на практике выражается некоторым увеличением массы лг' ") Мы здесь рассматриваем только системы без связей, иначе говоря, переменные е могут изменяться без всяких ограничений независимо друг от друга. ГЛ, Ь ИСТОКИ КВАНТОВОИ ТЕОРИИ Величины (~Ю Р = дй, называются обобщенными импульсами Лагранжа. В том случае, когда в, есть одна из декартовых координат частицы с массой т, а силы получаются из статического потенциала, величина р, есть соответствующая компонента количества движения этой частицы р, = т!),.
Законы движения могут быть также выражены в форме вариационного принципа. Действительно, система уравнений Лагранжа эквивалентна принципу наименьшего действия (Мопертюи — Гамильтон): с, б $ К.й(=О, бм«,)=бм«,)=О, (12) смысл которого состоит в следующем: из всех законов движения М(1), позволяющих системе перейти из положения М, в момент времени 1! в положение М, в момент времени 1ь в действительности реализуется тот, который соответствует минимуму с, интеграла ~ !. а!. с, Другой чрезвычайно полезной формой выражения законов классической механики является каноническая форма Гамильтона. Заметим, что динамическое состояние классической системы в данный момент времени полностью определяется заданием ее Я обобщенных координат дь дь ..., дя н )с обобщенных импульсов р„рь ..., рг.
Удобно ввести пространство 2)т' измерений, так называемое фазовое пространство, где дина- боре координат. Положение системы в каждый момент времени может быть представлено в )т-мерном конфигурационном просгранстве точкой М, имеющей координаты д!, дь ..., дк. Задачей классической механики является нахождение законов эволюции системы во времени или, если угодно, законов движения точки М в конфигурационном пространстве. Для очень большого числа динамических систем — только их мы и будем здесь рассматривать — законы движения можно написать, вводя некоторую функцию, характеризующую систему, — функцию Лагранжа: ! == В(ць фм ° ° ° че' Чь !)г ° ° чя' 1) Координаты д удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка (уравнениям Лагранжа): — — ! — — =0 (г=!,2, ..., й).
сддх дт. д! \. ддс ! ддс $1С ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ 43 мическое состояние представляется точкой Р с координатами 4/ и р. Если определить функцию Гамильтона формулой я Н = Н(пн ..., д,; РО ..., р,; /) ='Я д,—,— /., (~З) дг. г 1 то уравнения движения записываются в канонической форме: 4)г= —. Рг= — д (г=(,2,, Н) ((4) д44' . 4тН дрг дег Это дифференциальные уравнения первого порядка. Задания координат и импульсов в начальный момент времени достаточно для определения их значений в любой последующий момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
