1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Исходя из функции Гамильтона — в декартовых координатах, мы получаем уравнение д В2 д2 д' 2й —.Ч'(х, у, "!)= — 2 ( д, + д, ) Ч'(х, у; !). Если же перейти к полярным координатам (г, !р), то нетрудно получить после простых вычислений следую2цее уравнение для волновой функции Ч'(г, гр! !), рассматриваемой как функция полярных координат: д, !!2 Г д2 ! д ! д' !д — Ч ( р; !) = — — ( — + — — + — — ) Ч'(г, Чх !). д! ' ' 2пг ~ дг2 г дг г2 д222 .) Если же правило соответствия применить непосредственно В функции Гамильтона, выраженной в полярных координатах 2 — ~р",+ —,), то мы получим другое уравнение, а именно д й2 д2 ! д' д! ( ' Р! ) 2т (дг2 + г2 дф~) 4 м. онщвя правило постпоииия крлвнпния шпвдинггра тт Чтобы избежать подобной неоднозначности, мы условимся при- менять правило (28) только в том случае, когда координаты г/ гуть декартовы координатьг "), Вторая причина неоднозначности связана с тем обстоятель- ством, что согласно правилу (28) мы вместо классических вели- чин, подчиняющихся обычной алгебре, подставляем операторьг, которые в общем случае между собой ие коммутируют.
По- этому, вообще говоря, эквивалентным формам функции Гамиль- тона могут соответствовать различные гамильтонианы. Так, двум эквивалентным классическим выражениям для кинетичерг 1 1 1 ской энергии (одномерная задача), — и — = рг/р = соот- '2 2т Ч/7 Ъ7 йг Вг йг / 1 д д ветствуют оператоРы — — — и †( = г/ 2т Вйг 2т х Ч/д дд дч ч/Ч / йгГВг 1 Ъ г г и=- — — ~ — + — ), которые отличаются на величину 6-/8тг/ .
2пг х дуг 4рг ) Никакое правило, основанное на соответствии с классиче- ской механикой, не может разрешить этих противоречий, ибо они проистекают из некоммутативности операторов, которая, в свою очередь, связана с существованием кванта действия й. Следует поэтому фиксировать форму функции Гамильтона эм- пирическим путем. Во всех случаях, имеющих практический интерес, надлежит действовать согласно следующим предпи- саниям. В декартовых координатах функция Гамильтона представ- ляется в виде суммы следующих членов: квадратичной по Р формы (не зависящей от г/), некоторой функции, зависящей только от г/, и, возможно, линейной по р функции вида Х рг!'г (Ф,..., г/л).
Если функция Гамильтона приведена ! в этом виде, то последний член в сумме заменяется на «симмет- 1 тч ризованное» выражение — у (Р!)г(г/! ° г/и)+/г(г/ь .. * г)л) Р!) а затем применяется правило соответствия (28). «Симметризация» членов, линейных по р, как мы увидим в гл. 1Ч, есть необходимое условие согласованности статистиче- ского истолкования волновой функции. Примером системы, при 'з) Это условие ие произвольно.
Оно автоматически обеспечивает ииварнантиость формы уравнения Шредингера при повороте осей координат. Можно впрочем сиять зто ограничение и сформулировать правило соответствия в коварнантной форме, вводя подходящую метрику в конфигурационном пространстве и заменяя в (28) операцию д/дд, на операцию ковариантиого дифференцирования (см.
по атому поводу: Ь. Впцои!и, Ьез Тепзепгз еп Месап1- Чпе е! еп 21азпс!Ы, Маззоп, Рапз, 1938, р. 200; см. также: В. Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, М. 1947, с. 68). 78 ГЛ и, ВОЛНЫ ВЕШЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА рассмотрении которой необходима указанная манипуляция, является частица в электромагнитном поле (уравнения (25)' и (26)).
Закончим этот параграф важным примером. Напишем уравнение Шредингера для сложного атома, состоящего из ядра с зарядом Хе и массой М и Я электронов с зарядом — е и мас. сой т. Функция Гамильтона включает Я + 1 членов кинетической энергии, Я членов кулоновского взаимодействия электро- 1 нов с ядром н — Я(Я вЂ” 1) членов кулоновского отталкивания 2 между парами электронов, т. е.
г, г и' Р! Аее 2М +Х Ее! Х )И вЂ” е ) + Е (е! — е ~ ! 1 ! ! !(/ Отсюда мы получаем уравнение Шредингера д! д г г =1 — е'(еа! ее, ц ) — е, <е, !.г,, ]е, ео! где оператор /Ая есть оператор Лапласа по отношению к вектору )!1 (т. е. дг/дХА + дг/дУА+ дг/дЯА), а оператор б! есть оператор Лапласа по отношению к радиусу-вектору е-го электрона. В частности, в случае атома водорода (Х= 1) уравнение записывается в виде (здесь М вЂ” масса протона, ге — его радиус-вектор, а г,— ра.
диус-вектор электрона). В первом приближении можно считать, что протон имеет бесконечную массу, и рассматривать атом водорода как электрон, находяшийся в притягивающем кулоновском поле †/г, причем г обозначает положение электрона в системе координат, начало которой совпадает с положением протона (по предположению в неподвижного).
Волновая функция электрона удовлетворяет уравнению Шредингера: д В! еез ей — !г'(г Г) = ~ — — б — — ) Ч'(г 1). д! ' ~ 2е! (32) д У Л! В' ее 1г! — 'Р(г, г;, () =( — — ~ — — ~е — !Р(ге, ге; !) (31) !ее — ',~г $!7. ОБЩИВ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ Раздел П1. ОРАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА $16. Исследование стационарных состояний Уравнение Шредингера квантовой системы формально записывается в виде й в( Ч"=Еч". (33) Предположим, что гамильтониаи Н от времени явно не зависит.
Это случай консервативных систем, соответствующих классическим системам, для которых энергия есть интеграл движения. Образуем решение Ч', представляющее динамическое состояние с определенной энергией Е. Такая волновая функция Ч' должна обладать вполне определенной круговой частотой «7, соответствующей соотношению Эйнштейна Е = В(В. Напомним, что это соотношение между частотой волны и энергией системы составляет основной постулат теории волн вещества. Функция Ч' записывается в виде и! -(— Ч'= фе (34) где (р зависит от координат в конфигурационном пространстве, но не зависит от времени.
Подставляя это выражение в уравнение (33), получаем уравнение (35) которое обычно называется уравнением Шредингера, не зависящим от времени, или стационарным уравнением Шредингера, Когда система представляется волновой функцией (34), говорят, что оиа находится в стационарном состоянии с энергией Е, а волновая функция (Р, не зависящая от времени, обычно называется волновой функцией стационарного состояния, хотя она отличается от истинной волновой функции фазоЕ1 -1— вым множителем е $17. Общие свойства уравнения. Структура энергетического спектра Чтобы облегчить изложение, продолжим обсуждение на част.
ном примере частицы с массой т при наличии скалярного потенциала )((г). Предположим, кроме того, что )((«)-+О, когда г- ОО Функция (р зависит от вектора «(х,у,г), фиксирующего положение частицы, а уравнение Шредингера, не зависящее от 80 Гл. и, ВОлны ВешестВА и уРАВнение шРедингеРА времени, запишется в виде Нф(г)=) — ~ б+ (т(г)(ф(г)=Еф(г). (36) На языке теории уравнений с частными производными уравнение типа (36) называется уравнением на собственные значения. Решение ~>е(г) этого уравнения есть собственная функция, соответствующая собственному значению Е оператора Н. В действительности'задача на собственные значения определена только если сформулированы условия «регулярности» и граничные условия, которым должна удовлетворять функция ~. Условия, накладываемые на функцию ф(г), должны, конечно, согласовываться с общей интерпретацией волновой функции.
Мы вернемся в этой теме в гл. Гу'. Потребуем здесь, чтобы функция и ее частные производные первого порядка были непрерывными и Ограниченными функциями во всем пространстве. В этом случае можно доказать справедливость следующих результатов, которые мы примем как данные, но будем иметь возможность проверить их на многочисленных примерах. а) Если Е(0, то уравнение (36) имеет решения только при некоторых определенных значениях Е, образующих дискретный спектр.
Собственная функция для любого собственного значения (или каждая функция, если их несколько) обращается в нуль на бесконечности. Точнее говоря, интеграл ~ ~ ф (г) г йг, распространенный на все конфигурационное пространство, сходится. Согласно статистической интерпретации это значит, что вероятность найти частицу на бесконечности равна нулю, частица остается локализованной в конечной области пространства. Говорят, что частица находится в связанном состоянии б) Если Е) О, то уравнение (36) может иметь решения при любых положительных значениях Е. Говорят, что положительные энергии образуют непрерывный спектр. Соответствующие собственные функции не обращаются в нуль на бесконечности, их асимптотическое поведение аналогично поведению плоской волны е'"'.
Точнее говоря, модуль ~ф(г)~ стремится к конечной постоянной или осциллирует между значениями, из которых по крайней мере одно отлично от нуля. Частица не остается локализованной в конечной области. Волновые функ. ции этого типа служат для описания задач столкновения; говорят, что мы имеем дело с частицей в несвязанном состоянии, или в стационарном состоянии рассеяния.
Таким образом, мы получаем первый фундаментальный результат: квантование уровней энергии связанных состояний, т. е. один нз самых впечатляющих экспериментальных фактов, В1 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ обусловивших крушение класснцеской теории. Определение квантованных уровней энергии представляется здесь как задача нахождения собственных значений. Решение этой задачи с наибольшей возможной степенью точности является одной из центральных задач волновой механики. Для некоторых особенно простых форм гамильтониана задача может быть решена строго. Именно таким является случай атома водорода (мы рассмотрим его подробно в гл.
Х1), когда уровни энергии оказываются собственными значениями оператора ~ — (йз/2гп)Л вЂ” еэ/г). Получаемый спектр совпадает с тем, который предсказывала старая квантовая теория; мы уже имели случай подчеркнуть удивительное совпадение этого спектра с экспериментальными данными. В более сложных ситуациях следует использовать различные приближенные методы. Но во всех случаях, когда удавалось вычислить спектр энергий с достаточной степенью точности, согласие с опытом оказалось настолько хорошим, насколько этого вообше можно было ожидать от нерелятнвистской теоркн. Сама собственная функция фл может быть подвергнута в определенной мере экспериментальной проверке.
Действительно, собственные функции дискретного спектра используются при вычислениях различных наблюдаемых величин, например, вероятностей квантовых переходов. Что же касается собственных функций непрерывного спектра, то нх асимптотическая форма непосредственно связана с эффективными сечениями, характеризуюшими явления рассеяния, что будет подробно выяснено в дальнейшем. В области нерелятивистской атомной физики до сих пор не было обнаружено ни одного случая расхождения между предсказаниями волновой механики и экспериментальными данными. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1.
В экспергменте пытаются наблюдать за движением электрона по круговой боровской орбите атома водорода, измеряя последовательные положения электрона с помощью достаточно жестких рентгеновских лучей. Оцепить порядок величины передачи кинетической энергии электрону ЬТ при столкновении с рентгеновским фотоном в зависимости от длины волны последнего. Чтобы можно было наблюдать движение вдоль орбиты, необходимо, во всяком случае, чтобы А была значительно меньше радиуса орбиты.
Сравнить в этом случае АТ с расстоянием межд; соседними уровнями. Что можно сказать о возможности наблюдения боровских орбнт2 2. В релятивистской механике полная энергия Е и импульс р свободной тса частицы с массой покоя ш и скоростью э равны соответственно ч/1 — и'/а* 02 гл. и. волны ввшвства н ииавнинни шиидннгиид и Проверить, что уравнения движения могут быть запито Ч/1 — о'/сг саны в гамильтоновой форме, если в качестве функции Гамильтона взять величину Н = Е= я/т'г'+ ртг'. Получить равенство скорости этой частицы и групповой скорости ог ассоциированной волны де Бройля. Вычислить фазовую скорость о этой волны; показать, что она превосходит скорость света с н что в о = с'. и Ф 3. Проверить обоснованность классического описания движения атома в двухатомиой молекуле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
