1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Можно заметить, что Т есть симметричная функция й1 и й2. Следовательно, волна той же энергии, ио распространяющаяся в противоположном направлении (от области П к области 1), имеет одинаковый коэффициент прохождения: он не зависит от направления движения. Все эти результаты не могут очень удивить, если принять во внимание аналогию с распространением световой волны.
Рассматриваемая выше задача вполне эквивалентна задаче о распространении светового сигнала в непоглощающей среде с переменным показателем преломления. В случае а) показатель переходит от действительного значения (среда 1) к значению мнимому (среда 11) в точке х = О: имеет место полное отражение. В случае б) показатель остается действительным, но значения его в средах 1 и и различны: резкое изменение показателя сопровождается частичным отражением. й 4. Бесконечно высокий потенциальный барьер Предельным случаем предшествующей задачи является задача о частице, встречающей бесконечно высокий потенциальный барьер.
Предположим для определенности, что (1(х) = = +со, когда х с, О. Мы находимся в ситуации, аналогичной случаю а), когда 112 в +со. Из формул (6), (ба), (66) в этом предельном случае (к2-ь со) следует, что волна обращается в нуль в точке х = О. Это общий результат, не зависящий от формы функции О(х) в области х) О. Действительно, волновая функция в области х ( О по необходимости принимает форму Аеч", ее логарифмическая производная есть к2. В пределе, когда потенциал )т2 стремится к бесконечности, х2 также становится бесконечным.
Значит функция должна иметь бесконечную логарифмическую производную в точке х = О, т, е., иными словами, обратиться в нуль. Таким образом, в предельном случае бесконечно высокого потенциального барьера волновая функция должна обращаться в нуль на границе этого барьера. 9 а ввсконвчно глувокля потвнцилльнля ямл 93 й 6, Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр В качестве второго простого примера мы рассмотрим случай бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. Значение потенциала на дне 'ямы будем считать началом отсчета значений энергии. Эта область нулевого потенциала занимает некоторый участок оси ( — /./2„+Ц2); с обеих сторон интервал ограничен бесконечно высокими потенциальными барьерами (рис. 9). Задача о собственных значениях сводится к нахождению функции тр, обращающейся в нуль в точках +Е/2 и — Ц2 и удовлетворяющей в интервале ( — Ь/2,+Ц2) уравнению Шредингера й х тра+ еф=О.
г Ряс. 9. Бесконечно глуоокая Общее решение есть линейная ком- прямоугольная потенпнальная бинация з!пйх и созйх (й= 1/е). яна. Решения, одновременно удовлетворяющие двум граничным условиям, существуют только при некоторых дискретных значениях е, а именно: иея' е„ = †, (и = 1, 2...,, со) (16) (решения, для которых /е/. = пп). Каждому из этих значений е, соответствует одна и только одна собственная функция (вырождения нет), а именно; ЛЛ ф„= соз — х при и нечетном, (16а) ф„= з!п — х при и четном.
(166) Этот простой результат вызывает целый ряд общих замечаний. Во-первых, данный результат принципиально отличается от результата классической механики. В том же потенциале классическая частица может двигаться при любой положительной энергии.
Это будет периодическое движение туда и обратно между двумя потенциальными стенками, находящимися на концах интервала ( — Ь/2, +Ь/2). В квантовой механике движение 94 гл, пс квднтовыв систвмы в одном измвивнии может иметь место только при некоторых определенных дискрет. ных значениях энергии я): энергия частицы квантуется Второе замечание касается четности собственных функций' ). Функции четные, если и нечетно (уравнение (16а) ), и нечетные, если и четно (уравнение (16б)). То обстоятельство, что собственные функции обладают определенной четностью, связано со свойствами потенциала, который является четной функцией относительно начала координат: У (х) = У ( — х). Проблема четности во всей полноте будет рассмотрена в 2 14.
Последнее замечание относится к числу узлов собственных функций. По определению узлы суть точки, в которых функция обращается в нуль (за исключением нулей на концах интервала — Ь/2 +112), Число узлов монотонно растет с ростом собственного значения энергии, оно увеличивается на единицу при переходе от некоторого собственного значения к ближайшему последующему: собственная функция основного состояния ф, не имеет узлов, ..., собственная функция и — 1-го возбужденного состояния ф„имеет и — 1 узел и т.
д, Полезно подчеркнуть аналогию с числом узлов стационарных состояний закрепленной на концах колеблющейся струны. Сходство здесь полное, так как математически обе задачи тождественны. 5 6, Конечная потенциальная яма. Резонансы Результаты, полученные нами на примерах скачка потен- циала и бесконечно глубокой потенциальной ямы, помогут нам рассмотреть более сложные случаи.
В качестве нового примера возьмем потенциал, изображенный на рис. 1О. Здесь функция У(х) принимает вид: ~ У1 х>а (область 1), У(х)=1 У, а>х>б (область 11), ~ У, Ь>х (область У1), причем Уя ( У, ( Уа. Задача о собственных значениях представляется различной в зависимости от величины к по сравнению с постоянными УьУ,иУ,. а) Ут ( в ( Уь Дискретный спектр и связанные со- стояния.
а) Период классического движения равен Ь)оЕ, где ЬŠ— расстояние между ближайшими уровнями, в согласии с принципом соответствия а) Функция Цх) есть четная функция, если 1(х) =1( — х), и нечетная, если 1(х) — 1( — «). т / р Ь е. каннчнАя натинпнАльнАя ямА. РБ3ОПАнсы 95 Общее решение ведет себя экспоненциально во внешних областях 1 и //К а во внутренней области характер его поведения осцилляториый. Чтобы быть приемлемым в качестве собственной функдии, решение должно экспоненциальио затухать в обеих внешних областях.
Существует одно и только одно решение, экспоненциальио затухающее в области !, а также одно и только одно репзение, затухающее в области Ш; эти два решения согласованно ошиваются только при некоторых определенных дискретных значениях в. Мы делаем заключение, что энергетический спектр по необходимости днскретен и не вырожден. з Ои , 'Рг Функция ф, по предположению вещественная (ср. стр. 85), в каждой нз трех областей имеет вид: А)е х>а, ф=~ Азв1п(йзх+ф) а>х>Ь, Азвкзх Ь > х.
Аз ф = — йза — агс1д — + ак (а — целое положительное), кз Ав ф — Азб + агс(а— кз (19) (ф определяетсзв)(с точностью до слагаемого пк; мы требуем, чтобы АвЬ + ф находилось'в йвз()ервале ( — и/2; +и/2)). Это возможно в том и только в том случае, когда правые части двух последних уравнений равны. Указанное равенство может быть реализовано только при некоторых дискретных значениях в, величины в, а именно при тех значениях, которые удовлетворяют уравнению Аз Ьз ик — Ггз (а — Ь) = агс1и — + агг19 —. (20) кз кз Введем следующие обозначения: и, — и, их К=А/из — Оз ° 1 Ь вЂ” а, сову= (0<у< — ) из — Ув 2! и новую переменную Уравнение может быть записано в виде условия на Б: пк — БКз, агсвшз+агсв1п(усову). Последнее уравнение графически решено на рис.
11. Когда в растет от У, до иь Б растет от О до 1, а правая часть уравнения растет от 0 до и — у, следуя кривой С (которая зависит только от параметра у). В то же время (17) и Если фаза ф известна, то два Уело- Рис. 10. Конечная прямоугольная павия непрерывности функции определяют постоянные Аз, Аз, Аз (с точностью до постоянного множителя).
Что же касается ф, то она должна удовлетворять одновременно двум условиям непрерывности логарифмических производных; Ьв с1и (Аза + ф) .= — кь Аз с18 (АзЬ + зр) = кв', (18) иными словами 96 гл. пп квдитовыв систвмы в одном измнрвнии левая часть уравнения уменьшается от лп до пп — К( следуя отрезку прямой 0„. Чтобы С и У, пересекались, необходимо и достаточно, чтобы целое число и было достаточно малым: КЕ (и — 1) и+ у. Если Кь < у, собственных значений нет; если т ( Кь с и+у, то существует одно собственное значение ва если л+у ( Кь (2л+у, имеется два собственных значения е, и ег(е1 С ге) и т. д.
Легко видеть, что собственные значения располагаются в порядке возрастающих п. Онн образуют дискретную и конечную последовательность — от основного собственного значения е~ у(4) Р 025 050 475 I Рис. 11. Графическое решение задачи о дискретных собственных значениях: $ [(в — Уз))(У,— Уг)[!'.
Собственные значения суть точки пересечения кривой (С), заданной уравнением ! Я) [агсз!и $+ агсз!и Я сову)[/и, и каждой из прямых (Ул): р Я) и — (Кт)п) $ (принято у=я!3, Кьгя=5). до максимального собственного значения, соответствующего наибольшему целому числу, не превосходящему 1+ (Кь — у)/ц. Квантовое число и имеет вполне определенный математический смысл.
Рассмотрение уравнений (19) показывает, что функция з!п(йьт+ ю) обращается в нуль и — 1 раз, когда л пробегает интервал (а, Ь). Но, следуя уравнению (!7), нули этой функции совпадают с нулями ф Следовательно, число узлов собственной функции, соответствующей и-ему собственному значени!о в„есть и — 1.
В заключение можно провести сравнение с классической ситуацией, как это было сделано в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы. Теперь помимо квантования энергии следует отметить дополнительное отличие; поскольку волновая функция сохраняет отличные от нуля значения в областях 7 и ПД существует отличная от нуля вероятность найти частицу и в этих областях, куда доступ классической частице полностью запрещен. б) [7! <е( [)з. Спектр непрерывный невырожденный.
Отражение волны. Мы находимся в ситуации, аналогичной случаю а) в за- даче о скачке потенциала. Каждому значению е соответствует 4 а конвчнля потенцихльнхя ямА. гезонхнсы 97 одно и только одно всюду ограниченное решение, именно то, которое экспоненциально затухает в области Ш: в интервале (Оь У2) спектр собственных значений непрерывный и невырожденный.
Мы ищем решение в виде е '~'"+е'М "+а2Л х>а, 2Аепк э(п (йзх+ ~р2) а > х > Ь, (21) 2Ве'Ф е"'" Ь > х. Как и в предшествующих задачах, условия непрерывности логарифмической производной определяют фазы ~р2 и ф2. Находим ~р2 = — й2Ь + агс1п —, Ла Хз ' щ = — й,а — — "+ агс1П' ~ —,' 10(й2В+ агс1П вЂ” „')1. в то же время непрерывность самой функции позволяет определить А и В. Далее мы будем предполагать, что (22 в е » з — (12 откуда Ь2 « хз и, следовательно, й2 « из. Все происходит так, как если бы область 111 характеризовалась бесконечно отталкивающим потенциалом, так что В = О. Интересующими нас величинами являются ~р~ и А'. Условимся, что а = О, Ь = — 1., и положим = — "= /Г:1.
К Тогда после элементарного расчета <р, = агс1н (1 1п ьКЧ вЂ” —, Л2 Ч ч2+ со221КЬ ' При возрастании энергии фаза ~р1 более или менее регулярным образом растет, в то время как величина А2, измеряющая относительную интенсивность волны в области /1, осциллируег между значениями 2)2/(1+2)2) и 1. Осцилляции тем более значительны, чем больше КВ и чем меньше 21. Поэтому предположим в дальнейшем, что 1П. »22, 21 «1. В этом случае А2 как функция 212 (т. е. энергии) обнаруживает серию острых максимумов ширины 42)/КЕ, отстоящих друг от друга на 2п/КТ.. На рис. 12 показано это замечательное поведение А2, а также ~р~ в условиях нашего приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
