1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Предположим, например, что у1 ) О. В этом случае у',(а) > О, д',(Ь) (О. Следовательно, функция ут в интервале (а, Ь) наверняка меняет знак. Если бы это было не так, то правая часть уравнения имела бы знак ум а левая часть — противоположный знак. Поэтому ут обязательно имеет по крайней мере один нуль внутри интервала (а, Ь). Между двумя узлами у1 всегда имеется по крайней мере один узел уь Предположим, что у1 и ут являются собственными функциями дискретного спектра. Обе они обращаются в нуль («экспоненциально») на границах интервала ( — со, + оо).
Узлы д, (пусть число нх равно п1) делят весь интервал на п, + 1 частичных интервалов. К каждому из них можно применить только что доказанное свойство: функция дт имеет по крайней мере п1+ ! узел, Таким образом, собственная функция имеет тем больше узлов, чем выше собственное значение, которому она соответствует. Повторяя рассуждения на стр. 109, касающиеся построения собственных функций, и учитывая увеличение числа узлов функций у и у+ по мере увеличения энергии е, можно получить следующее более точное утверждение (задачи 4 и 5).
Если расположить собственные состояния по порядку возрастания энергии е1, ем ..., е„... то собственные функции оказываются расположенными по возрастающему числу узлов. При этом и-ая собственная функция имеет и — 1 узел и между каждыми двумя узлами и-ой функции имеется по крайней мере один узел следующих по номеру собственных функций.
9 13. Соотношения ортогональности Другое важнейшее следствие теоремы вронскиана можно получить, если в уравнении (27) устремить пределы интегрирования а и Ь к — оо и +Оо соответственно. Пусть у1 н ут суть две собственные функции, принадлежащие двум собственным значениям дискретного спектра. Обе они обращаются в нуль на бесконечности, вронскиан, составленный нз них,— тоже и поскольку ет — е1 чь О, имеем д1у, йх= О. (42) Если интеграл от произведения у1уа двух действительных функций, распространенный на все пространство, равен нулю, говорят, что эти две функции ортогональны.
В более общем случае две комплексные функции действительного переменного у1 и уз !14 ГГ, Н!, КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ оргогональны, если 1 у,у, (. =О. Ух(х; бе)== ~ у(х; е)с(е. 1 ч/бз (43) Поскольку вронскиан %'(у1, ут) линейно зависит от функции ум получаем, интегрируя обе части уравнения (27); )ч' (Уз~ У1) 1а =(Ет — Е1) ( у1)ге а(Х+ 1у! = 1 (Š— Е,)у(Х; Е)ав 1(Х. 4 ~чйе Смысл этого преобразования состоит в том, что Ут стремится к нулю (как 1)х) в тех асимптотических областях, где ут обнаруживает поведение осцилляторного типа.
Поэтому, когда а и Ь стремятся, соответственно, к — оо и +оо, левая часть уравнения стремится к нулю, так что сумма двух сходящихся интегралов в правой части равна нулю. Но в предельном случае ') Задания е ис достаточно для определения решения у(х; з), оио зависит от одной или двух произвольных постоянных, в зависимости от кратности вырождения собственного значения. Произвол устраняется заданием асимптотичесхой формы у(к; е) па одном из пределов ( — оз или +со) интервала интегрирования. Таким образом, собственные функции дискретного спектра ортогональны. Ясно, что этот результат справедлив и в том случае, когда только одна из двух функций принадлежит дискретному спектру.
Переход к пределу в уравнении (27) оказывается более деликатным, когда обе функции у! и у, принадлежат непрерывному спектру. В этом случае вронскиан (Р'(у1, уз) бесконечно осциллирует по крайней мере на одном из пределов интегрирования, интеграл ~ у1у, дх, следовательно, обладает тем же свой. ством. Однако если заменить в интеграле хотя бы одну соб. ственную функцию, например уь волновым пакетом, образованным из собственных функций, соответствующих малой области энергий бе в окрестности энергии ет, то соотношение ортогональности оказывается справедливым при условии бе ся,(е! — Вт~.
Действительно, запишем уз в форме у(х; е), чтобы подчеркнуть, что это функция с энергией ев). Образуем волновой пакет з,+ве $!4. ЗАМЕЧАНИЕ ПО ПОВОДУ ЧЕТНОСТИ бе ч. ~ее — з!~ второй из этих интегралов пренебрежимо мал. Можно поэтому написать + о 11ш ~ у! (х) У» (х; бе) 4(х = О. 64.+ Ь (42') Волновой пакет Уз(х; бе), определенный уравнением (43), в котором бе есть очень малая величина, называется «собственным дифференциалом» функции уз(х). Подразумевается, что в конце вычислений осу!цествляется переход к пределу бз- О.
В заключение делаем вывод, что две собственные функции, принадлежащие различна«и собственным значениям, ортогональны при условии, что когда Обе собственные функции принадлежат непрерывному спектру, по крайней мере одна из иих в соотношении ортогональности (уравнение (42')) должна быть заменена ее собственным дифференциалом. Наше определение собственного дифференциала очень схематично. На практике это понятие никогда не используется. Мы увидим в дальнейшем, что существуют элегантные математические методы, позволяющие придать свойству ортогональности самый общий характер, не прибегая к понятию собственного дифференциала. 5 14.
Замечание но поводу четности то уравнение ие меняется при замене х на — х, т. е. Н4р ( — х) = Еф ( — х). Следовательно, 4Р(х) и ф( — х), а также четнаЯ фУнкциь 4г(х)+4г( — х) и нечетная функция ф(х) — ф( — х) — все являются собственными функциями одного собственного значения Е. По крайней мере одна из двух последних функций не равна тождественно нулю. Возможны два случая: Возвратимся к понятию четности, которое нам встретилось первый раз при рассмотрении примера с бесконечно глубокой потенциальной ямой.
Это свойство имеет самый общий ха- рактер. Если потенциал 0(х) четный, т. е. если (У(х)= Н( — х), то гамильтониан уравнения Шредингера также ипвариантен относительно замены х на — х: он симметричен относительно начала координат. Поэтому если 4Р(х) есть собственная функ- ция, принадлежащая собственному значению Е, Нф(х) =Еф(х), ИВ гл. н!.
кВАИТОВые системы В Одном измепеиии !. Собственное значение Е не вырождено. Четыре упомянутые функции равны друг другу с точностью до постоянных множителей. Функция ф(х) пропорциональна той из функций ф(х)+ф( — х) и ф(х) — ф( — х), которая не равна тождественно нулю (другая необходимо есть тождественный нуль). Таким образом, собственные функции невырожденной части спектра имеют определенную четностьс одни четные, другие нечетные.
Кроме того, четная функция обязательно имеет четное число узлов, а нечетная функция — нечетное число узлов. Следовательно, если располагать собственные функции по порядку возрастающих собственных энергий, то четные и нечетные функции чередуются, причем функция основного состояния всегда четная. Результаты $ б подтверждают эти выводы. 2.
Собственное значение Е во!рождено. В этом случае все функции могут быть представлены в виде Лф + (мр, где ф и !р— две линейно независимые собственные функции. Предположим, что хотя бы одна из этих функций, например ф, не имеет определенной четности; в этих условиях ни одна из функций ф+ — — ф(х)+ф( — х) и ф = ф(х) — ф( — х) ие обращается тождественно в нуль. Эти две функции противоположной четности обязательно линейно независимы и, как мы видели, являются ' собственными функциями одного собственного значения Е. Поэтому можно выразить ф !р и, следовательно, Лф+ цср в виде линейной комбинации фч и ф .
Таким образом, всегда можно выразить собственные функции вырожденного собственного значения в виде линейной комбинации двух функций, имеющих определенную четность. Можно, впрочем, убедиться в результате простого исследования, что собственные значения непрерывного спектра все двукратно вырождены и каждому из них соответствует одна собственная функция четная (производная функции равна нулю в начале координат) и одна функция нечетная (функция равна нулю в начале координат).
В квантовой механике часто случается, что гамильтониан исследуемой системы оказывается инвариантным относительно некоторых преобразований; из этого свойства инвариантности следуют некоторые свойства симметрии, характеризующие собственные функции уравнения Шредингера. Четность дает иам простой пример такой ситуации. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ !.
В аадаче о потенцнальной аме, определенной в й б, вычислить постоянные Р, !ч, )(, 8, фнгурнрующне в выраженнн (22) длн решения х, нак функцнн параметров нмы, проверить выраженне (23) длв коаффнцнента прохожденнн н соотношенне сохраненна (24). Предцолаган, что КЬ.м п н !р ~ ЗАДАЧИ И УПРАЖ!!ЕНИЯ !17 < ц К 1, вычислить «время прохождения» проходящей волны и «время отражения» отраженной волны, обнаружить наличие резонансов и сравнить движение проходящей волны с движением соответствующей классической частицы.
2. Вычислить коэффициент прохожденвя для прямоугольного барьера, определенного в 2 7. Вычислить «время прохождения» проходящей волны и сравнить движение этой части волны с движением классической частицы. 3. Изучить движение частицы в прямоугольном потенциале, включающем бесконечно высокий барьер прн х < О, а при положительных х имеющем форму У(х) У У(х) = У У(х) =0 О<х<а, а < х < Ь. х) Ь Предполагается, что У! < 0 < Уп. Сравнить движение волнового пакета, испытывающего отражение в точке х О, с движением соответствующей классической частицы. Исследовать, в частности, «запаздывание отражения», когда начальная энергия частицы Е меньше Уп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
