1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обнаружить резонансы и выяснить связь между шириной этих резонансов и запаздыванием отражения в пределе, когда Е ~ Уи н когда (Ь вЂ” а) (/2глУ!! л Ь 4. Спектр энергии частицы, движущейся з одном измерении в некотором потенциале, содержит, вообще говоря, дискретную часть. Показать, что при расположении собственных состояний дискретного спектра по возрастающим значениям энергии собственные функции располагаются по возрастающему числу узлов, причем л-ая собственная функция имеет и — 1 узел; между каждыми двумя узлами располагается по крайней мере олин увел собственных функций с более высокими номерами.
б. Частица в одном измерении подвергается в интервале (О,сс) действию потенциала У(х), асимптотически стремящегося к пулю, причем в точке х 0 имеется бесконечно высокий отталкивающий барьер. Показать, что число связанных состояний равно числу узлов решения уравнения Шредингера, обращающегося в нуль в начале координат н соответсх)зующего бесконечно малой отрицательной энергии. ГЛАВА 1Ч СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОГО ДУАЛИЗМА И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ й 1.
Введение Исследуя фундаментальные причины расхождений между экспериментальными фактами атомной физики и предсказаниями классической теории, можно выделить два основных аспекта микроскопических явлений самого общего характера. Первый из иих, названный нами атомизмом действия, приводит к нарушению непрерывности течения процессов на микроскопическом уровне: изменения действия физической системы, обмен действием между физическими системами могут происходить только в форме дискретных и неделимых квантов. Мы подробно обсуждали это новое понятие в первой главе и выяснили, что описание явлений в рамках классической теории может быть успешным только в том случае, когда величина кванта действия может рассматриваться как пренебрежимо малая.
Второй аспект поведения микроскопических объектов связан с присущим им корпускулярно-золновым дуализмом, т. е. способностью в различных экспериментальных условиях проявлять различные и противоречивые свойства волны и частицы. Эта двойственность поведения тесно связана с атомизмом действия, на что указывает появление постоянной 6 в общих формулах соответствия (П.5) между волнами и частицами.
Мы видели, что общий характер двойственного поведения микроскопических объектов был понят довольно поздно и сыграл решающую роль в построении квантовой теории физических систем. Анализ результатов дифракционных опытов (см. гл. 1, $ 5 и 6, гл. П, з 7 и 8) показывает, что наиболее простое мыслимое истолкование дуализма волна — частица может быть проведено на статистической основе, т. е.
на основе предположения, что вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства пропорциональна интенсивности волны в этой области. В этой главе мы уточним указанную статистическую интерпретацию, проверим ее внутреннюю согласованность, а также согласие с экспериментальными результатамн.
В первом разделе будет развита статистическая интерпретация волновой функции как основного понятия волновой механики систем материальных частиц. Результаты этого раз. е 2. КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСЫ ЧАСТИЦЫ 119 дела позволят нам во втором разделе вывести соотношения неопределенности Гейзенберга как следствие статистической интерпретации корпускулярно-волнового дуализма. Далее, в разделе 111 мы покажем, что эти соотношения, сколь бы они ни казались странными на первый взгляд, вполне согласуются с опытом, если учесть, что измерительные приборы также являются квантовыми объектами, подчиняющимися тем же соотношениям, и что поэтому возмущение, вводимое в состояние измеряемого объекта вмешательством измерительного прибора, не может быть сделано ни сколь угодно малым, ни полностью контролируемым.
Говоря точно, на микроскопическом уровне нельзя строго разделить измеряемый объект и измерительный прибор. В то же время, когда в обычных условиях говорят о некоторой процедуре измерения, то всегда неявно предполагают возможность провести четкое различие между объектом измерения и всеми теми приспособлениями, которые служат для производства измерения. На микроскопическом уровне вмешательство измерительного аппарата вносит неконтролируемое возмущение, конечная величина которого непосредственно связана с существованием атомизма действия.
Наличие неконтролируемого возмущения ставит предел возможности различать субъект и объект и ведет к пересмотру классических концепций, касаю1цихся описания явлений. Этот вопрос рассматривается в разделе Гу' этой главы. Р вздел 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ В ВОЛ НОВОИ МЕХАНИКЕ 5 2. Вероятности результатов измерения координаты и импульса частицы Разберем вначале случай квантовой системы, состоящей из одной частицы.
Пусть Ч'(«, 1) есть ее волновая функция. Онг удовлетворяет уравнению Шредингера и полностью определяется в любой момент времени, если известно значение Ч'(«, 1,) в начальный момент ге. Сейчас мы анализируем ситуацию в некоторый данный момент времени 1, и обозначим через Ч" («) волновую функцию частицы в этот момент. Динамическое состояние классической частицы определяется в каждый момент заданием ее положения «(х, у, г) и импульса р(р„р„, р,). Но поскольку волновая функция имеет некоторую пространственную протяженность, мы не можем приписывать квантовой частице точное положение в пространстве.
Можно говорить лишь о вероятности найти частицу в некоторой области пространства, когда производится измерение ее положения. Обозначим символом Р(«)е(« вероятность найти частицу в 1гО гл. нл соотношвния нвопиелвлвниости элементе объема (г, г + дг), тогда вероятность найти ее в объеме У мы получим интегрированием «плотности вероятности» Р(г) по этому объему: Р(У)= ~ Р(г) дг. Подобно этому мы, вообще говоря, не можем приписать квантовой частице точно задан. ный импульс. Конечно, если сопоставляемая частице волна является плоской волной е'»", то она, по закону соответствия де Бройля, действительно представляет частицу с импульсом ,Р = йй.
Однако в общем случае волна Ч' представляет собой суперпозицию многих плоских волн с различными волновыми векторами й. Поэтому можно определить только вероятность того, что измеряемый импульс окажется в некоторой области пространства импульсов. Обозначим символом П(р)пр вероят. ность найти импульс частицы в интервале (р, р+ар), тогда вероятность П(1У) найти импульс в некоторой конечной области П импульсного пространства получится интегрированием: П (П) = ~ П(р) пр. Плотности вероятности Р(г) и П(р) яв.
о ляются величинами существенно положительными и должны удовлетворять очевидным условиям ~ Р (г) и'г = 1, ~ П (р) пр = 1, где интегрирование распространяется на все конфигурационное и импульсное пространства, соответственно. Распределения вероятности Р(г), П(р) должны быть полностью заданы, если известна волновая функция Ч'(г).
Опреде,лим Р(г) равенством Р (г) = Чг' (г) Ч~ (г) = ! Ч' (г) ~», (2) ,Эта формула вполне согласуется с высказанной ранее идеей о том, что вероятность нахождения частицы в точке должна быть тем больше, чем больше интенсивность волны в этой точке. Выполнение равенства (1) требует, чтобы волновая функция подчинялась таи называемому условию нормировки У = — 1 ) Ч' (г) ~' Н = 1.
Это предполагает, что функция Ч'(г) является квадратично интегрируемой, причем ее норма остается постоянной во времени. Мы покажем в дальнейшем, что это условие согласованности статистической интерпретации действительно выполняется, Чтобы определить П(р), рассмотрим операцию измерения импульса частицы, сопоставляемой волне Ч'. Эта проблема аналогична спектральному анализу световой волны, причем й х. координлты и импульсы частицы 121 аналогия становится особенно ясной, если измерение импульса производится с помощью некоторого днфракционного устройства; однако все рассуждения имеют общий характер и не зависят от конкретного устройства измерительного аппарата. Введем преобразование Фурье волновой функции согласно соотношениям ') .
рг Ф(р)= „~ Ч'(г)е " и!г, (2 «)"С* рг Ч'(г)= —,, ~ Ф(р)е " с(р. (4) Следуя уравнению (5) функцию Ч'(г) можно рассматривать !рг как линейную суперпозицию элементарных волн е " с точно определенным импульсом р, причем каждая элементарная волна входит с коэффициентом (2п«) — 'Ф(р). Если бы эта суперпо, ргг зиция содержала только один член е ", то результат измерения был бы равен ро, Если Ф(р) отлична от нуля только в милой области, окружающей рз, как в случае волновых пакетов, изучавшихся в гл. П, то значение импульса почти наверняка находится вблизи ро. В общем случае можно сказать, что вероятность П(р)б!р найти значение импульса в элементе объема (р, р+ с(р) тем больше, чем больше )Ф(р) ~.
Таким образом, мы можем положить П (р) = Ф (р) Ф(р) = ( Ф (р) (х. (6) ~ ! Ф(р) (зг(р= ~)Ч" (г) (зс(г, условие нормировки (1) автоматически удовлетворяется, если функция Ч'(г) нормирована на единицу. Преобразование Фурье устанавливает взаимооднозначное соответствие между функциями Чг(г) и Ф(р). Задания функции Ф(р), подобно заданию функции Ч'(г), достаточно для определения динамического состояния частицы. Поэтому Ф(р) назы- ') Если интегралы в правых частих равенств (4) и (5) не сходитси в обычном смысле, то понятие сходимости должно быть модифицировано согласно предписаниим теоремы ! Дополнения Л ($ 16) при учете того обстоительства, что функции Чг(г) всегда должна быть квадратвчно интегрируемой. Последующие результаты не зависит от определения сходимости. Поскольку скалярное произведение инвариантно относительно преобразования Фурье (теорема гтУ, см.
Дополнение А $ 16; в. дальнейшем будем обозначать, например, 9 А.16, $ Б.9 и т.д.): 122 гл, цс соотношения нвопгвдвланности вают волновой функцией в импульсном пространстве, что оправдывается еще и тем, что Ч' и Ф играют в определениях (2) и (6) вполне аналогичную роль. Иногда говорят, что функции Ч' н Ф являются эквивалентными представлениями одного динамического состояния. Следует четко представлять себе физический смысл введенных нами величин Р(г) и П(р). Частица, сопоставляемая волне, вообще говоря, не обладает ни определенным положением, ни определенным импульсом; если производить измерение той или иной динамической переменной в отдельной системе, представляемой волновой функцией Ч', то никаких предсказаний результата сделать нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
